BAHAN AJAR
PERSAMAAN DIFFERENSIAL
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS PAHLAWAN TUANKU TAMBUSAI
2020
vii
BAB I
KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL.............................1
A. Pengertian Persamaan Diferensial......................................1
B. Persamaan Diferensial Biasa (PDB).....................................6
BAB II
PERSAMAAN DIFERENSIAL SEPARABEL DAN REDUKSI KE
PERSAMAAN SEPARABEL.......................................................15
A. Persamaan Diferensial Separabel....................................15
B. Persamaan Diferensial Separabel....................................18
BAB III
PERSAMAAN DIFERENSIAL EKSAK DAN FAKTOR INTEGRASI.....29
A. Persamaan Diferensial Eksak...........................................29
B. Persamaan Diferensial Non Eksak....................................36
BAB IV
PERSAMAAN DIFERENSIAL HOMOGEN ORDE PERTAMA......41
A. Persamaan Diferensial Homogen....................................41
B. Persamaan Diferensial Non Homogen Bentuk Khusus....46
BAB V
PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE SATU.....................55
BAB VI
PERSAMAAN DIFERENSIAL BERNOULLI DAN RICCATI...........63
A. Persamaan Diferensial Bernoulli......................................63
B. Persamaan Diferensial Riccati..........................................65
DAFTAR ISI
viii Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
BAB VII
PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER HOMOGEN DENGAN
KOEFISIEN KONSTAN...............................................................71
Persamaan Diferensial Linier Homogen Orde 2......................71
BAB VIII
PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER NON HOMOGEN
ORDE DUA...............................................................................79
Metode Variasi Paramater......................................................85
BAB IX
TRANSFORMASI LAPLACE PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL
BIASA.......................................................................................91
Rumus Inversi Penting Yang Lain.............................................94
BAB X
PENERAPAN PERSAMAAN DIFERENSIAL................................99
A. Pertumbuhan Dan Peluruhan..........................................99
B. A Discrete One Species Model.......................................103
DAFTAR PUSTAKA..................................................................111
1
BAB I
KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
A. Pengertian Persamaan Diferensial
SEJARAH SINGKAT PERKEMBANGAN
PERSAMAAN DIFERENSIAL
Studi mengenai persamaan diferensial dimulai segera
setelah penemuan Kalkulus dan Integral. Pada tahun 1676
Newton menyelesaikan sebuah persamaan diferensial
dengan menggunakan deret tak hingga, sebelas tahun
setelah penemuannya tentang bentuk fluksional dari
kalkulus diferensial pada tahun 1665. Newton tidak
mempublikasikan hal tersebut sampai dengan tahun 1693,
pada saat Leibniz menghasilkan rumusan persamaan
diferensial yang pertama.
Perkembangan persamaan diferensial sangat pesat
dalam tahun-tahun berikutnya. Dalam tahun 1694-1697
John Bernoulli menjelaskan “Metode Pemisahan Variabel”
dan membuktikan bahwa persamaan diferensial homogen
orde satu dapat direduksi menjadi bentuk persamaan
diferensial dengan variabel-variabel yang dapat dipisahkan.
John Bernoulli dan saudaranya Jacob Bernoulli (yang
menemukan Persamaan Diferensial Bernoulli) berhasil
menyederhanakan sejumlah besar persamaan diferensial
2 Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
menjadi bentuk yang lebih sederhana yang dapat mereka
selesaikan. Faktor integrasi yang kemungkinan ditemukan
secara terpisah oleh Euler (1734) dan Fontaine dan Clairaut
melalui beberapa pengkajian yang mereka lakukan
terhadap penemuan Leibniz. Penyelesaian tunggal yang
diperkenalkan oleh Leibniz (1694) dan Brook Taylor (1715)
secara umum berkaitan dengan nama Clairaut (1734).
Interpretasi geometris ditemukan oleh Lagrange (1774)
namun teori dalam bentuk diferensial tidak dijelaskan
sampai tahun 1872 ketika Cayley dan M.J.M. Hill (1888)
merumuskan diferensial geometri.
Metode pertama yang digunakan untuk menyelesaikan
persamaan diferensial orde kedua atau yang lebih tinggi
dengan koefisien konstan, dirumuskan oleh Euler.
D’Alembert merumuskan penyelesaian persamaan
diferensial untuk kasus dimana persamaan bantuan
mempunyai akar-akar yang sama. Beberapa metode
simbolis untuk menentukan integral khusus belum dapat
dijelaskan sampai sekitar seratus tahun kemudian, setelah
Lobatto (1837) dan Boole (1859) merumuskan hal tersebut.
Persamaan diferensial parsial diketahui pertama kali
muncul dalam persoalan getaran pada tali. Persamaan ini,
merupakan persamaan diferensial orde kedua, telah
dibicarakan oleh Euler dan D’Alembert dalam tahun 1747.
Lagrange menyempurnakan penyelesaian dari persamaan
tersebut kemudian menggunakannya juga untuk menelaah
persamaan diferensial parsial orde pertama dalam tahun
3 PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
menjadi bentuk yang lebih sederhana yang dapat mereka
selesaikan. Faktor integrasi yang kemungkinan ditemukan
secara terpisah oleh Euler (1734) dan Fontaine dan Clairaut
melalui beberapa pengkajian yang mereka lakukan
terhadap penemuan Leibniz. Penyelesaian tunggal yang
diperkenalkan oleh Leibniz (1694) dan Brook Taylor (1715)
secara umum berkaitan dengan nama Clairaut (1734).
Interpretasi geometris ditemukan oleh Lagrange (1774)
namun teori dalam bentuk diferensial tidak dijelaskan
sampai tahun 1872 ketika Cayley dan M.J.M. Hill (1888)
merumuskan diferensial geometri.
Metode pertama yang digunakan untuk menyelesaikan
persamaan diferensial orde kedua atau yang lebih tinggi
dengan koefisien konstan, dirumuskan oleh Euler.
D’Alembert merumuskan penyelesaian persamaan
diferensial untuk kasus dimana persamaan bantuan
mempunyai akar-akar yang sama. Beberapa metode
simbolis untuk menentukan integral khusus belum dapat
dijelaskan sampai sekitar seratus tahun kemudian, setelah
Lobatto (1837) dan Boole (1859) merumuskan hal tersebut.
Persamaan diferensial parsial diketahui pertama kali
muncul dalam persoalan getaran pada tali. Persamaan ini,
merupakan persamaan diferensial orde kedua, telah
dibicarakan oleh Euler dan D’Alembert dalam tahun 1747.
Lagrange menyempurnakan penyelesaian dari persamaan
tersebut kemudian menggunakannya juga untuk menelaah
persamaan diferensial parsial orde pertama dalam tahun
1772 dan 1785. Lagrange berhasil merumuskan bentuk
umum integral dari persamaan diferensial linier dan
mengklasifikasi kan bentuk-bentuk integral yang berbeda
jika persamaan diferensialnya tidak linier.
Teori-teori yang berhubungan dengan persamaan
diferensial belum berhenti sampai di situ. Perkembangan
selanjutnya masih terus diupayakan oleh Chrystal (1892)
dan Hill (1917). Metode-metode lain yang diterapkan untuk
menjelaskan persamaan diferensial parsial orde pertama,
diberikan oleh Charpit (1784) dan Jacobi (1836). Penelahaan
yang paling penting untuk persamaan dengan orde yang
lebih tinggi, dilakukan oleh Laplace (1773), Monge (1784),
Ampere (1814), dan Darboux (1870).Sejak tahun 1800, subjek
persamaan diferensial dalam konteks aslinya (secara
matematis), yaitu penyelesaian dalam bentuk yang hanya
mengandung sejumlah berhingga fungsi (atau integral)
yang diketahui, kurang lebih sama dengan dengan yang
kita jumpai sampai abad ini. Tahun 1823, Cauchy
membuktikan bahwa deret tak hingga yang didapatkan dari
sebuah persamaan diferensial, merupakan suatu deret yang
konvergen sehingga dapat dinyatakan dalam bentuk
sebuah fungsi yang memenuhi persaman (diferensial)
tersebut.
Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan
mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan
4 Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
suatu fungsi (dasar). Sebagai contoh, derivative dari fungsi
y=log(x) berturut-turut diberikan oleh
y
=
!
"
, y
=−
!
"
%
, y
=
&
"
'
dst
Dimana y
′
=
()
("
,y
′′
=
(
%
)
("
%
,*
′′′
=
+
'
,
+-
'
dan seterusnya.
Kita juga telah diperkenalkan dengan aturan dan metode
mendiferensialkan fungsi dari dua variable atau lebih.
Derivatifnya disebut derivative parsial. Persamaan yang
memuat derivative parsial disebut persamaan diferensial
parsial. Misalkan u=x
&
+3xy−e
&"./)
, derivatifnya
terhadap x dan y berturut-turut diberikan oleh
∂u
∂x
=2x+3y−2e
&"./)
∂u
∂y
= 3x−3e
&"./)
Pengerti an: Persamaan diferensial adalah suatu
persamaan yang menyatakan hubungan fungsi yang tidak
di ketahui dan turunan-turunannya.
Definisi 1: Misalkan f(x) mendefinisikan sebuah
fungsi dari x pada suatu interval I[a,b] dimana a≤x≤b.
Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat
derivative dari f(x).
Definisi 2: Orde dari suatu persamaan diferensial
adalah orde tertinggi derivative yang termuat dalam
persamaan itu.
Pada kuliah kalkulus, kita telah belajar bagaimana
menentukan derivative (turunan)
+,
+-
=*
′
=2′(3) dari suatu
fungsi *=2(3). Misalkan, jika
*=24
5-
+cos33 ,
Ingat !!!
5 PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
suatu fungsi (dasar). Sebagai contoh, derivative dari fungsi
y=log(x) berturut-turut diberikan oleh
y
=
!
"
, y
=−
!
"
%
, y
=
&
"
'
dst
Dimana y
′
=
()
("
,y
′′
=
(
%
)
("
%
,*
′′′
=
+
'
,
+-
'
dan seterusnya.
Kita juga telah diperkenalkan dengan aturan dan metode
mendiferensialkan fungsi dari dua variable atau lebih.
Derivatifnya disebut derivative parsial. Persamaan yang
memuat derivative parsial disebut persamaan diferensial
parsial. Misalkan u=x
&
+3xy−e
&"./)
, derivatifnya
terhadap x dan y berturut-turut diberikan oleh
∂u
∂x
=2x
+3y−2e
&"./)
∂u
∂y
= 3x−3e
&"./)
Pengerti an: Persamaan diferensial adalah suatu
persamaan yang menyatakan hubungan fungsi yang tidak
di ketahui dan turunan-turunannya.
Definisi 1: Misalkan f(x) mendefinisikan sebuah
fungsi dari x pada suatu interval I[a,b] dimana a≤x≤b.
Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat
derivative dari f(x).
Definisi 2: Orde dari suatu persamaan diferensial
adalah orde tertinggi derivative yang termuat dalam
persamaan itu.
Pada kuliah kalkulus, kita telah belajar bagaimana
menentukan derivative (turunan)
+,
+-
=
*
′
=2′(3) dari suatu
fungsi *=2(3). Misalkan, jika
*=24
5-
+cos33 ,
Ingat !!!
*=4
-
→*
′
=4
-
.
+(-)
+-
=4
-
*=24
5-
maka
7*
73
=2.4
5-
.
7(−3)
73
=2.4
5-
.−1
=−24
5-
*=89:;3→*
′
=;<=8;3
*=<=833→*
′
=−3.89:33
+,
+-
=−24
5-
−389:33………( 1)
Atau jika diberikan persamaan dalam bentuk >(3,*)=
? dengan ? konstanta, kita dapat mendiferensialkan secara
implisit untuk memperoleh
+,
+-
. Misalkan dipunyai fungsi
implisit
3
&
+*
&
=9
Maka akan diperoleh
7(3
&
)
73
+
7(*
&
)
73=0
7(3
&
)
73
+
7(*
&
)
7*.
7* 73
=0
23+2*.
7* 73
=0
Atau
2*.
7*
73
=−23
7* 73
=−
23
2*
+,
+-
=−
-
,
(2)
Persamaan (1) dan (2) diatas merupakan contoh
Persamaan Diferensial. Penyelesaian suatu persamaan
6 Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
diferensial ialah mencari suatu fungsi yang tidak memuat
turunan dan memenuhi persamaan diferensial yang
diberikan. Penyelesaian dapat saja dilakukan satu atau
beberapa kali integrasi.
B. Persamaan Diferensial Biasa (PDB)
Jika hanya ada satu peubah bebas, maka disebut
Persamaan Diferensial Biasa (PDB). Contoh PDB adalah
sebagai berikut:
+,
+-
+43*=24
&-
+
%
,
+-
%
−
+,
+-
−3*=sin3
* 7*−3* 73=0
Sedangkan jika persamaan memuat dua atau lebih
peubah bebas, maka disebut Persamaan Diferensial Parsial
(PDP). Misalkan :
@A
@-
+
@A
@B
−2C=0
@
%
D
@-
%
+
@
%
D
@,
%
+
@
%
D
@E
%
=0
BENTUK PDB :
di mana solusi atau penyelesaian dari PD tersebut
merupakan suatu fungsi eksplisit *=2(3).
Bentuk PDB orde n :
FG
FH
=I(H,G)
7 PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
diferensial ialah mencari suatu fungsi yang tidak memuat
turunan dan memenuhi persamaan diferensial yang
diberikan. Penyelesaian dapat saja dilakukan satu atau
beberapa kali integrasi.
B. Persamaan Diferensial Biasa (PDB)
Jika hanya ada satu peubah bebas, maka disebut
Persamaan Diferensial Biasa (PDB). Contoh PDB adalah
sebagai berikut:
+,
+-
+43*=24
&-
+
%
,
+-
%
−
+,
+-
−3*=sin3
* 7*−3* 73=0
Sedangkan jika persamaan memuat dua atau lebih
peubah bebas, maka disebut Persamaan Diferensial Parsial
(PDP). Misalkan :
@A
@-
+
@A
@B
−2C=0
@
%
D
@-
%
+
@
%
D
@,
%
+
@
%
D
@E
%
=0
BENTUK PDB :
di mana solusi atau penyelesaian dari PD tersebut
merupakan suatu fungsi eksplisit *=2(3).
Bentuk PDB orde n :
FG
FH
=I(H,G)
(3)
yang menyatakan adanya keterkaitan antara peubah bebas
x dan peubah tak bebas y beserta turunan-turunannya
dalam bentuk persamaan yang identic nol. Beberapa buku
menuliskan persamaan ini dalam bentuk :
2(3,*,*
,*
,……*
J5!
,*
J
)=0 .
