[DAC61833] ALJABAR LINEAR
Materi Kuliah Aljabar Linear
Resmawan
JURUSAN MATEMATIKA
UNIVERSITAS NEGERI GORONTALO
Agustus 2019
[email protected] (MathUNG) [DAC61833]Aljabar Linear Agustus 2019 1 / 198
3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
3. Nilai Eigen dan Vektor Eigen
[email protected] (MathUNG) [DAC61833]Aljabar Linear Agustus 2019 148 / 198
3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen3.2 Diagonalisasi
3.2 Diagonalisasi
[email protected] (MathUNG) [DAC61833]Aljabar Linear Agustus 2019 171 / 198
3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen3.2 Diagonalisasi
3.2 Diagonalisasi
De…nition
Sebuah matriks bujursangkarAdikatakandapat didiagonalkanjika
terdapat sebuah matriksPyang mempunyai invers sedemikian sehingga
P
1
APadalah matriks diagonal. MatriksPdisebutmendiagonalisasi
matriksA.
Theorem
Jika A sebuah matriks nn, maka kedua pernyataan berikut ekuivalen:
1
A dapat didiagonalkan
2
A memiliki n vektor eigen yang bebas linear.
Proof.
Prosedur pembuktian dapat dilihat di buku teks.
[email protected] (MathUNG) [DAC61833]Aljabar Linear Agustus 2019 173 / 198
3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen3.2 Diagonalisasi
3.2 Diagonalisasi
Example
MatriksAberikut
A=
2
4
1 3 0
3 1 0
0 0 2
3
5
dikatakandapat didiagonalkankarena terdapat matiks
P=
2
4
1 1 0
1 1 0
0 0 1
3
5
sedemikian sehingga diperoleh (Buktikan)
P
1
AP=
2
4
4 0 0
0 2 0
0 0 2
3
5
[email protected] (MathUNG) [DAC61833]Aljabar Linear Agustus 2019 174 / 198
3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen3.2 Diagonalisasi
3.2 Diagonalisasi
Prosedur untuk Mendiagonalisasikan sebuah Matriks
1
Tentukannvektor eigen dari matriksAyang bebas linear, misalkan
p1,p2, ,pn
2
Buat sebuah matriksPdenganp1,p2, ,pnsebagai vektor-vektor
kolomnya.
3
Selanjutnya matriksP
1
APakan menjadi matriks diagonal dengan
l1,l2, ,lnsebagai entri-entri diagonalnya. Dalam hal inili
adalah nilai eigen yang terkait denganpi,untuki=1,2, ,n.
[email protected] (MathUNG) [DAC61833]Aljabar Linear Agustus 2019 175 / 198
3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen3.2 Diagonalisasi
3.2 Diagonalisasi
Example
Tunjukkan bahwa matriksAberikut dapat didiagonalisasi,
A=
2
4
0 0 2
1 2 1
1 0 3
3
5
[email protected] (MathUNG) [DAC61833]Aljabar Linear Agustus 2019 176 / 198
3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen3.2 Diagonalisasi
3.2 Diagonalisasi
Solution
Dari pembahasan sebelumnya diperoleh persamaan karakteristik dari
matriks A,yakni
(l 1) (l 2)
2
=0(Tunjukkan)
Dari persamaan karakteristik dapat ditunjukan nilai-nilai eigen matriks A,
yaitu1dan2yang memberikan basis-basis untuk ruang eigen
l=1,p1=
2
4
2
1
1
3
5,l=2,p2=
2
4
1
0
1
3
5,p3=
2
4
0
1
0
3
5
[email protected] (MathUNG) [DAC61833]Aljabar Linear Agustus 2019 177 / 198
3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen3.2 Diagonalisasi
3.2 Diagonalisasi
Solution
Dengan demikian diperoleh matriks P yang dapat mendiagonalisasi
matriks A,yaitu
P=
2
4
2 1 0
1 0 1
1 1 0
3
5
Dapat dibuktikan dengan melihat hasil P
1
AP yang merupakan matriks
diagonal
P
1
AP=
2
4
1 0 1
1 0 2
1 1 1
3
5
2
4
0 0 2
1 2 1
1 0 3
3
5
2
4
2 1 0
1 0 1
1 1 0
3
5
=
2
4
1 0 0
0 2 0
0 0 2
3
5
[email protected] (MathUNG) [DAC61833]Aljabar Linear Agustus 2019 178 / 198
3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen3.2 Diagonalisasi
3.2 Diagonalisasi
Example
Dengan cara yang sama, tunjukkan bahwa terdapat matriksPyang dapat
mendiagonalkan matriks berikut
A=
2
4
1 3 0
3 1 0
0 0 2
3
5
Example
Tunjukkan bahwa matriks
A=
2
4
1 0 0
1 2 0
3 5 2
3
5
tidak dapat didiagonalkan
[email protected] (MathUNG) [DAC61833]Aljabar Linear Agustus 2019 179 / 198
3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen3.2 Diagonalisasi
3.2 Diagonalisasi
Solution
Dari matriks A diperoleh persamaan karakteristik
(l 1) (l 2)
2
=0
yang berarti nilai-nilai eigennya adalah1dan2.Selanjutnya dapat
ditunjukkan bahwa basis-basis yang bersesuaian dengan nilai eigen adalah
p1=
2
4
1
8
1
8
1
3
5untukl=1danp2=
2
4
0
0
1
3
5untukl=2
Katrena A matriks33dan hanya terdapat 2 vektor basis, maka A tidak
dapat didiagonalisasi.