Order dari persamaan diferensial adalah order t
ertinggi
dari turunan yang ada dalam persamaan. Misalkan
7*
73
+23*=sin3
Adalah persamaan diferensial order satu, sedangkan
7
&
*
73
&
+*=0
Merupakan persamaan diferensial order dua.
Persamaan diferensial biasa (ordinary diffe
equation) seperti berikut :
G
K
=I(H,G,G
,G
,……G
K5L
)
(3)
n antara peubah bebas
turunannya
dalam bentuk persamaan yang identic nol. Beberapa buku
h order tertinggi
Adalah persamaan diferensial order satu, sedangkan
ordinary differential
8 Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
PENYELESAIAN PDB
Masal ah kita selanjutnya adalah bagaimana
menemukan penyelesaian PDB, yaitu suatu fungsi *(3)
yang memenuhi PDB tersebut.
Definisi: suatu fungsi *(3) yang didefinisikan pada
suatu interval disebut penyelesaian PDB jika secara
identic memenuhi persamaan (3) pada interval yang
diberikan.
Contoh 1:
Fungsi*=M4
-
adalah penyelesaian persamaan diferensial
+,
+-
=* pada interval −∞<3<∞, karena
+
+-
(M4
-
)=M4
-
.
Jadi jika disubstitusikan ke dalam persamaan diperoleh
M4
-
=M4
-
, yang berlaku untuk semua x.
Tidak semua penyelesaian PDB dapat disajikan secara
eksplisit seperti contoh 1. Beberapa kasus ditemukan
penyelesaian yang disajikan dalam bentuk implisit, seperti
pada contoh 2 berikut :
Contoh 2 :
Tentukan penyelesaian dari persamaan diferensial
7*
73
+*=0
Jawab :
7*
73
+*
⇔
7* 73
=−*
9 PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
PENYELESAIAN PDB
Masal ah kita selanjutnya adalah bagaimana
menemukan penyelesaian PDB, yaitu suatu fungsi *(3)
yang memenuhi PDB tersebut.
Definisi: suatu fungsi *(3) yang didefinisikan pada
suatu interval disebut penyelesaian PDB jika secara
identic memenuhi persamaan (3) pada interval yang
diberikan.
Contoh 1:
Fungsi*=M4
-
adalah penyelesaian persamaan diferensial
+,
+-
=* pada interval −∞<3<∞, karena
+
+-
(M4
-
)=M4
-
.
Jadi jika disubstitusikan ke dalam persamaan diperoleh
M4
-
=M4
-
, yang berlaku untuk semua x.
Tidak semua p
enyelesaian PDB dapat disajikan secara
eksplisit seperti contoh 1. Beberapa kasus ditemukan
penyelesaian yang disajikan dalam bentuk implisit, seperti
pada contoh 2 berikut :
Contoh 2 :
Tentukan penyelesaian dari persamaan diferensial
7*
73
+*=0
Jawab :
7*
73
+*
⇔
7*
73
=−*
⇔−
1
*
7*=73
⇔−P
1
*
7*=P73
⇔−ln*+?=3+?
⇔−ln*=3+?
⇔3+ln*+<=0
⇔ln*=−3−<
⇔e
QR,
=4
5-5S
⇔y=4
5-
.4
5S
⇔y=4
5-
.<
jadi solusi umum PDB :
+,
+-
+*=0 adalah G=T
5H
.U
MASALAH NILAI AWAL
Misalkan kita akan mencari penyelesaian dari *=*(3) dari
PDB orde satu
*
=2(3,*)
Yang memenuhi *(3
V)=*
V
Contoh :
a. *
′
=2*,*(=)=2
Jawab :
7*
73
=2*
1
2*
7*=73
P
1
2*
7*=P73
1
2
ln*+?=3+?
!
&
ln*−3+?=0…., ingat log;
W
=Xlog;
10 Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
ln*
Y
%=3+?
4
QR,
Y
%
=4
-.Z
*
Y
%
=4
-
.4
S
*
Y %
=4
-
.<
*=(<4
-
)
&
karena syarat awal *(0)=2 maka
2=(<4
V
)
&
<
&
=2
<=√2
sehingga solusi umum PDB dengan syarat awal :
*=\√24
-
]
&
;^;_ *=24
&-
b. *
′
=
-
`,
⇔
7*
73
=
3
4*
⇔4* 7*=3 73
⇔P4* 7*=P3 73
⇔2*
&
+?=
1
2
3
&
+?
⇔2*
&
−
1 2
3
&
+?=0
Jadi solusi umum Persamaan Diferensial Biasa adalah :
2*
&
−
1 2
3
&
+?=0
*=a
1 4
3
&
+?
11 PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
ln*
Y
%
=3+?
4
QR,
Y
%
=4
-.Z
*
Y
%
=4
-
.4
S
*
Y
%
=4
-
.<
*=(<4
-
)
&
karena syarat awal *(0)=2 maka
2=(<4
V
)
&
<
&
=2
<=√2
sehingga solusi umum PDB dengan syarat awal :
*=\√24
-
]
&
;^;_ *=24
&-
b. *
′
=
-
`,
⇔
7*
73
=
3
4*
⇔4* 7*=3 73
⇔P4* 7*=P3 73
⇔2*
&
+?=
1
2
3
&
+?
⇔2*
&
−
1
2
3
&
+?=0
Jadi solusi umum Persamaan Diferensial Biasa adalah :
2*
&
−
1
2
3
&
+?=0
*=a
1
4
3
&
+?
Integral dari :
Misal :
u = 1-y
+D
+,
=−1→7_=−7*
P
1
1−*
7*=
=P
1
_
−7_
=−P
1
_
7_
=−ln_+<
=ln|
1
1−*
|+ln<
Latihan :
1. Selesaikan persamaan diferensial dibawah ini:
a.
-+,
+-
+*=1
Jawab
⇔3
7*
73
+*=1
⇔
37*
73
=1−*
⇔
3
1−*
7*=73
⇔
1
1−*
7*=
1
3
73
⇔P
1
1−*
7*=P
1 3
73
⇔lnb
1
1−*
b+ln<=ln3+ln<
⇔lnb
1
1−*
b=ln3+ln?
⇔4
QR
Y
Ycd
=4
QR-S
⇔
1
1−*
=3<
⇔1=3<−3<*
⇔
1
3<
=1−*
⇔*=1−
1
3<
Jadi penyelesaian PD diatas adalah G=L−
L
HU
12 Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
b. 3
+,
+-
−*=2^
&
Jawab :
7*
73
=2(3,*) 8=e_89 fg *=2(3)
3
7*
73
−*=2^
&
3
7* 73
=2^
&
+*
3
7*
2^
&
+*
=73
1
2^
&
+*
7*=
1
3
73
P
1
2^
&
+*
7*=P
1 3
73
P
1
*+2^
&
7*=P
1 3
73
ln|*+2^
&
|+ln?=ln3+ln?
P
1
*+2^
&
7*=
7_
7*
=1→7_=7*
=ln_+?
=ln|*+2^
&
|+?
Misal : _=*+2^
&
Sehingga :∫
!
,.&B
%
7*=∫
!
D
7_
13 PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
b. 3
+,
+-
−*=2^
&
Jawab :
7*
73
=2(3,*) 8=e_89 fg *=2(3)
3
7*
73
−*=2^
&
3
7*
73
=2^
&
+*
3
7*
2^
&
+*
=73
1
2^
&
+*
7*=
1
3
73
P
1
2^
&
+*
7*=P
1
3
73
P
1
*+2^
&
7*=P
1
3
73
ln|*+2^
&
|+ln?=ln3+ln?
P
1
*+2^
&
7*=
7_
7*
=1→7_=7*
=ln_+?
=ln|*+2^
&
|+?
Misal : _=*+2^
&
Sehingga :∫
!
,.&B
%
7*=∫
!
D
7_
ln|*+2^
&
|=ln3+ln<
ln|*+2^
&
|=ln3<
4
QR,.&B
%
=4
QR-S
*+2^
&
=3<
*=3<−2^
&
2. Tunjukkan bahwa fungsi yang diberikan merupakan
penyelesaian dari persamaan diferensial :
;.
7*
73
=2* ,*=<4
&-
Jawab :
+,
+-
=2*
1
2*
7*=73
P
1
2*
7*=P73
1 2
P
1
*
7*=P73
1 2
ln*=3+<
ln*
Y
%
=3+<
4
QR,
Y
%
=4
-.S
*
Y
%
=4
-
.4
S
*
Y %
=<.4
-
i*
Y %
j
&
=(<4
-
)
&
*=<
&
4
&-
*=<4
&-
P
1
3
73=ln3+<
;logX=logX
k
Ingat teknik pengintegralan :
Sifat Logaritma
14 Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
X.
7*
73
=
3
4*
,3
&
−4*
&
=16,*(4)=0
Jawab :
7* 73
=
3
4*
4* 7*=373
P4* 7*=P373
2*
&
+?=
1 2
3
&
+?
1
2
3
&
−2*
&
=?
Syarat awal *(4)=0, maka ?=
!
&
(4)
&
−2(0)
&
=8
1
2
3
&
−2*
&
=8
3
&
−4*
&
=16
15
X.
7*
73
=
3
4*
,3
&
−4*
&
=16,*(4)=0
Jawab :
7*
73
=
3
4*
4* 7*=373
P4* 7*=P373
2*
&
+?=
1
2
3
&
+?
1
2
3
&
−2*
&
=?
Syarat awal *(4)=0, maka ?=
!
&
(4)
&
−2(0)
&
=8
1
2
3
&
−2*
&
=8
3
&
−4*
&
=16
BAB II
PERSAMAAN DIFERENSIAL SEPARABEL
DAN REDUKSI KE PERSAMAAN SEPARABEL
Pada bagian ini, kita akan membahas teknik-teknik
penyelesaian Persamaan Diferensial Separabel orde satu.
Untuk Persamaan Diferensial Separabel orde satu yang
berbentuk *
′
=2(3), dimana 2fungsi kontinu dari satu
peubah bebas x, maka kita dapat mengintegralkan secara
langsung kedua ruas untuk memperoleh penyelesainnya.
Selanjutnya akan dicari penyelesaian persamaan diferensial
separabel order satu
Bentuk umum :
+,
+-
=2(3,*)............(1)
Dimana 2 fungsi kontinu dari dua peubah bebas x dan
y. Penyelesainnya tidak dapat diperoleh dengan
mengintegralkan secara langsung. Untuk meyelesaikan PDB
orde satu ada beberapa langkah :
A. Persamaan Diferensial Separabel
Untuk mencari penyelesaian umum dari persamaan (1),
terlebih dahulu kita pisahkan peubah x dan y, sehingga kita
peroleh fungsi
2(3,*)=l(3)m(*)
Persamaan (1) berubah menjadi
16 Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
7*
73
=l(3)m(*)
Atau dapat di tulis
7*
m(*)
=l(3)73
Sehingga ∫
+,
n(,)
=∫l(3)73 maka akan ditemukan
solusi umum PD tersebut
*(3
V)=*
V
Contoh 1:
Selesaikan
+,
+-
=24
5,
cos3
Penyelesaian :dengan memisahkan peubahnya
7*
4
5,
=2cos3 73−→;
W
=
1
;
5W
4
,
7*=2cos373
Integralkan kedua ruas:
P4
,
7*=P2cos3 73
Sehingga kita peroleh penyelesaian umumnya adalah
4
,
+?=2sin3+?
4
,
=2sin3+?
ln4
,
=ln|2sin3+?| 9:>;^ 892;^∶ log;
W
=Xlog;
*ln4=ln|2sin3+?|
*=ln|2sin3+<|
Contoh :
Selesaikan soal berikut dengan pemisah peubah.
a.
+,
+-
=
-
p
qrd
Jawab :
17 PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
7*
73
=l(3)m(*)
Atau dapat di tulis
7*
m(*)
=l(3)73
Sehingga ∫
+,
n(,)
=∫l(3)73 maka akan ditemukan
solusi umum PD tersebut
*(3
V)=*
V
Contoh 1:
Selesaikan
+,
+-
=24
5,
cos3
Penyelesaian :dengan memisahkan peubahnya
7*
4
5,
=2cos3 73−→;
W
=
1
;
5W
4
,
7*=2cos373
Integralkan kedua ruas:
P4
,
7*=P2cos3 73
Sehingga kita peroleh penyelesaian umumnya adalah
4
,
+?=2sin3+?
4
,
=2sin3+?
ln4
,
=ln|2sin3+?| 9:>;^ 892;^∶ log;
W
=Xlog;
*ln4=ln|2sin3+?|
*=ln|2sin3+<|
Contoh :
Selesaikan soal berikut dengan pemisah peubah.
a.
+,
+-
=
-
p
qrd
Jawab :
Misalkan :
Sehingga :
P−
sin3
cos
&
3
73=
_=<=83
7_
73
=−89:3
7_=−89:373
P−
89:3
<=8
&
3
73=P
1
_
&
7_=−
1
_
+?
=−
1
<=83
+?
7*
73
=
3
4
-
.4
,
7* 73
=3.
4
5-
4
,
4
,
7*=34
5-
73
P4
,
7*=P34
5-
73
4
,
+?=−34
5-
−4
5-
+<
4
,
=−(34
5-
+4
5-
)+?
*+?=ln|−(34
5-
+4
5-
)|+ln?
*=ln|−<(34
5-
+4
5-
)|
b. *<=8
&
3 7*+sin373=0
Jawab :
*cos
&
37*=−sin373
* 7*=−
sin3
cos
&
3
73
P* 7*=P−
sin3
cos
&
3
73
1
2
*
&
=−
1
cos3
+?
*
&
=−
2
cos3
+?
*+2sec3=?
c.
+,
+-
=3*4
-
%
Jawab:
Langkah 1. Memisahkan variabelnya
7*
73
=3*4
-
%
18 Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
Ingat :
Misalkan :
Sehingga
=
!
&
4
-
%
+?
P34
-
%
73=
_=3
&
7_
73
=23
7_=2373
1
2
7_=3 73
P34
-
%
73=
1 2
P4
D
7_=
1 2
4
D
+?
7*
*
=34
-
%
73
Langkah 2. Kedua ruas
diintegralkan
P
1
*
7*=P34
-
%
73
ln*=
1
2
4
-
%
+?
4
QR,
=4
Y
%
p
q
%
.Z
*=?4
Y %
p
q
%
Sehingga solusi PD
diatas adalah
*=?4
Y %
p
q
%
d. 4
-
7*+(*
/
+*
&
)73=0
e. 3
&
7*+*(3−1)73=0
B. Persamaan Diferensial Separabel
Definisi. Persamaan diferensial dengan bentuk:
.....................persamaan (4.1)
disebut persamaan separabel.
Secara umum persamaan diferensial separabel tidak
eksak, tetapi mempunyai faktor integrasi yang jelas yaitu:
s(3)t(*)73+2(3)>(*)7*=0
19 PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
Ingat :
Misalkan :
Sehingga
=
!
&
4
-
%
+?
P34
-
%
73=
_=3
&
7_
73
=23
7_=2373
1
2
7_=3 73
P34
-
%
73=
1
2
P4
D
7_=
1
2
4
D
+?
7*
*
=34
-
%
73
Langkah 2. Kedua ruas
diintegralkan
P
1
*
7*=P34
-
%
73
ln*=
1
2
4
-
%
+?
4
QR,
=4
Y
%
p
q
%
.Z
*=?4
Y
%
p
q
%
Sehingga solusi PD
diatas adalah
*=?4
Y
%
p
q
%
d. 4
-
7*+(*
/
+*
&
)73=0
e. 3
&
7*+*(3−1)73=0
B. Persamaan Diferensial Separabel
Definisi. Persamaan diferensial dengan bentuk:
.....................persamaan (4.1)
disebut persamaan separabel.
Secara umum persamaan diferensial separabel tidak
eksak, tetapi mempunyai faktor integrasi ya
ng jelas yaitu:
s(3)t(*)73+2(3)>(*)7*=0
μ(x)=
1
2(3)t(*)
sehingga persamaan (4.1) menjadi
1
2(3)t(*)
s(3)t(*)73+
1
2(3)t(*)
2(3)>(*)7*
v(-)
w(-)
73+
x(,)
y(,)
7*=0..................................(4.2)
Persamaan (4.2) merupakan persamaan diferensial
eksak karena
z
z*
{
s(3)
2(3)
|=0=
z
z3
{
>(*)
t(*)
|
Persamaan (4.2) terlihat bahwa variabel-variabel x dan
y dapat dipisahkan sehingga mengelompok. Oleh karena itu
penyelesaian persamaan diferensial (4.1) adalah
∫
v(-)
w(-)
73+∫
x(,)
y(,)
7*=?.......................................(4.3)
Contoh :
Selesaikan persamaan diferensial
(3−4)*
&
73−3
/
(*
&
−3)7*=0
s(3)=3−4,t(*)=*
&
,2(3)=−3
/
,>(*)=*
&
−3
}(3)=
1
2(3)t(*)
=
1
−3
/
*
&
Penyelesaian :
Persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial
separabel dengan mengkalikan
!
5-
'
,
%
diperoleh
1
−3
/
*
&
(3−4)*
&
73−
1
−3
/
*
&
3
/
(*
&
−3)7*=0
20 Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
−
3−4
3
/
73+
*
&
−3
*
&
7*=0
−(3−4).3
5/
73+(*
&
−3).*
5&
7*=0
(−3
5&
+43
5/
)73+(1−3*
5&
)7*=0
P(−3
5&
+43
5/
)73+P(1−3*
5&
)7*
P−3
5&
73+P43
5/
73+P(1−3*
5&
)7*
Ingat definisi integral :
P3
J
73=
1
:+1
3
J.!
+?
P−3
5&
73=−P3
5&
73
=−~
1
−2+1
3
5&.!
=−(−1.3
5!
)
=3
5!
=
1
3
Dengan mengintegralkan diperoleh penyelesaian umum
1 3
−
2
3
&
+*+
3
*
=<
Latihan.
Selesaikan persamaan
3 89:* 73+(3
&
+1)<=8* 7*=0
dengan syarat awal *(1)=
!
&
21 PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
−
3−4
3
/
73+
*
&
−3
*
&
7*=0
−(3−4).3
5/
73+(*
&
−3).*
5&
7*=0
(−3
5&
+43
5/
)73+(1−3*
5&
)7*=0
P(−3
5&
+43
5/
)73+P(1−3*
5&
)7*
P−3
5&
73+P43
5/
73+P(1−3*
5&
)7*
Ingat definisi integral :
P3
J
73=
1
:+1
3
J.!
+?
P−3
5&
73=−P3
5&
73
=−~
1
−2+1
3
5&.!
=−(−1.3
5!
)
=3
5!
=
1
3
Dengan mengintegralkan diperoleh penyelesaian umum
1
3
−
2
3
&
+*+
3
*
=<
Latihan.
Selesaikan persamaan
3 89:* 73+(3
&
+1)<=8* 7*=0
dengan syarat awal *(1)=
!
&
Penyelesaian :
Persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial
separabel karena dengan membagi (3
&
+1)sin* (FAKTOR
INTEGRASI) diperoleh
3
3
&
+1
73+
<=8*
89:*
7*=0
Dengan mengintegralkan diperoleh
1
2
ln(3
&
+1)+ln|sin*|=ln|<|
ln(3
&
+1)+2ln|sin*|=2ln|<|
ln(3
&
+1)sin
&
*=ln<
&
(3
&
+1)sin
&
*=?
&
Sehingga solusi umum persamaan diferensialnya
adalah
(3
&
+1)sin
&
*=?
Dengan memberikan 3=1 dan *=
!
&
diperoleh C= 2.
Jadi penyelesaian masalah syarat awalnya
(3
&
+1)sin
&
*=2
Contoh Soal dan Pembahasan
a. Selesaikan masalah syarat awal
+,
+-
=
/-
%
.`-.&
&(,5!)
, *(0)=−1
7* 73
=
33
&
+43+2
2(*−1)
2(*−1)7*=33
&
+43+273
P2(*−1)7*=P33
&
+43+273
*
&
−2*=3
/
+23
&
+23+?
Syarat awal *(0)=−1
−1
&
+2=?
?=3
22 Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
Sehingga solusi umum PD berubah menjadi :
*
&
−2*=3
/
+23
&
+23+3
b. Selesaikan masalah syarat awal
+,
+-
=2*
&
+3*
&
,
*(0)=1
7*
73
=*
&
(2+3)
1
*
&
7*=(2+3)73
P
1
*
&
7*=P(2+3)73
P*
5&
7*=P(2+3)73
−
1
*
=23+
1 2
3
&
+<
Syarat awal *(0)=1 maka ?=−1
Sehingga PD berubah menjadi
−
1
*
=23+
1 2
3
&
−1
c. Tunjukkan bahwa persamaan
7* 73
=
3
&
1−*
&
Adalah PD Separabel!
Jawab :
(1−*
&
)7*=3
&
73
(1−*
&
)7*−3
&
73=0
s(3)=−3
&
,>(*)=(1−*
&
),t(*)=1,2(3)=1
"(3,*)=−3
&
,"
,=0dan#(3,*)=1−*
&
,#
-=0
d. Selesaikan soal PD
*
′
=3*
/
(1+3
&
)
5
Y
%
23 PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
Sehingga solusi umum PD berubah menjadi :
*
&
−2*=3
/
+23
&
+23+3
b. Selesaikan masalah syarat awal
+,
+-
=2*
&
+3*
&
,
*(0)=1
7*
73
=*
&
(2+3)
1
*
&
7*=(2+3)73
P
1
*
&
7*=P(2+3)73
P*
5&
7*=P(2+3)73
−
1
*
=23+
1
2
3
&
+<
Syarat awal *(0)=1 maka ?=−1
Sehingga PD berubah menjadi
−
1
*
=23+
1
2
3
&
−1
c. Tunjukkan bahwa persamaan
7*
73
=
3
&
1−*
&
Adalah PD Separabel!
Jawab :
(1−*
&
)7*=3
&
73
(1−*
&
)7*−3
&
73=0
s(3)=−3
&
,>(*)=(1−*
&
),t(*)=1,2(3)=1
"(3,*)=−3
&
,"
,=0dan#(3,*)=1−*
&
,#
-=0
d. Selesaikan soal PD
*
′
=3*
/
(1+3
&
)
5
Y
%
Jawab :
7*
73
=*
/
3(1+3
&
)
5
Y
%
1
*
/
7*=
3
√1+3
&
73
P
1
*
/
7*=P
3
√1+3
&
73
P*
5/
7*=P
3
√1+3
&
73
(diteruskan sebagai latihan)
Masal ah Syarat Awal dan Eksistensi Solusi Persamaan
Diferensial Orde Satu
Definisi 2.1. Misal Persamaan diferensial orde satu
dengan bentuk derivatif
+,
+-
=2(3,*) ( 2.1)
dengan f kontinu pada domain g ? ℛ
&
dan (3
V,*
V)∈g.
Masal ah mencari penyelesaian ɸ yang terdefinisi pada
interval I yang memuat 3
Vdari persamaan (2.1) dan
memenuhi syarat awal
ɸ(3
V)=*
V
disebut masalah syarat awal dan ditulis sebagai berikut :
7*
73
=2(3,*)
*(3
V)=*
V
Contoh 1:
Selesaikan masalah syarat awal PD biasa berikut ini:
24 Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
7*
73
=−
3 *
*(3)=4
Penyelesaian :
7*
73
=−
3
*
* 7*=−3 73
P* 7*=−P3 73
1 2
*
&
+?=−
1 2
3
&
+?
1
2
*
&
+
1
2
3
&
=?
1
2
(3
&
+*
&
)=?
3
&
+*
&
=2?
3
&
+*
&
=?
Persamaan diferensial tersebut mempunyai solusi umum
3
&
+*
&
=<……..( 1)
Dengan memberikat syarat *(3)=4disubstitusikan pada
penyelesaian umum, maka diperoleh 9+16=<
&
atau c
2
=
25. Jadi diperoleh penyelesaian masalah syarat awalnya
3
&
+*
&
=25
Teorema 2.1. Jika persam aan diferensial
+,
+-
=2(3,*) ( 2.2)
memenuhi :
Fungsi f kontinu pada domain g ? ℛ
&
Derivatif partial
@w
@,
(3,*) kontinu pada domain D.
25 PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
7*
73
=−
3
*
*(3)=4
Penyelesaian :
7*
73
=−
3
*
* 7*=−3 73
P* 7*=−P3 73
1
2
*
&
+?=−
1
2
3
&
+?
1
2
*
&
+
1
2
3
&
=?
1
2
(3
&
+*
&
)=?
3
&
+*
&
=2?
3
&
+*
&
=?
Persamaan diferensial tersebut mempunyai solusi umum
3
&
+*
&
=<……..( 1)
Dengan memberikat syarat *(3)=4disubstitusikan pada
penyelesaian umum, maka diperoleh 9+16=<
&
atau c
2
=
25. Jadi diperoleh penyelesaian masalah syarat awalnya
3
&
+*
&
=25
Teorema 2.1. Jika persam aan diferensial
+,
+-
=2(3,*) ( 2.2)
memenuhi :
Fungsi f kontinu pada domain g ? ℛ
&
Derivatif partial
@w
@,
(3,*) kontinu pada domain D.
dan (3
V,*
V)∈g, maka terdapat penyelesaian tunggal ɸ dari
persam aan (2.2) yang terdefinisi pada suatu interval [3
V−
ℎ,3
V+ℎ ] dimana h cukup kecil dan memenuhi syarat ɸ(3
V)=
*
V.
Contoh 2:
Pandang masalah syarat awal
7*
73
=3
&
+*
&
*(1)=3
Dari masalah ini diperoleh 2(3,*)=3
&
+*
&
dan
@w
@,
(3,*)=
2* kontinu pada domain g
, ϲ )
&
. Karena syarat awal
*(1)=3 berarti titik (1,3) pasti termuat pada domain D tadi.
Dengan teorema 2.1 diperoleh suatu penyelesaian tunggal ɸ
dari persamaan diferensial
+,
+-
=3
&
+*
&
yang terdefinisi
pada interval [1-h, 1+h] dan memenuhi ɸ (1)=3
Contoh 3:
7*
73
=2(3*+*),*(0)=1
Jawab :
Langkah 1. Kita pisahkan variable-variabelnya
7*
73
=2*(3+1)
7*
2*
=(3+1)73
26 Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
Langkah 2. Bersama-sama diintegralkan
P
1
2*
7*=P(3+1)73
1
2
ln*=
1
2
3
&
+3+?
ln*=2~
1
2
3
&
+3+?
ln*=3
&
+23+?
4
QR,
=4
-
%
.&-.Z
*=4
-
%
.&-
.4
Z
Karena syarat awal *(0)=1, maka
1=4
V
%
.&.V
.?
?=1
Jadi solusi umum PD diatas dengan masalah syarat
awalnya:
*=4
-
%
.&-
Contoh 4:
*4
5-
7*+373=0,*(1)=2
Jawab :
*4
5-
7*+373=0
*4
5-
7*=−373
*7*=−
3
4
5-
73
* 7*=−34
-
73
P*7*=P−34
-
73
1
2
*
&
=−P34
-
73
1 2
*
&
=−34
-
+4
-
+?
27 PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
Langkah 2. Bersama-sama diintegralkan
P
1
2*
7*=P(3+1)73
1
2
ln*=
1
2
3
&
+3+?
ln*=2~
1
2
3
&
+3+?
ln*=3
&
+23+?
4
QR,
=4
-
%
.&-.Z
*=4
-
%
.&-
.4
Z
Karena syarat awal *(0)=1, maka
1=4
V
%
.&.V
.?
?=1
Jadi solusi umum PD diatas dengan masalah syarat
awalnya:
*=4
-
%
.&-
Contoh 4:
*4
5-
7*+373=0,*(1)=2
Jawab :
*4
5-
7*+373=0
*4
5-
7*=−373
*7*=−
3
4
5-
73
* 7*=−34
-
73
P*7*=P−34
-
73
1
2
*
&
=−P34
-
73
1
2
*
&
=−34
-
+4
-
+?
*
&
=2(−34
-
+4
-
)+?
*
&
=−234
-
+24
-
+?
Karena syarat awal :*(1)=2
Maka :
(2)
&
=−2.1.4
!
+2.4
!
+?
4=−24+24+?
?=4
Jadi solusi umum PD Biasa orde satu dengan masalah
syarat awal :
*
&
+234
-
−24
-
=4
*
&
+24
-
(3−1)=4
P
4
-
3
73=P
1
3
4
-
73
=P4
-
~
1 3
73=P4
-
7(ln3)
Contoh 5:
Selesaikan PDB orde satu dengan masalah syarat awal
berikut ini:
*
&
7*
73
=
4
&-
+1
4
-
,*(0)=1
Penyelesaian :
*
&
7*=
4
&-
+1
4
-
73
P*
&
7*=P
4
&-
+1
4
-
73
Bentuk penyelesaian integral :
P
4
&-
+1
4
-
73=P4
-
73+P
1
4
-
73
=4
-
+(−4
5-
)+4
S
28 Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
1
3
*
/
=4
-
+(−4
5-
)+4
S
Dengan syarat awal *(0)=1 maka
1
3
(1)
/
=4
V
−4
V
+4
S
1 3
=4
S
<=ln
1
3
Sehingga solusi umum PD dengan syarat awal adalah :
1
3
*
/
=4
-
+(−4
5-
)+ln
1
3
LATIHAN
1. Selesaikan PDB dengan masalah MNA berikut
a.