[email protected] (MathUNG) [DAC61833]Aljabar Linear Agustus 2019 180 / 198
3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen3.2 Diagonalisasi
3.2 Diagonalisasi
Theorem
Jika sebuah matriks A,nn mempunyai n nilai eigen berbeda, maka
matriks A dapat didiagonalisasi.
Proof.
Perhatikan proses pembuktian di buku teks.
[email protected] (MathUNG) [DAC61833]Aljabar Linear Agustus 2019 181 / 198
3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen3.2 Diagonalisasi
3.2 Diagonalisasi
Examples
Tunjukkan bahwa matriks-matriks berikut dapat didiagonalisasi
1)A=
2
4
1 1 1
1 3 1
3 1 1
3
5
2)B=
2
6
6
4
1 0 0 0
0 1 5 10
1 0 2 0
1 0 0 3
3
7
7
5
Tunjukkan matriksPsedemikian sehinggaP
1
APdanP
1
BPadalah
matriks diagonal.
[email protected] (MathUNG) [DAC61833]Aljabar Linear Agustus 2019 182 / 198
3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen3.2 Diagonalisasi
3.2 Diagonalisasi
Solution
1.Dari matriks A diperoleh persamaan karakteristik
(l 2) (l+2) (l 3)=0
yang berarti terdapat3nilai eigen berbeda, yakni
l=2,l= 2,l=3.Dengan demikian A dapat didiagonalkan.
Selanjutnya dapat ditunjukkan basis-basis yang bersesuaian dengan
nilai eigen, yaitu
p1=
2
4
1
0
1
3
5untukl=2,p2=
2
4
1
1
4
3
5untukl= 2danp3=
2
4
1
1
1
3
5untukl=3
[email protected] (MathUNG) [DAC61833]Aljabar Linear Agustus 2019 183 / 198
3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen3.2 Diagonalisasi
3.2 Diagonalisasi
Solution
1
sehingga diperoleh matriks
P=
2
4
1 1 1
0 1 1
1 4 1
3
5
yang menghasilkan matriks diagonal
P
1
AP=
2
4
2 0 0
0 2 0
0 0 3
3
5
[email protected] (MathUNG) [DAC61833]Aljabar Linear Agustus 2019 184 / 198
3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen3.2 Diagonalisasi
3.2 Diagonalisasi
Solution
2.Dengan cara yang sama terhadap matriks B, anda ditugaskan untuk
mengon…rmasi hasil-hasil berikut.
Nilai eigen
l1=1,l2=2,danl3=3
Vektor Eigen yang bersesuaian (Matriks P)
l1:
2
6
6
4
0
1
0
0
3
7
7
5
,
2
6
6
4
2
0
2
1
3
7
7
5
,l2:
2
6
6
4
0
5
1
0
3
7
7
5
,l3:
2
6
6
4
0
5
0
1
3
7
7
5
[email protected] (MathUNG) [DAC61833]Aljabar Linear Agustus 2019 185 / 198
3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen3.2 Diagonalisasi
3.2 Diagonalisasi
Solution
2. Invers P
P
1
=
2
6
6
4
5
2
1 5 5
1
2
0 0 0
1 0 1 0
1
2
0 0 1
3
7
7
5
Matriks Diagonal
P
1
AP=
2
6
6
4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 2 0
0 0 0 3
3
7
7
5
[email protected] (MathUNG) [DAC61833]Aljabar Linear Agustus 2019 186 / 198
3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen** Latihan 9
** Latihan 9
1.
a)
2
4
1 4 2
3 4 0
3 1 3
3
5
b)
2
6
6
4
2 0 0 0
0 2 0 0
0 0 3 0
0 0 1 3
3
7
7
5
Tentukan matriksPyang mendiagonalisasiAdan tentukanP
1
AP.
2.
A=
2
4
2 1 1
0 1 2
0 0 1
3
5
[email protected] (MathUNG) [DAC61833]Aljabar Linear Agustus 2019 187 / 198
3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen** Latihan 9
** Latihan 9
3.
A=
a b
c d
Tunjukkan bahwa :
a)Adapat didiagonalisasi jika(a d)
2
+4bc>0
b)Atidak dapat didiagonalisasi jika(a d)
2
+4bc<0
[email protected] (MathUNG) [DAC61833]Aljabar Linear Agustus 2019 188 / 198
5. Penutup
" Terima Kasih, Semoga Bermanfaat "
[email protected] (MathUNG) [DAC61833]Aljabar Linear Agustus 2019 198 / 198