+,
+-
+3*−3=0,*(1)=2
b. *
′
+*sin3=0,*(*)=1
c. 373+*4
5-
7*=0,*(0)=1
d.
++
+B
+f=f^4
B
e. sin23 73+cos3* 7*=0,*i
!
&
j=
!
/
f. *
′
=
p
cq
5p
q
/.`,
,*(0)=1
2. Solve the initial value problem
*
′
=
2−4
-
3+2*
,*(0)=0
And determine where the solution attains its maximum
value.
29
1
3
*
/
=4
-
+(−4
5-
)+4
S
Dengan syarat awal *(0)=1 maka
1
3
(1)
/
=4
V
−4
V
+4
S
1
3
=4
S
<=ln
1
3
Sehingga solusi umum PD dengan syarat awal adalah :
1
3
*
/
=4
-
+(−4
5-
)+ln
1
3
LATIHAN
1. Selesaikan PDB dengan masalah MNA berikut
a.
+,
+-
+3*−3=0,*(1)=2
b. *
′
+*sin3=0,*(*)=1
c. 373+*4
5-
7*=0,*(0)=1
d.
++
+B
+f=f^4
B
e. sin23 73+cos3* 7*=0,*i
!
&
j=
!
/
f. *
′
=
p
cq
5p
q
/.`,
,*(0)=1
2. Solve the initial value problem
*
′
=
2−4
-
3+2*
,*(0)=0
And determine where the solution attains its maximum
value.
BAB III
PERSAMAAN DIFERENSIAL EKSAK DAN
FAKTOR INTEGRASI
A. Persamaan Diferensial Eksak
Definisi : Misalkan F fungsi dua variabel yang
mempunyai derivatif partial orde satu kontinu pada
Domain D. Diferensial total dF dari fungsi F di definisikan:
Untuk setiap (3,*)∈g
Contoh :
Misal F fungsi dua variabel dengan rumus :
s(3,*)=3*
/
+sin(3+*
&
)
Maka mempunyai diferensial total :
7s(3,*)=(*
/
+cos(3+*
&
))73+(33*
&
+2*<=8(3+*
&
)7*
Bentuk persamaan diferensial eksak :
,(H,G)FH+-(H,G)FG
F.(H,G)=
/.(H,G)
/H
FH+
/.(H,G)
/G
FG
30 Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
Disebut diferensial eksak pada domain D jika terdapat
fungsi dua variabel F sehingga diferensial diatas
merupakan diferensial total F untuk setiap (3,*)∈g.
Dengan kata lain terdapat fungsi F sehingga
@v(-,,)
@-
=
"(3,*)dan
@v(-,,)
@,
=#(3,*).
Jika "(3,*)73+#(3,*)7* merupakan diferensial
eksak maka persamaan diferensial orde satu "(3,*)73+
#(3,*)7*=0 disebut persamaan diferensial eksak.
Teorema 3.1. misalkan persamaan diferensial
"(3,*)73+#(3,*)7*=0 (persamaan 2.3). Jika "(3,*)=
@v(-,,)
@-
dan#(3,*)=
@v(-,,)
@,
mempunyai derivatif parsial
orde satu kontinu pada D. Persamaan diferensial (2.3) eksak
pada D jika dan hanya jika
Bukti:
Jika persamaan diferensial (2.3) adalah eksak, maka terdapat
suatu fungsi diferensial 2(3,*)sehingga 7[2(3,*)]=0.
Dipunyai
@v(-,,)
@-
="(3,*)dan
@v(-,,)
@,
=#(3,*).
Sebagai suatu syarat keeksakan. (sebagai latihan
mahasiswa)
/,(H,G)
/G
=
/-(H,G)
/H
31 PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
Disebut diferensial eksak pada domain D jika terdapat
fungsi dua variabel F sehingga diferensial diatas
merupakan diferensial total F untuk setiap (3,*)∈g.
Dengan kata lain terdapat fungsi F sehingga
@v(-,,)
@-
=
"(3,*)dan
@v(-,,)
@,
=#(3,*).
Jika "(3,*)73+#(3,*)7* merupakan diferensial
eksak maka persamaan diferensial orde satu "(3,*)73+
#(3,*)7*=0 disebut persamaan diferensial eksak.
Teorema 3.1. misalkan persamaan diferensial
"(3,*)73+#(3,*)7*=0 (persamaan 2.3). Jika "(3,*)=
@v(-,,)
@-
dan#(3,*)=
@v(-,,)
@,
mempunyai deri
vatif parsial
orde satu kontinu pada D. Persamaan diferensial (2.3) eksak
pada D jika dan hanya jika
Bukti:
Jika persamaan diferensial (2.3) adalah eksak, maka terdapat
suatu fungsi diferensial 2(3,*)sehingga 7[2(3,*)]=0.
Dipunyai
@v(-,,)
@-
="(3,*)dan
@v(-,,)
@,
=#(3,*).
Sebagai suatu syarat keeksakan. (sebagai latihan
mahasiswa)
/,(H,G)
/G
=
/-(H,G)
/H
Contoh 1:
Persamaan Diferensial
(*
/
+cos(3+*
&
))73+(33*
&
+2*<=8(3+*
&
)7*=0
(1.1)
Merupakan persamaan diferensial eksak karena diperoleh
"(3,*)=(*
/
+cos(3+*
&
))
#(3,*)=(33*
&
+2*<=8(3+*
&
)
Sehingga
z"(3,*)
z*
=3*
&
−2* sin (3+*
&
)
z#(3,*)
z3
=3*
&
−2* sin (3+*
&
)
Karena
@0(-,,)
@,
=3*
&
−2*sin(3+*
&
)=
@1(-,,)
@-
maka Persamaan
diferensial (1.1) memenuhi persamaan diferensial eksak.
Teorema 3.2. Misalkan persamaan diferensial
"(3,*)73+#(3,*)7*=0 e ksak pada D fungsi dua
variabel F memenuhi :
@v(-,,)
@-
="(3,*)dan
@v(-,,)
@,
=#(3,*)
untuk setiap (3,*)∈g, maka penyelesaian umum
persamaan diferensial eksak tersebut adalah s(3,*)=?
dan C konstanta sembarang.
s(3,*)=P"(3,*)73=2(3,*)+ℎ(*)
Adapun langkah-langkah untuk menyelesaikan PD Eksak
adalah sebagai berikut:
Langkah 1 : Tuliskan PD dalam bentuk diferensial :
"(3,*)73+#(3,*)7*=0
32 Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
Langkah 2 : Tes ke-eksakan PD ; apakah
z"(3,*)
z*
=
z#(3,*)
z3
Langkah 3 : jika eksak, integralkan "(3,*) terhadap 3
atau #(3,*)terhadap *. Misal dipilih "(3,*), maka :
s(3,*)=P"(3,*)73+ℎ(*)
Langkah 4 : Turunkan s(3,*) terhadap y dan samakan
hasilnya dengan #(3,*)
#(3,*)=
z
z*
~P"(3,*)73 +ℎ
′
(*).
Langkah 5 : integralkan ℎ
′
(*) untuk memperoleh ℎ(*).
Langkah 6 : tuliskan penyelesaian umum dalam bentuk
implisit :
s(3,*)=?
Langkah 7 : tentukan nilai C jika diberikan masalah syarat
awal
Contoh 2:
Selesaikan PD
7*
73
=−
3−2*
*
&
−23
,*(0)=3
Penyelesaian :
Langkah 1. Bentuk diferensial PD adalah
7*
73
=−
3−2*
*
&
−23
(*
&
−23)7*=−(3−2*)73
(3−2*)73+(*
&
−23)7*=0
33 PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
Langkah 2 : Tes ke-eksakan PD ; apakah
z"(3,*)
z*
=
z#(3,*)
z3
Langkah 3 : jika eksak, integralkan "(3,*) terhadap 3
atau #(3,*)terhadap *. Misal dipilih "(3,*), maka :
s(3,*)=P"(3,*)73+ℎ(*)
Langkah 4 : Turunkan s(3,*) terhadap y dan samakan
hasilnya dengan #(3,*)
#(3,*)=
z
z*
~P"(3,*)73 +ℎ
′
(*).
Langkah 5 : integralkan ℎ
′
(*) untuk memperoleh ℎ(*).
Langkah 6 : tuliskan penyelesaian umum dalam bentuk
implisit :
s(3,*)=?
Langkah 7 : tentukan nilai C jika diberikan masalah syarat
awal
Contoh 2:
Selesaikan PD
7*
73
=−
3−2*
*
&
−23
,*(0
)=3
Penyelesaian :
Langkah 1. Bentuk diferensial PD adalah
7*
73
=−
3−2*
*
&
−23
(*
&
−23)7*=−(3−2*)73
(3−2*)73+(*
&
−23)7*=0
Langkah 2. PD ini eksak, karena
"(3,*)=3−2*→
∂M(x,y)
∂y
=−2
#(3,*)=*
&
−23→
∂N(x,y)
∂x
=−2
∂M(x,y)
∂y
=
∂N(x,y)
∂x
=−2
Langkah 3. Misal kan dipilih M(x,y)untuk diintegralkan,
maka:
F(x,y)=PM(x,y)dx+h(y)
=P(x−2y)dx+h(y)
=
1
2
x
&
−2xy+h(y).
*=3
J
→
7* 73
=:3
J5!
Langkah 4. Samakan
23(",))
2)
dengan N(x,y)
∂F(x,y)
∂y
=#(3,*)
z~
!
&
3
&
−23*+ℎ(*)
z*
=*
&
−23
−23+ℎ
′
(*)=(*
&
−23)
ℎ
′
(*)=*
&
−23+23=*
&
Langkah 5: integralkan ℎ
′
(*) untuk memperoleh ℎ(*)
Pℎ
′
(*)7*=P*
&
7*
P
7\ℎ(*)]
7*
.7*=P*
&
7*
34 Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
P7\ℎ(*)]=P*
&
7*
ℎ(*)=
1
3
*
/
+?
Langkah 6: tuliskan penyelesaian umum dalam bentuk
implisit :
s(3,*)=?
1
2
x
&
−2xy+
1 3
*
/
=?
Langkah 7: tentukan nilai C jika diberikan masalah syarat
awal *(0)=3, maka
?=9
Maka solusi umum PD eksak dengan masalah syarat awal :
!
&
x
&
−2xy+
! /
*
/
=9atau
! &
x
&
−2xy+
! /
*
/
−9=0
Contoh3 :
Diberikan suatu persamaan diferensial
*73+237*=0
Apakah merupakan persamaan diferensial eksak? Jika ya,
maka selesaikan persamaan diferensial tersebut
Jawab :
"(3,*)=*→
∂M(x,y)
∂y
=1
#(3,*)=23→
∂N(x,y)
∂x
=2
Karena
∂M(x,y)
∂y
≠
∂N(x,y)
∂x
35 PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
P7\ℎ(*)]=P*
&
7*
ℎ(*)=
1
3
*
/
+?
Langkah 6: tuliskan penyelesaian umum dalam bentuk
implisit :
s(3,*)=?
1
2
x
&
−2xy+
1
3
*
/
=?
Langkah 7: tentukan nilai C jika diberikan masalah syarat
awal *(0)=3, maka
?=9
Maka solusi umum PD eksak dengan masalah syarat awal :
!
&
x
&
−2xy+
!
/
*
/
=9atau
!
&
x
&
−2xy+
!
/
*
/
−9=0
Contoh3 :
Diberikan suatu persamaan diferensial
*73+237*=0
Apakah merupakan persamaan diferensial eksak? Jika ya,
maka selesaikan persamaan diferensial tersebut
Jawab :
"(3,*)=*→
∂M(x,y)
∂y
=1
#(3,*)=23→
∂N(x,y)
∂x
=2
Karena
∂M(x,y)
∂y
≠
∂N(x,y)
∂x
Maka bukan PD eksak. PD diatas merupakan PD separabel,
maka penyelesaiaanya :
*73+237*=0
*73=−237*
−
1
23
73=
1
*
7*
Integralkan kedua ruas
−
1
2
P
1
3
73=P
1
*
7*
−
1 2
ln3=ln*+?
ln3
5
Y
%
=ln*+?
Sifat logaritma 4
Q56-
=4
QR-
=3, sehingga kedua ruas
dipangkatkan dalam bentuk eksponential
4
QR-
c
Y
%
=4
QR,.Z
3
5
Y
%
=*+?
Solusi eksplisit dari Persamaan Diferensial diatas adalah
*=3
5i
Y %
j
+?
*=
1
3
Y %
+?
*=
1
√3
+?
36 Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
LATIHAN
1. Selesaikan persamaan diferensial
(33
&
+43*)73+(23
&
+2*)7*=0
2. Selesaikan masalah syarat awal :
(23<=8 *+33
&
*)73+(3
/
−3
&
sin*−*)7*=0
dengan y(0) = 2
3. Selesaikan PD (33
&
*
&
−3)7*+(23*
/
−*)73=0
4. Tentukan masalah syarat awal berikut:
(*
/
+cos(3+*
&
))73+(33*
&
+2*<=8(3+*
&
)7*, y(0)
= 1
5. Pilihlah dari persamaan-persamaan berikut yang eksak
dan selesaikan :
a. (3
&
−*)73−37*=0
b. *(3−2*)73−3
&
7*=0
c. 73−(;
&
−3
&
)
Y
%
7*=0
d. (3
&
+*
&
)73+3*7*=0
e. i43
/
*
/
+
!
-
j73+i33
`
*
&
−
!
,
j7*=0
B. Persamaan Diferensial Non Eksak
Dalam persamaan diferensial bentuk
"(3,*)73+#(3,*)7*=0 ...........(1)
yang memenuhi persamaan diferensial eksak. Apabila
syarat awal persamaan diferensial eksak tidak terpenuhi,
dimana
,(H,G)FG≠-(H,G)FH
37 PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
LATIHAN
1. Selesaikan persamaan diferensial
(33
&
+43*)73+(23
&
+2*)7*=0
2. Selesaikan masalah syarat awal :
(23<=8 *+33
&
*)73+(3
/
−3
&
sin*−*)7*=0
dengan y(0) = 2
3. Selesaikan PD (33
&
*
&
−3)7*+(23*
/
−*)73=0
4. Tentukan masalah syarat awal berikut:
(*
/
+cos(3+*
&
))73+(33*
&
+2*<=8(3+*
&
)7*, y(0)
= 1
5. Pilihlah dari persamaan-persamaan berikut yang eksak
dan selesaikan :
a. (3
&
−*)73−37*=0
b. *(3−2*)73−3
&
7*=0
c. 73−(;
&
−3
&
)
Y
%
7*=0
d. (3
&
+*
&
)73+3*7*=0
e. i43
/
*
/
+
!
-
j73+i33
`
*
&
−
!
,
j7*=0
B. Persamaan Diferensial Non Eksak
Dalam persamaan diferensial ben
tuk
"(3,*)73+#(3,*)7*=0 ...........(1)
yang memenuhi persamaan diferensial eksak. Apabila
syarat awal persamaan diferensial eksak tidak terpenuhi,
dimana
,(H,G)FG≠-(H,G)FH
Maka perlu adanya faktor tambahan yang biasa di
sebut dengan faktor integrasi
Sehingga bentuk persamaan (1) akan berubah menjadi:
7(H)"(3,*)73+7(H)#(3,*)7*=0
Untuk langkah mencari solusi umumnya sama dengan
PD eksak.
Contoh 1 :
Selesaikan persamaan diferensial berikut
*73+237*=0.........(1)
Jawab:
Jika dilihat dari bentuk persamaan diferensial tersebut
mengarah ke persamaan diferensial eksak bentuk:
"(3,*)73+#(3,*)7*=0
Tetapi untuk menguji persamaan diatas eksak atau bukan
harus memenuhi syarat awal
*73+237*=0
@0(-,,)
@,
= 1 dan
@1(-,,)
@-
=2 karena
@0(-,,)
@,
≠
@1(-,,)
@-
maka perlu adanya faktor integrasi 7(H)=T
∫8(H)FH
dimana
7(H)=T
∫8(H)FH
, dimana 8(H)=
L
,(H,G)
i
/-(H,G)
/H
−
/,(H,G)
/G
j
atau8(H)=
L
-(H,G)
i
/,(H,G)
/G
−
/-(H,G)
/H
jatau
+9
+-
=
0
d51
q
1
.}
38 Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
f(3)=
!
&-
(1−2)=−
!
&-
sehingga }(3)=4
∫5
Y
%q
+-
=
4
QR-
c
Y
%
=3
5
Y
% sehingga persamaan (1) di ubah menjadi:
3
5
Y %
*73+3
5
Y %
237*=0
Setelah menemukan faktor integrasi lakukan uji ulang
untuk membuktikan eksak atau bukan. (bukti sebagai
latihan mahasiswa)
Contoh 2
Selesaikan persamaan diferensial
(33*+*
&
)73+(3
&
+3*)7*=0
Apakah merupakan Persamaan Diferensial Eksak?
a. Jika ya tentukan solusi umumnya
b. Jika tidak carilah faktor integrasinya.
c. Tentukan solusi umum dari PD di atas.
Jawab :
a.
@0(-,,)
@,
;^;_ "
,= 33+2* dan
@1(-,,)
@-
;^;_ #
-=
23+* karena
@0(-,,)
@,
≠
@1(-,,)
@-
maka perlu adanya faktor integrasi µ(x)=e
∫:(")("
b. Factor integrasi :
7}
73
=
"
,−#
-
#.}
7}
73
=
33+2*−23−*
3
&
+3*
.}
7} 73
=
3+*
3(3+*)
.}
39 PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
f(3)=
!
&-
(1−2)=−
!
&-
sehingga }(3)=4
∫5
Y
%q
+-
=
4
QR-
c
Y
%
=3
5
Y
%
sehingga persamaan (1) di ubah menjadi:
3
5
Y
%
*73+3
5
Y
%
237*=0
Setelah menemukan faktor integrasi lakukan uji ulang
untuk membuktikan eksak atau bukan. (bukti sebagai
latihan mahasiswa)
Contoh 2
Selesaikan persamaan diferensial
(33*+*
&
)73+(3
&
+3*)7*=0
Apakah merupakan Persamaan Diferensial Eksak?
a. Jika ya tentukan solusi umumnya
b. Jika tidak carilah faktor integrasinya.
c. Tentukan solusi umum dari PD di atas.
Jawab :
a.
@0(-,,)
@,
;^;_ "
,= 33+2* dan
@1(-,,)
@-
;^;_ #
-=
23+* karena
@0(-,,)
@,
≠
@1(-,,)
@-
maka perlu adanya faktor integrasi µ(x)=e
∫:(")("
b. Factor integrasi :
7}
73
=
"
,−#
-
#
.}
7}
73
=
33+2*−23−*
3
&
+3*
.}
7}
73
=
3+*
3(3+*)
.}
7}
73
=
1 3
.}
1
}
7}=
1 3
73
ln}=ln3
4
QR9
=4
QR-
}(3)=3
c. Faktor integrasi }(3) dikalikan ke bentuk persamaan
diferensial awal :
3(33*+*
&
)73+3(3
&
+3*)7*=0
(33
&
*+3*
&
)73+(3
/
+3
&
*)7*=0
Kita uji ke eksakkannya :
"(3,*)=33
&
*+3*
&
→"
,=33
&
+23*
#(3,*)=3
/
+3
&
*→#
-=33
&
+23*
Sehingga diperoleh "
,=#
-
Solusi umum :
F(x,y)=C
F(x,y)=PM(x,y)dx+h(y)
Diperoleh
s(3,*)=P(33
&
*+3*
&
)73+ℎ(*)
s(3,*)=3
/
*+
1 2
3
&
*
&
+ℎ(*)
Turunkan
+v(-,,)
+,
=#(3,*)
3
/
+3
&
*+
7ℎ(*)
7*
=3
/
+3
&
*
7ℎ(*)
7*
=0
7ℎ(*)=0.7*
40 Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
P7ℎ(*)=?
ℎ(*)=?
maka solusi umum PD
3
/
*+
1
2
3
&
*
&
+?=?
3
/
*+
1 2
3
&
*
&
=?
LATIHAN SOAL
1. Kerjakan nomor 10
(
,
-
+63)73+(ln3−2)7*=0 untuk x> 0
2. Nomor 19
3
/
*
/
73+3(1+*
&
)7*=0 dimana µ(x)=
!
")
'
3. Tentukan #(3,*) sehingga (3*−*
&
+3)73+
#(3,*)7*=0 eksak.
4. Tunjukkan bahwa PD 23* 7*+(33+2*
&
)73=0
adalah non eksak. Kemudian tentukan faktor
integrasinya sehingga PD tersebut menjadi eksak dan
selesaikan.
5. Selesaikan PD
dy
dx
=
cosy
xsiny−y
&
pada buku Elementary Differential Equations&
boundary value Problemshal 100.
41
P7ℎ(*)=?
ℎ(*)=?
maka solusi umum PD
3
/
*+
1
2
3
&
*
&
+?=?
3
/
*+
1
2
3
&
*
&
=?
LATIHAN SOAL
1. Kerjakan nomor 10
(
,
-
+63)73+(ln3−2)7*=0 untuk x> 0
2. Nomor 19
3
/
*
/
73+3(1+*
&
)7*=0 dimana µ(x)=
!
")
'
3. Tentukan #(3,*) sehingga (3*−*
&
+3)73+
#(3,*)7*=0 eksak.
4. Tunjukkan bahwa PD 23* 7*+(33+2*
&
)73=0
adalah non eksak. Kemudian tentukan faktor
integrasinya sehingga PD tersebut menjadi eksak dan
selesaikan.
5. Selesaikan PD
dy
dx
=
cosy
xsiny−y
&
pada buku Elementary Differential Equations&
boundary value Problemshal 100.
BAB IV
PERSAMAAN DIFERENSIAL HOMOGEN
ORDE PERTAMA
A. Persamaan Diferensial Homogen
Definisi. Persamaan diferensial "(3,*)73+
#(3,*)7*=0 disebut homogen jika dapat ditulis dalam
bentuk derivatif
+,
+-
=2(3,*), maka terdapat fungsi g
sehingga 2(3,*)=>(
,
-
).
Contoh 1.
Persamaan diferensial (3
&
−3*
&
) 73+23* 7*=
0homogen , karena apabila ditulis dalam bentuk derivatif
(3
&
−3*
&
)73=−23* 7*
7*
73
=−
3
&
−3*
&
23*
7* 73
=
3*
&
−3
&
23*
=
3*
&
23*
−
3
&
23*
=
3*
23
−
3
2*
=
3
2
i
*
3
j−
1 2
;
1
,
-
<.
Yang ruas kanan berbentuk fungsi >(
,
-
).
42 Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
Contoh 2.
Persamaan diferensial i*+(3
&
+*
&
)
Y
%
j73−37*=0
homogen , karena apabila ditulis dalam bentuk derivatif
7*
73
=
i*+=*
&
+3
&
j
3
=
* 3
±
=3
&
+*
&
√3
&
=
*
3
±a{
3
&
3
&
|+{
*
&
3
&
|
=
*
3
±a1+i
* 3
j
&
Yang ruas kanan berbentuk fungsi > i
,
-
j.
Teorema. Jika persam aan diferensial
"(3,*)73+#(3,*)7*=0......................................(5.1)
Homogen, maka dengan memisalkan y=vx persam aan diferensial
(5.1) berubah menjadi persamaan diferensial separab el.
Langkah –langkah menentukan penyelesaian umum PD :
Langkah 1. Gunakan transformasi : *=C3,7*=C+3
+A
+-
atau 3=C*,73=C7*+* 7C.
Langkah 2. PD Homogen tereduksi ke PD variabel-variabel
terpisah.
Langkah 3. Gunakan aturan dalam PD variabel-variabel
terpisah untuk mendapatkan solusi umum PD
43 PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
Contoh 2.
Persamaan diferensial i*+(3
&
+*
&
)
Y
%
j73−37*=0
homogen , karena apabila ditulis dalam bentuk derivatif
7*
73
=
i*+=*
&
+3
&
j
3
=
*
3
±
=3
&
+*
&
√3
&
=
*
3
±a{
3
&
3
&
|+{
*
&
3
&
|
=
*
3
±a1+i
*
3
j
&
Yang ruas kanan berbentuk fungsi > i
,
-
j.
Teorema. Jika persam aan diferensial
"(3,*)73+#(3,*)7*=0......................................(5.1)
Homogen, maka dengan memisalkan y=vx persam aan diferensial
(5.1) berubah menjadi persamaan diferensial separab el.
Langkah –langkah menentukan penyelesaian umum PD :
Langkah 1. Gunakan transformasi : *=C3,7*=C+3
+A
+-
atau 3=C*,73=C7*+* 7C.
Langkah 2. PD Homogen tere
duksi ke PD variabel-variabel
terpisah.
Langkah 3. Gunakan aturan dalam PD variabel-variabel
terpisah untuk mendapatkan solusi umum PD
Langkah 4. Gantilah C=
,
-
(jika menggunakan transformasi
*=C3) dan C=
-
,
(jika menggunakan transformasi 3=C*)
untuk mendapatkan kembali variabel semula.
Contoh 3.
Selesaikan persamaan diferensial
(3
&
−3*
&
) 73+23*7*=0
Penyelesaian
Telah ditunjukkan bahwa persamaan diferensial tersebut
homogen dan dapat ditulis dalam bentuk derivatif
7*
73
=
3
2
i
* 3
j−
1 2
;
1
,
-
<
Misalkan *=C3, di peroleh
,
-
=C dan
+,
+-
=C+3i
+A
+-
j
sehingga
C+3~
7C 73
=
3 2
C−
1 2
~
1
C
3~
7C
73
=
3
2
C−C−
1 2
~
1
C
3~
7C
73
=
1
2
C−
1 2
(
1
C
)
3~
7C 73
=
C
&
−1
2C
2C7C
C
&
−1
=
73
3
Merupakan persamaan diferensial variabel-variabel terpisah
dan diintegralkan diperoleh
P
2C
C
&
−1
7C=P
1 3
73
ln|C
&
−1|=ln3+ln<
44 Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
ln|C
&
−1|=ln<3
4
QR>A
%
5!>
=4
QRS-
C
&
−1=<3
Di kembalikan ke variabel semula diperoleh
i
*
3
j
&
−1=<3
Jika *≥3≥0 dapat ditulis menjadi
*
&
3
&
−1=<3
(*
&
−3
&
)
3
&
=<3
*
&
−3
&
=<3
/
Contoh4 :
Selesaikan persamaan diferensial \*+=(3
&
+*
&
]73−
37*=0
Dengan syarat awal *(1)=0
Penyelesaian :
7*
73
=
*+=(3
&
+*
&
)
3
7*
73
=
*
3
+a
3
&
+*
&
3
&
7*
73
=
*
3
+a1+i
* 3
j
&
Misalkan *=C3, sehingga diperoleh
C+3
7C
73
=C+=1+C
&
3
7C 73
==1+C
&
45 PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
ln|C
&
−1|=ln<3
4
QR>A
%
5!>
=4
QRS-
C
&
−1=<3
Di kembalikan ke variabel semula diperoleh
i
*
3
j
&
−1=<3
Jika *≥3≥0 dapat ditulis menjadi
*
&
3
&
−1=<3
(*
&
−3
&
)
3
&
=<3
*
&
−3
&
=<3
/
Contoh4 :
Selesaikan persamaan diferensial \*+=(3
&
+*
&
]73−
37*=0
Dengan syarat awal *(1)=0
Penyelesaian :
7*
73
=
*+=(3
&
+*
&
)
3
7*
73
=
*
3
+a
3
&
+*
&
3
&
7*
73
=
*
3
+a1+i
*
3
j
&
Misalkan *=C3, sehingga diperoleh
C+3
7C
73
=C+=1+C
&
3
7C
73
==1+C
&
7C
√1+C
&
=
73
3
Merupakan persamaan diferensial separabel dan
diintegralkan diperoleh
ln|C+=1+C
&
|=ln3+ln<
C+=1+C
&
=<3
Dikembalikan ke variabel semula diperoleh
*
3
+ai
*
3
j
&
+1=<3
*+=3
&
+*
&
=<3
&
Jika syarat awal * = 0 untuk 3 = 1, maka diperoleh
< = 1. Jadi penyelesaian masalah syarat awal adalah
*=
1 2
(3
&
−1)
Latihan
Selesaikan PD homogen berikut :
1. 23
+,
+-
=−(3
&
+*
&
)
2.
-(,5-)+,
+-
=3
&
+*
&
3.
-+,
+-
−*=34
d
q
4.
+,
+-
−
,
-
=<=8i
,5-
-
j,3>0
46 Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
B. Persamaan Diferensial Non Homogen Bentuk
Khusus
Bagian ini membahas PD non homogen bentuk
(@
LH+A
LG+U
L)FH+(@
BH+A
BG+U
B)FG=C
Teorema 6. Misal persamaan diferensial
(;
!3+X
!*+<
!)73+(;
&3+X
&*+<
&)7*=0
................................(6.1)
Dengan ;
!,X
!,<
!,;
&,X
&,<
& konstanta di R
1. Jika
k
%
k
Y
≠
W
%
W
Y
≠
S
%
S
Y
atau
k
%
k
Y
≠
W
%
W
Y
Langkah-langkah mendapatkan penyelesaian umum
PD :
a. Cara Pertama dengan mengubah variabel
Langkah 1. Gunakan transformasi
3=_+ℎ
*=C+M
Langkah 2. Mencari nilai h dan k. Dimana
(h,k)merupakan penyelesaian dari sistem:
5. 3
+,
+-
=*ln*−*ln3
6. 23 7*−2* 73=i=3
&
+4*
&
j73
7. (*
&
−3
&
)73+3*7*=0
8.
~1+24
q
d 73+24
q
di1−
-
,
j7*=0
47 PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
B. Persamaan Diferensial Non Homogen Bentuk
Khusus
Bagian ini membahas PD non homogen bentuk
(@
LH+A
LG+U
L)FH+(@
BH+A
BG+U
B)FG=C
Teorema 6. Misal persamaan diferensial
(;
!3+X
!*+<
!)73+(;
&3+X
&*+<
&)7*=0
................................(6.1)
Dengan ;
!,X
!,<
!,;
&,X
&,<
& konstanta di R
1. Jika
k
%
k
Y
≠
W
%
W
Y
≠
S
%
S
Y
atau
k
%
k
Y
≠
W
%
W
Y
Langkah-langkah mendapatkan penyelesaian umum
PD :
a. Cara Pertama dengan mengubah variabel
Langkah 1. Gunakan transformasi
3=_+ℎ
*=C+M
Langkah 2. Mencari nilai h dan k. Dimana
(h,k)merupakan penyelesa
ian dari sistem:
5. 3
+,
+-
=*ln*−*ln3
6. 23 7*−2* 73=i=3
&
+4*
&
j73
7. (*
&
−3
&
)73+3*7*=0
8.
~1+24
q
d 73+24
q
di1−
-
,
j7*=0
;
!ℎ+X
!M+<
!=0
;
&ℎ+X
&M+<
&=0
Langkah 3. Persamaan (6.1) menjadi persamaan
homogen dalam variabel u dan v sebagai berikut:
(;
!_+X
!C)7_+(;
&_+X
&C)7C=0
b. Cara Kedua dengan substitusi
Langkah 1. Gunakan transformasi :
_=;
!3+X
!*+<
!⟹;
! 73+X
! 7*=7_
C=;
&3+X
&*+<
&⟹;
& 73+X
& 7*=7C
Diperoleh :
73=E
7_X
!
7CX
&
;
!X
!
;
&X
&
E=
X
&7_−X
!7C
;
!X
&−;
&X
!
7*=E
;
!7_
;
&7C
;
!X
!
;
&X
&
E=
;
!7C−;
&7_
;
!X
&−;
&X
!
Langkah 2. Bentuk PD menjadi :
_~
X
&7_−X
!7C
;
!X
&−;
&X
!
+C~
;
!7C−;
&7_
;
!X
&−;
&X
!
=0
Karena ;
!X
&−;
&X
!≠0 maka :
(X
&_−;
&C)7_+(;
!C−X
!_)7C=0
Merupakan PD Homogen
Langkah 3. Selesaikan PD Homogen tersebut
sesuai dengan langkah-langkah yang tertera pada
bab PD Homogen.
Langkah 4. Gantilah u dan v dengan transformasi
semula.
48 Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
2. Jika
k
%
k
Y
=
W
%
W
Y
≠
S
%
S
Y
=M,
PD (6.1) menjadi
(M;
!3+MX
!*+<
!)73+(;
&3+X
&*+<
&)7*=0
(M(;
!3+X
!*)+<)73+(;
&3+X
&*+<
&)7*=0
maka dengan transformazi F=;
!3+X
!*
Langkah -langkah mendapatkan penyelesaian PD:
Langkah 1. Gunakan transformasi : F=;
!3+
X
!*,7*=
+E5k
Y+-
W
Y
atau 73=
+E5W
Y+,
k
Y
Langkah 2. Misalkan
k
%
k
Y
=
W
%
W
Y
=} maka ;3+X*=}F
Langkah 3. Bentuk PD menjadi (}F+<
!)73+
(F+<
&)i
+E5k
Y+-
W
Y
j=0 atau (}F+<
!)(
+D5W
Y+,
k
Y
)+
(F+<
&)7*=0
Langkah 4. Tereduksi menjadi PD variabel-variabel
terpisah
Langkah 5. Gantilah F=;
!3+X
!* untuk
mendapatkan kembali variabel semula dalam
penyelesaian umum.
3. Jika
k
%
k
Y
=
W
%
W
Y
=
S
%
S
Y
=M, maka persam aan (6.1) merupakan
persam aan diferensial
(M;
&3+MX
&*+M<
&)73+(;
&3+X
&*+<
&)7*=0
dengan penyelesaian M73+7*=?, untuk sembarang
konstanta C.
49 PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
2. Jika
k
%
k
Y
=
W
%
W
Y
≠
S
%
S
Y
=M,
PD (6.1) menjadi
(M;
!3+MX
!*+<
!)73+(;
&3+X
&*+<
&)7*=0
(M(;
!3+X
!*)+<)73+(;
&3+X
&*+<
&)7*=0
maka dengan transformazi F=;
!3+X
!*
Langkah -langkah mendapatkan penyelesaian PD:
Langkah 1. Gunakan transformasi : F=;
!3+
X
!*,7*=
+E5k
Y+-
W
Y
atau 73=
+E5W
Y+,
k
Y
Langkah 2. Misalkan
k
%
k
Y
=
W
%
W
Y
=} maka ;3+X*=}F
Langkah 3. Bentuk PD menjadi (}F+<
!)73+
(F+<
&)i
+E5k
Y+-
W
Y
j=0 atau (}F+<
!)(
+D5W
Y+,
k
Y
)+
(F+<
&)7*=0
Langkah 4. Tereduksi menjadi PD variabel-variabel
terpisah
Langkah 5. Gantilah F=;
!3+X
!* untuk
mendapatkan kembali var
iabel semula dalam
penyelesaian umum.
3. Jika
k
%
k
Y
=
W
%
W
Y
=
S
%
S
Y
=M, maka persam aan (6.1) merupakan
persam aan diferensial
(M;
&3+MX
&*+M<
&)73+(;
&3+X
&*+<
&)7*=0
dengan penyelesaian M73+7*=?, untuk sembarang
konstanta C.
Langkah-langkah mendapatkan penyelesaian umum
PD.
Langkah 1. Karena
k
%
k
Y
=
W
%
W
Y
=
S
%
S
Y
= maka gunakan
transformasi ;
&3+X
&*+<
&=_ yang berarti bahwa
M(;
!3+X
!*+<
!)=M_.
Langkah 2. Bentuk PD menjadi :
M_ 73+M 7*=0
M73+7*=0
Langkah 3. Tereduksi menjadi PD variabel-variabel
terpisah
Langkah 4. Penyelesaian PD :
MP73+P7*=<
M3+*=<, c adalah konstanta sembarang atau
konstanta integrasi.
Contoh dan pembahasan
Contoh 1 : Selesaikan (23+3*+1)73+(43+6*+
1)7*=0
Penyel esaian :
Langkah 1. Dari persamaan diferensial diatas diperoleh :
a
&
a
!
=
X
&
X
!=2≠1=
<
&
<
!
dengan transformasi F=23+3*
langkah 2. misalkan
G
%
G
Y
=
W
%
W
Y
=2=} maka 23+3*=2F
langkah 3. Bentuk PD menjadi
\(23+3*)+1]73+(2(23+3*)+1)7*=0
50 Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
(F+1)73+(2F+1)~
7F−273
3
=0
(F+1)73+
(2F+1)7F−(2F+1)273
3
=0
3(F+1)73+(2F+1) 7F−(2F+1)273=0
(3F+3)73+(2F+1)7F−(4F+2)73=0
(3F+3−4F−2)73+(2F+1)7F=0
(1−F)73+(2F+1)7F=0
73+
2F+1
1−F
7F=0
73+
−2(1−F)+3
1−F
7F=0
73−
2(1−F)
1−F
7F+
3
1−F
7F=0
P73−2P7F+3P
1
1−F
7F=<
3−2F−3e:|1−F|=<
Langkah 4. Gantilah F=23+3* akan diperoleh solusi
umum PD tersebut
3−2(23+3*)−3e:|1−23−3*|=<
3−43−6*−3e:|1−23−3*|=<
−33−6*−3e:|1−23−3*|=<
3+2*+e:|23+3*−1|=<
Contoh 2: Selesaikan persamaan diferensial
(53+2*+1)73+(23+*+1)7*=0..........................(6.2)
Penyelesaian
Dari persamaan diferensial (6.2) diperoleh
a
&
a
!
=
2
5
≠
1 2
=
X
&
X
!
Sehingga merupakan kasus 1 dari teorema 6. Penyelesaian
dari sistem
51 PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
(F+1)73+(2F+1)~
7F−273
3
=0
(F+1)73+
(2F+1)7F−(2F+1)273
3
=0
3(F+1)73+(2F+1) 7F−(2F+1)273=0
(3F+3)73+(2F+1)7F−(4F+2)73=0
(3F+3−4F−2)73+(2F+1)7F=0
(1−F)73+(2F+1)7F=0
73+
2F+1
1−F
7F=0
73+
−2(1−F)+3
1−F
7F=0
73−
2(1−F)
1−F
7F+
3
1−F
7F=0
P73−2P7F+3P
1
1−F
7F=<
3−2F−3e:|1−F|=<
Langkah 4. Gantilah F=23+3* akan diperoleh solusi
umum PD tersebut
3−2(23+3*)−3e:|1−23−3*|=<
3−43−6*−3e:|1−23−3*|=<
−33−6*−3e:|1−23−3*|=<
3+2*+e:|23+3*−1|=<
Contoh 2: Selesaikan persamaan diferensial
(53+2*+1)73+(23+*+1)7*=0..........................(6.2)
Penyelesaian
Dari persamaan diferensial (6.2) diperoleh
a
&
a
!
=
2
5
≠
1
2
=
X
&
X
!
Sehingga merupakan kasus 1 dari teorema 6. Penyelesaian
dari sistem
5h+2k +1=0 5ℎ+2M=−1
2h+k +1=0 2ℎ+M=−1
Adalah
h=
H
5!&
5!!
H
H
I&
&!
H
=
!
!
=1, k=
H
I5!
&5!
H
H
I&
&!
H
=
5/
!
=−3
dengan transformasi
x=u+1
y=v−3
persamaan (6.2) menjadi persamaan homogen dalam
variabel u dan v sebagai berikut :
(53+2*+1)73+(23+*+1)7*=0
(5(_+1)+2(C−3)+1)7_+(2(_+1)+(C−3)+1)7C
=0
(5_+5+2C−6+1)7_+(2_+2+C−3+1)7C=0
(5_+2C)7_+(2_+C)7C=0
Persamaan tersebut dapat di tulis dalam bentuk derivatif,
sehingga menjadi
(5_+2C)7_+(2_+C)7C=0
(5_+2C)7_=−(2_+C)7C
7_
7C
=−
(2_+C)
(5_+2C)
7_
7C
=−
(&D.A)
A
(ID.&A)
A
7_
7C
=−
2i
D
A
j+1
5i
D
A
j+2
Merupakan PD homogen berderajad 1. Sehingga langkah
penyelesaiannya dengan transformasikan
52 Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
_= JC,
D
A
=J
7_
7C
=J+C.(
7J
7C
)
Sehingga
J+C.~
7J
7C
=−
2J+1
5J+2
C
7C
.7J=−
2J+1
5J+2
−J
C
7C
.7J=
−2J−1−J(5J+2)
5J+2
C
7C
.7J=
−2J−1−5J
&
−2J
5J+2
C
7C
.7J=−
(5J
&
+4J+1)
5J+2
5J+2
(5J
&
+4J+1)
7J=−
1
C
7C
P
5J+2
(5J
&
+4J+1)
7J=−P
1
C
7C
1
2
ln|5J
&
+4J+1|+?=−lnC
1
2
ln|5i
_
C
j
&
+4i
_
C
j+1|+lnC=?
1
2
ln|5~
3−1
*+3
&
+4~
3−1
*+3
+1|+ln|*+3|=?
53 PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
_= JC,
D
A
=J
7_
7C
=J+C.(
7J
7C
)
Sehingga
J+C.~
7J
7C
=−
2J+1
5J+2
C
7C
.7J=−
2J+1
5J+2
−J
C
7C
.7J=
−2J−1−J(5J+2)
5J+2
C
7C
.7J=
−2J−1−5J
&
−2J
5J+2
C
7C
.7J=−
(5J
&
+4J+1)
5J+2
5J+2
(5J
&
+4J+1)
7J=−
1
C
7C
P
5J+2
(5J
&
+4J+1)
7J=−P
1
C
7C
1
2
ln|5J
&
+4J+1|+?=−lnC
1
2
ln|5i
_
C
j
&
+4i
_
C
j+1|+lnC=?
1
2
ln|5~
3−1
*+3
&
+4~
3−1
*+3
+1|+ln|*+3|=?
Ingat : inte gral dengan metode substitusi
Misal :
Sehingga integral diatas menjadi
P
5J+2
(5J
&
+4J+1)
7J
M=5J
&
+4J+1
7M
7J
=10J+4
7M=2(5J+2)7J
1
2
7M=(5J+2)7J
P
1
M
.
1 2
7M=
1 2
P
1
M
7M
=
1
2
lnM=
1
2
ln|5J
&
+4J+1|+?
Jadi solusi umum PD diatas adalah
1
2
ln|5~
3−1
*+3
&
+4~
3−1
*+3
+1|+ln|*+3|=?
Contoh 3. Selesaikan PD dibawah ini
73
7^
=10*−43−4
7*
7^
=−(23−5*+2)
7*
73
=
23−5*+2
10*−43−4
(10*−43−4)7*=−(23−5*+2)73
(23−5*+2)73+(10*−43−4)7*=0
54 Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
Penyelesaian :
Langkah 1. Dari persamaan diferensial diatas diperoleh :
a
&
a
!
=
X
&
X
!=
<
&
<
!=−2
dengan transformasi _=23−5*+2 maka
10*−43−4=−2(23−5*+2)=−2_
langkah 2. Bentuk PD berubah menjadi
_73−2_7*=0
73−27*=0
Langkah 3. Penyelesaian PD
P73−2P7*=<
3−2*=<
Jadi solusi umum PD adalah
3−2*=<
LATIHAN
1. Selesaikan persamaan diferensial
(33+2*+1)73−(33+2*−1)7*=0
Dengan syarat awal y(-2) = 2
2. Selesaikan persamaan diferensial berikut ini :
a. (3−2*+1)73−(23−4*+2)7*dengan syarat
awal *(0)=−1.
b.
+,
+-
=
!5&, 5`-
!.,.&-
c. (23−5*+3)73−(23+4*−6)7*=0
d. (3*−73+7)73+(7*−33+3)7*=0
55
Penyelesaian :
Langkah 1. Dari persamaan diferensial diatas diperoleh :
a
&
a
!
=
X
&
X
!
=
<
&
<
!
=−2
dengan transformasi _=23−5*+2 maka
10*−43−4=−2(23−5*+2)=−2_
langkah 2. Bentuk PD berubah menjadi
_73−2_7*=0
73−27*=0
Langkah 3. Penyelesaian PD
P73−2P7*=<
3−2*=<
Jadi solusi umum PD adalah
3−2*=<
LATIHAN
1. Selesaikan persamaan diferensial
(33+2*+1)73−(33+2*−1)7*=0
Dengan syarat awal y(-2) = 2
2. Selesaikan persamaan diferensial berikut ini :
a. (3−2*+1)73−(23−4*+2)7*dengan syarat
awal *(0)=−1.
b.
+,
+-
=
!5&, 5`-
!.,.&-
c. (23−5*+3)
73−(23+4*−6)7*=0
d. (3*−73+7)73+(7*−33+3)7*=0
BAB V
PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER
ORDE SATU
Definisi 7.1. Persamaan diferensial linier orde satu
dengan variabel tak bebas y dan variabel bebas x, dapat di
tulis dalam bentuk :
Contoh : persamaan
3
7*
73
+(3+1)*=3
/
Dapat ditulis menjadi
7*
73
+~1+
1
3
*=3
&
Persamaan diferensial linier orde satu dapat ditulis
dalam bentuk diferensial menjadi
\f(3)*−K(3)]73+7*=0
Sehingga di peroleh
"(3,*)=f(3)*−K(3),#(3,*)=1
Maka
z"(3,*)
z*
=f(3)≠0=
z#(3,*)
z3
FG
FH
+8(H)G=L(H)
56 Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
Jadi persamaan diferensial linier orde satu bukan
persamaan diferensial eksak dan karena pada persamaan
terakhir memuat hanya variabel x saja, maka dapat
diasumsikan mempunyai faktor integral yang hanya
tergantung x saja, misalkan }(3), maka diperoleh
}(3)\f(3)*−K(3)] 73+}(3)7*=0
Dengan mengingat definisi faktor integral diperoleh
z
z*
M}(3)\f(3)*−K(3)]N=
z
z*
}(3)
7(H)8(H)=
F7(H)
FH
Persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial
separabel yang penyelesaiannya adalah
7(H)=T
∫8(H)FH
Jelas }>0, sehingga }(3) merupakan faktor integral
dari persamaan diferensial linier orde satu sehingga
4
∫+(-)+-
\f(3)*−K(3)]73+4
∫+(-)+-
7*=0
4
∫+(-)+-
f(3)*73−4
∫+(-)+-
K(3)73+4
∫+(-)+-
7*=0
7*4
∫+(-)+-
+4
∫+(-)+-
7*−4
∫+(-)+-
K(3)73=0
7*4
∫+(-)+-
−4
∫+(-)+-
K(3)73=0
*4
∫+(-)+-
−P4
∫+(-)+-
K(3)73=0
*}(3)−P}(3).K(3)73=0
*=
∫}(3).K(3)73
}(3)
Dari uraian diatas dapat disimpulkan dalam suatu
teorema berikut :
57 PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
Jadi persamaan diferensial linier orde satu bukan
persamaan diferensial eksak dan karena pada persamaan
terakhir memuat hanya variabel x saja, maka dapat
diasumsikan mempunyai faktor integral yang hanya
tergantung x saja, misalkan }(3), maka diperoleh
}(3)\f(3)*−K(3)] 73+}(3)7*=0
Dengan mengingat definisi faktor integral diperoleh
z
z*
M}(3)\f(3)*−K(3)]N=
z
z*
}(3)
7(H)8(H)=
F7(H)
FH
Persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial
separabel yang penyelesaiannya adalah
7(H)=T
∫8(H)FH
Jelas }>0, sehingga }(3) meru
pakan faktor integral
dari persamaan diferensial linier orde satu sehingga
4
∫+(-)+-
\f(3)*−K(3)]73+4
∫+(-)+-
7*=0
4
∫+(-)+-
f(3)*73−4
∫+(-)+-
K(3)73+4
∫+(-)+-
7*=0
7*4
∫+(-)+-
+4
∫+(-)+-
7*−4
∫+(-)+-
K(3)73=0
7*4
∫+(-)+-
−4
∫+(-)+-
K(3)73=0
*4
∫+(-)+-
−P4
∫+(-)+-
K(3)73=0
*}(3)−P}(3).K(3)73=0
*=
∫}(3).K(3)73
}(3)
Dari uraian diatas dapat disimpulkan dalam suatu
teorema berikut :
Teorema. Persamaan diferensial linier orde satu
7*
73
+f(3)*=K(3)
Mempunyai faktor integral
}(3)=4
∫+(-)+-
Penyelesaian umum persamaan diferensialnya
Adapun langkah-langkah untuk menyelesaikan
Persamaan Diferensial Linier Orde satu adalah sebagai
berikut :
Langkah 1 : tuliskan bentuk Persamaan Diferensial
linier orde satu tersebut dalam bentuk standar
7*
73
+f(3)*=K(3)
Langkah 2. Tentukan faktor integralnya.
}(3)=4
∫+(-)+-
Langkah 3. Kalikan Q(x) dengan }(3) dan integralkan
P}(3)K(3)73
OP
∫Q(R)SR
−PP
∫Q(R)SR
T(R)SR=C
58 Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
Langkah 4. Tuliskan penyelesaian umum
}(3)*=P}(3)K(3)73+?
Atau
*=
∫}(3)K(3)73+?
}(3)
Contoh :
1. Selesaikan PD dibawah ini
3
7*
73
+(3+1)*=3
/
Penyelesaian :
Langkah 1 : tuliskan bentuk Persamaan Diferensial
linier orde satu tersebut dalam bentuk standar dengan
dibagi x
7* 73
+
3+1
3
*=3
&
Dimana f(3)=
-.!
-
dan K(3)=3
&
Langkah 2. Tentukan faktor integralnya.
}(3)=4
∫
qrY
q
+-
Dimana
P
3+1
3
73=3+ln3
Sehingga
}(3)=4
(-.QR-)
=4
-
.4
QR-
=4
-
.3
59 PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
Langkah 4. Tuliskan penyelesaian umum
}(3)*=P}(3)K(3)73+?
Atau
*=
∫}(3)K(3)73+?
}(3)
Contoh :
1. Selesaikan PD dibawah ini
3
7*
73
+(3+1)*=3
/
Penyelesaian :
Langkah 1 : tuliskan bentuk Persamaan Diferensial
linier orde satu tersebut dalam bentuk standar dengan
dibagi x
7*
73
+
3+1
3
*=3
&
Dimana f(3)=
-.!
-
dan K(3)=3
&
Langkah 2. Tentukan faktor integralnya.
}(3)=4
∫
qrY
q
+-
Dimana
P
3+1
3
73=3+ln3
Sehingga
}(3)=4
(-.QR-)
=4
-
.4
QR-
=4
-
.3
}(3)=34
-
Langkah 3. Kalikan Q(x) dengan } dan integralkan
P}(3)K(3)73+?=P34
-
.3
&
73+?
=P3
/
4
-
73+?
=3
/
4
-
−33
&
4
-
+634
-
−64
-
+?
=4
-
(3
/
−33
&
+63−6)+?
Langkah 4. Tuliskan penyelesaian umum
*=
∫}(3)K(3)73+?
}(3)
=
(4
-
(3
/
−33
&
+63−6)+?)
34
-
=3
&
−33+6−
6
3
+?
2. Carilah penyelesaian umum persamaan diferensial
7*
73
+
3*
3
=63
&
Penyelesaiannya :
Dari persamaan diferensial tersebut diperoleh
f(3)=
3 3
,K(3)=63
&
Dan bentuk persamaan diferensialnya
~
3*
3
−63
&
73+7*=0
Sehingga dengan teorema diatas faktor integralnya
4
∫+(-)+-
=4
∫
'
q
+-
=4
/QR-
=3
/
60 Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
Cara I :
Kalikan K(3)=63
&
dengan }(3)=3
/
dan integralkan,
sehingga diperoleh
P}(3)K(3)73=P3
/
(63
&
) 73
= ∫63
I
73=3
U
+?
Jadi penyelesaian umumnya adalah
*=
∫}(3)K(3)73+?
}(3)
*=
3
U
+<
3
/
3
/
*=3
U
+?
atau
3
/
*−3
U
=?
Cara II
:
Diperoleh persamaan diferensial eksakn ya
(33
&
*−63
I
)73+3
/
7*=0
33
&
* 73−63
I
73+3
/
7*=0
Yang mempunyai penyelesaian umum dengan metode
pengelompokkan
3
/
*−3
U
=?
61 PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
Cara I :
Kalikan K(3)=63
&
dengan }(3)=3
/
dan integralkan,
sehingga diperoleh
P}(3)K(3)73=P3
/
(63
&
) 73
= ∫63
I
73=3
U
+?
Jadi penyelesaian umumnya adalah
*=
∫}(3)K(3)73+?
}(3)
*=
3
U
+<
3
/
3
/
*=3
U
+?
atau
3
/
*−3
U
=?
Cara II :
Diperoleh persamaan diferensial eksakn ya
(33
&
*−63
I
)73+3
/
7*=0
33
&
* 73−63
I
73+3
/
7*=0
Yang mempunyai penyelesaian umum dengan metode
pengelompokkan
3
/
*−3
U
=?
LATIHAN
Selesaikan Persamaan diferensial linier orde satu berikut
a. xi
()
("
j+y=e
"
,x>0
b.
()
("
+(tanx) y=cos
&
x ,−
V
&
<3<
V
&
c. x
&
dy+xy dx=(x−1)
&
dx.
Selesaikan Masal ah Nilai Awal berikut
a. 3x
()
("
−y=lnx+1 ,x>0,*(1)=−2
b.
()
("
+3x
&
y=x
&
, y(0)=−1
c. xdy+(y−cosx)dx=0 , yi
V
&
j=0
63
BAB VI
PERSAMAAN DIFERENSIAL BERNOULLI
DAN RICCATI
A. PERSAMAAN DIFERENSIAL BERNOULLI
Definisi 8.1. Persamaan diferensial yang dapat ditulis
dalam bentuk
7*
73
+f(3)*=K(3)*
J
Disebut persamaan diferensial bernaulli.
Teorema. 8.1. Apabila :≠0,1, maka dengan
transformasi C=*
!5J
dan
+,
+-
=
!
!5J
i
+A
+-
j persamaan
bernaulli berubah menjadi PD linier tingkat satu
7C 73
+(1−:)f(3)C=(1−:)K(3)
Dengan penyelesaian umum berbentuk
C4
(!5J)∫+(-)+-
=(1−:)P4
(!5J)∫+(-)+-
K(3)73
G
L5K
.T
(L5K)∫8(H)FH
=(L−K)PT
(L5K)∫8(H)FH
.L(H)FH
Langkah –langkah mendapatkan penyelesaian umum
PD :
Langkah 1.Reduksilah PD Bernoulli itu dengan
transformasi C=*
!5J
dan
+,
+-
=
!
!5J
i
+A
+-
j menghasilkan PD linier orde satu :
64 Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
7C
73
+(1−:)f(3)C=(1−:)K(3)
Langkah 2. Gunakan langkah PD linier orde satu untuk
menyelesaikannya .
Langkah 3. Gantilah v dengan transformasi semula untuk
mendapatkan penyelesaian umum PD Bernoulli
Contoh1:
Selesaikan
7*
73
+*=3*
/
Dimana f(3)=1 dan K(3)=3;:=3
Penyelesaian
Dengan substitusi
C=*
!5J
=*
!5/
C=*
5&
Diperoleh
7C
73
+(1−:)f(3)C=(1−:)K(3)
7C 73
+(1−3)1.C=(1−3)3
7C 73
−2C=−23
Sehingga penyelesaian umumnya adalah
G
L5K
.T
(L5K)∫8(H)FH
=(L−K)PT
(L5K)∫8(H)FH
.L(H)FH
*
5&
.4
5&(-)
=−2P4
5&-
.373
65 PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
7C
73
+(1−:)f(3)C=(1−:)K(3)
Langkah 2. Gunakan langkah PD linier orde satu untuk
menyelesaikannya .
Langkah 3. Gantilah v dengan transformasi semula untuk
mendapatkan penyelesaian umum PD Bernoulli
Contoh1:
Selesaikan
7*
73
+*=3*
/
Dimana f(3)=1 dan K(3)=3;:=3
Penyelesaian
Dengan substitusi
C=*
!5J
=*
!5/
C=*
5&
Diperoleh
7C
73
+(1−:)f(3)C=(1−:)K(3)
7C
73
+(1−3)1.C=(1−3)3
7C
73
−2C=−23
Sehingga penyelesaian umumnya adalah
G
L5K
.T
(L5K)∫8(H)FH
=(L−K)PT
(L5K)∫8(H)FH
.L(H)FH
*
5&
.4
5&(-)
=−2P4
5&-
.373
Dimana
P4
5&-
.373=3.−
1
2
4
5&-
−
1 4
4
5&-
=−
1 2
4
5&-
~3+
1 2
Sehingga diperoleh
*
5&
.4
5&(-)
=−2{−
1 2
4
5&-
~3+
1 2
|+?
*
5&
4
5&-
=i3+
!
&
j4
5&-
+?.
*
5&
=~3+
1
2
+?
Jadi penyelesaian umum PD adalah
*
5&
=~3+
1 2
+?
Contoh 2.
LATIHAN
a.
+,
+-
−*=−*
&
b.
-
%
+,
+-
+23*=*
/
,3>0
c. 3*73+(3
&
−3*)7*=0
d.
+,
+-
−*=3*
&
e. 3
+,
+-
+*+3
&
*
&
4
-
=0,3>0
B. PERSAMAAN DIFERENSIAL RICCATI
Persamaan Riccati berbentuk
7*
73
+f(3)*=K(3)*
&
+)(3)
66 Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
Jika *
! adalah fungsi yang memenuhi persamaan
Riccati, dapat dibuktikan bahwa dengan substitusi *=*
!+
!
D
akan diperoleh PD linier tingkat satu
7_
73
+[2*
!(3)K(3)−f(3)]_=−K(3)
Dengan penyelesaian umum berbentuk
_4
∫[&,Y
(-)W(-)5+(-)]+-
=−P4
&,
Y
(-)W(-)5+(-)
K(3)73+?
Atau
1
*−*
!
4
∫&,Y
(-)W(-)5+(-)+-
=−P4
&,
Y
(-)W(-)5+(-)
K(3)73+?
Secara jelas, jika )(3)=0, maka persamaan menjadi
persamaan Bernoulli. Jika)(3)≠0, penyelesaian umum
dicari dengan langkah-langkah sebagai berikut :
Langkah 1. Jika satu penyelesaian khusus yang sudah
diketahui, misal *
!=_(3), dankarena itu dipunyai
7_
73
=f(3)_
&
+K(3)_+)(3)
Langkah 2. Disubstitusikan *=_+
!
E
dengan derivatifnya
7*
73
=
7
73
~_+
1
F
=
7_
73
−
1
F
&
7F
73
Kepersamaan Riccati diperoleh :
7_
73
−
1
F
&
7F
73
=f(3)~_+
1
F
&
+K(3)~_+
1
F
+)(3)
=f(3)~_
&
+
2_
F
+
1
F
&
+K(3)~_+
1
F
+)(3)
=f(3)_
&
+
2_
F
f(3)+
1
F
&
f(3)+K(3)_+
1
F
K(3)+)(3)
67 PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
Jika *
! adalah fungsi yang memenuhi persamaan
Riccati, dapat dibuktikan bahwa dengan substitusi *=*
!+
!
D
akan diperoleh PD linier tingkat satu
7_
73
+[2*
!(3)K(3)−f(3)]_=−K(3)
Dengan penyelesaian umum berbentuk
_4
∫[&,Y
(-)W(-)5+(-)]+-
=−P4
&,
Y
(-)W(-)5+(-)
K(3)73+?
Atau
1
*−*
!
4
∫&,Y
(-)W(-)5+(-)+-
=−P4
&,
Y
(-)W(-)5+(-)
K(3)73+?
Secara jelas, jika )(3)=0, maka persamaan menjadi
persamaan Bernoulli. Jika)(3)≠0, penyelesaian umum
dicari dengan langkah-langkah sebagai berikut :
Langkah 1. Jika satu penyelesaian khusus yang sudah
dike
tahui, misal *
!=_(3), dankarena itu dipunyai
7_
73
=f(3)_
&
+K(3)_+)(3)
Langkah 2. Disubstitusikan *=_+
!
E
dengan derivatifnya
7*
73
=
7
73
~_+
1
F
=
7_
73
−
1
F
&
7F
73
Kepersamaan Riccati diperoleh :
7_
73
−
1
F
&
7F
73
=f(3)~_+
1
F
&
+K(3)~_+
1
F
+)(3)
=f(3)~_
&
+
2_
F
+
1
F
&
+K(3)~_+
1
F
+)(3)
=f(3)_
&
+
2_
F
f(3)+
1
F
&
f(3)+K(3)_+
1
F
K(3)+)(3)
=\f(3)_
&
+K(3)_+)(3)]+{
2_
F
f(3)+
1
F
&
f(3)+
1
F
K(3)|
7_
73
−
1
F
&
7F
73
=
7_
73
+{
2_
F
f(3)+
1
F
&
f(3)+
1
F
K(3)|
−
1
F
&
7F
73
=
2_
F
f(3)+
1
F
&
f(3)+
1
F
K(3)
7F
73
=−2_Ff(3)−f(3)−FK(3)
Diperoleh persamaan diferensial tingkat satu z :
7F
73
+\2_f(3)+K(3)]F=−f(3)
Merupakan persamaan diferensial linier orde 1, dan
dapat diselesaikan dengan mencari faktor integrasinya
dengan cara yang telah dipelajari sebelumnya.
Langkah 3.Setelah solusi didapatkan, substitusikan
*=_+
!
E
. Jadi dengan langkah terakhir tadi didapatkan
solusi untuk persamaan diferensial Riccati
Contoh1 :
7*
73
=*
&
− 23*+2
Dengan *=2 adalah penyelesaian khususnya.
Penyelesaian :
Diketahui suatu penyelesaian khusus *=C(3)=2
Misalkan :
*=2+
1
F
Sehingga :
7*=7~2+
1
F
68 Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
7*
73
=
7
73
~2+
1
F
7*
73
=−
1
F
&
7F
73
Substitusikan *=2+
!
E
dan
+,
+-
=−
!
E
%
+E
+-
ke PD Riccati.
Diperoleh :
−
1
F
&
7F
73
=~2+
1
F
&
−23~2+
1
F
+2
−
1
F
&
7F
73
=~4+
4
F
+
1
F
&
−23~2+
1
F
+2
−
1
F
&
7F
73
=2+
4
F
+
1
F
&
−43+
1
F
.(−23)+2
−
1
F
&
7F
73
=[4−43+2]+X
4
F
+
1
F
&
−
23
F
Y
Sehingga diperoleh
−
1
F
&
7F
73
=
7C
73
+X
4
F
+
1
F
&
−
23
F
Y
−
1
F
&
7F
73
=
4
F
+
1
F
&
−
23
F
Dibagi dengan −
!
E
%
, diperoleh :
7F
73
=−4F−1+23F
Diperoleh :
7F
73
+[4−23]F=−1
Merupakan PD linear orde-1, mempunyai faktor integrasi :
4
∫(`5&-)+-
= 4
`-5-
%
PD dapat ditulis sebagai :
7F+[4−23]F73=−73
69 PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
7*
73
=
7
73
~2+
1
F
7*
73
=−
1
F
&
7F
73
Substitusikan *=2+
!
E
dan
+,
+-
=−
!
E
%
+E
+-
ke PD Riccati.
Diperoleh :
−
1
F
&
7F
73
=~2+
1
F
&
−23~2+
1
F
+2
−
1
F
&
7F
73
=~4+
4
F
+
1
F
&
−23~2+
1
F
+2
−
1
F
&
7F
73
=2+
4
F
+
1
F
&
−43+
1
F
.(−23)+2
−
1
F
&
7F
73
=[4−43+2]+X
4
F
+
1
F
&
−
23
F
Y
Sehingga diperoleh
−
1
F
&
7F
73
=
7C
73
+X
4
F
+
1
F
&
−
23
F
Y
−
1
F
&
7F
73
=
4
F
+
1
F
&
−
23
F
Dibagi dengan −
!
E
%
, diperoleh :
7F
73
=−4F−1+23F
Diperoleh :
7F
73
+[4−23]F=−1
Merupakan PD linear orde-1, mempunyai faktor integrasi :
4
∫(`5&-)+-
= 4
`-5-
%
PD dapat ditulis sebagai :
7F+[4−23]F73=−73
Kalikan PD dengan faktor integrasi :
4
`-5-
%
7F+4
`-5-
%
[4−23]F73=−4
`-5-
%
73
7M4
`-5-
%
FN= −4
`-5-
%
73
4
`-5-
%
= P−4
`-5-
%
4
`-5-
%
=−4
`-5-
%
+ ?
?=24
`-5-
%
Jadi, solusi untuk PD :
7*
73
=*
&
− 23*+2
adalah ?=24
`-5-
%
.
Contoh 2:
Selesaikan PD Riccati dibawah ini
7*
73
−
1 3
*=1−
1
3
&
*
&
,3>0.
Penyelesaian :
Jika *
!=3, maka dengan substitusi *=3+
!
D
diperoleh
7_
73
−
1 3
_=
1
3
&
Sehingga penyelesaian umumnya adalah
*=3+
23
2?3
&
−1
LATIHAN
Selesaikan Persamaan Riccati berikut :
1.
+,
+-
=1+
,
-
−
,
%
-
,*
!=−3
&
,3>0
2.
+,
+-
=3
/
(*−3)
&
+
,
-
,*
!=3,3>0
3.
+,
+-
+2*+*
&
=0,*
!=−2
71
BAB VII
PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER
HOMOGEN DENGAN KOEFISIEN KONSTAN
A. Persamaan Diferensial Linier Homogen Orde 2
Banyak Permasalahan di bidang teknik, Fisika,
pemodelan matematika yang melibatkan Persamaan
Diferensial Homogen Orde 2. Oleh sebab itu mengetahui
mekanisme pemecahan masalah Persamaan Diferensial
Linier Homogen Orde 2 sangatlah membantu kita untuk
mencari solusinya.
Bentuk Persamaan Diferensial Linier Homogen Orde 2 :
;
7
&
*
73
&
+X
7*
73
+<*=2(3)……………… (1)
pertama mari kita misalkan f(x) = 0, dengan nilai a, b, dan c
konstan, maka Pers.1 menjadi
;
7
&
*
73
&
+X
7*
73
+<*=0………………… ..(2)
Persamaan (2) adalah bentuk umum Persamaan
Diferensial Linier Homogen Orde 2 dimana ruas kanannya
sama dengan 0. Apabila ruas kanan tidak sama dengan 0
maka, persamaan itu dikatakan Persamaan diferensial
inhomogen orde 2.Misalkan y = u dan y = v (dimana u dan v
adalah fungsi x yang menjadi dua solusi dari persaman
72 Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
;
7
&
_
73
&
+X
7_
73
+<_=0………… ………..( 3)
dan
;
7
&
C
73
&
+X
7C
73
+<C=0……… …………. .(4)
tambahkan Persamaan (3) dan (4)
{;
7
&
_
73
&
+X
7_
73
+<_|+{;
7
&
C
73
&
+X
7C
73
+<C|=0
{;
7
&
_
73
&
+;
7
&
C
73
&
|+~X
7_
73
+X
7C 73
+(<_+<C)=0
;i
+
%
D
+-
%
+
+
%
A
+-
%
j+Xi
+D
+-
+
+A
+-
j+<(_+C)=0.......(5)
dimana
7
73
(_+C)=
7_
73
+
7C
73
dan
7
&
73
&
(_+C)=
7
&
_
73
&
+
7
&
C
73
&
jadipersamaan (5) dapat ditulis
;
7
&
73
&
(_+C)+X
7
73
(_+C)+<(_+C)=0
maka substitusikan (gantikan) y = u+v
;
7
&
*
73
&
+X
7* 73
+<*=0
dan y = u+v
jika a = 0, maka Pers. 1 menjadi Pers differential liniar orde
satu (PDL01)
73 PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
;
7
&
_
73
&
+X
7_
73
+<_=0………… ………..( 3)
dan
;
7
&
C
73
&
+X
7C
73
+<C=0……… …………. .(4)
tambahkan Persamaan (3) dan (4)
{;
7
&
_
73
&
+X
7_
73
+<_|+{;
7
&
C
73
&
+X
7C
73
+<C|=0
{;
7
&
_
73
&
+;
7
&
C
73
&
|+~X
7_
73
+X
7C
73
+(<_+<C)=0
;i
+
%
D
+-
%
+
+
%
A
+-
%
j+Xi
+D
+-
+
+A
+-
j+<(_+C)=0.......(5)
dimana
7
73
(_+C)=
7_
73
+
7C
73
dan
7
&
73
&
(_+C)=
7
&
_
73
&
+
7
&
C
73
&
jadipersamaan (5) dapat ditulis
;
7
&
73
&
(_+C)+X
7
73
(_+C)+<(_+C)=0
maka substitusikan (gantikan) y = u+v
;
7
&
*
73
&
+X
7*
73
+<*=0
dan y = u+v
jika a = 0, maka Pers. 1 menjadi Pers differential liniar orde
satu (PDL01)
X
+,
+-
+<*=0X
+,
+-
=−<*
7*
73
=−
<
X
*
7* 73
+
<
X
*=0
7* 73
+M*=0
7* 73
=−M*
7*
*
=−M73
dimana M =
S
W
integralkan persamaan diatas
P
7*
*
=P−M73
kita dapatkan
Z: * = −M3 +<
4
QR,
=4
5[-.S
*=e
5\".]
=e
5\"
e
]
=Ae
5\"
kita gantikan -k dengan m, maka
*=^4
_-
…….(6)
Pers.(6) tidak hanya solusi untuk PDL01 tetapi juga bisa
menjadi solusi untuk Persamaan Diferensial Linier
Homogen Orde 2 dimana
*=^4
_-
7*
73
=^`4
_-
74 Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
7
&
*
73
&
=^`
&
4
_-
Pers.2 dapat ditulis
;
7
&
*
73
&
+X
7*
73
+<*=0………………… ..(2)
;^`
&
4
_-
+X^`4
_-
+<^4
_-
=0
bagi dengan ^4
_-
kita dapat
;`
&
+X`+<=0.........(7)
yang merupakan persamaan kuadrat,yang akar-akar
kuadratnya ` = `
! dan ` = `
&dimana kita sudah lihat
jika y = u dan y = v adalah dua solusi untuk Persamaan
Diferensial Homogen Orde 2 dan juga y = u+v. Jika
*=^4
_
Y-
dan *=a4
_
%-
,
maka solusi untuk Persamaan Diferensial Linier Homogen
Orde 2 dapat ditulis
*=^4
_
Y-
+ a4
_
%-
.........(8)
persamaan kuadrat ini dikatakan persamaan tambahan
(Auxiliary Equation)solusi Persamaan Diferensial Linier
Homogen Orde
2 sangat tergantung dari jenis akar-akar
persamaan tambahan. Ada tiga jenis solusi untuk
Persamaan Diferensial Linier Homogen Orde 2, yaitu :
Akar real dan berbeda (Determinan > 0)
Akar real dan sama(Determinan = 0)
75 PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
7
&
*
73
&
=^`
&
4
_-
Pers.2 dapat ditulis
;
7
&
*
73
&
+X
7*
73
+<*=0………………… ..(2)
;^`
&
4
_-
+X^`4
_-
+<^4
_-
=0
bagi dengan ^4
_-
kita dapat
;`
&
+X`+<=0.........(7)
yang merupakan persamaan kuadrat,yang akar-akar
kuadratnya ` = `
! dan ` = `
&dimana kita sudah lihat
jika y = u dan y = v adalah dua solusi untuk Persamaan
Diferensial Homogen Orde 2 dan juga y = u+v. Jika
*=^4
_
Y-
dan *=a4
_
%-
,
maka solusi untuk Persamaan Diferensial Linier Homogen
Orde 2 dapat ditulis
*=^4
_
Y-
+ a4
_
%-
.........(8)
persamaan kuadrat ini dikatakan persamaan tambahan
(Auxiliary Equation)
solusi Persamaan Diferensial Linier
Homogen Orde 2 sangat tergantung dari jenis akar-akar
persamaan tambahan. Ada tiga jenis solusi untuk
Persamaan Diferensial Linier Homogen Orde 2, yaitu :
Akar real dan berbeda (Determinan > 0)
Akar real dan sama(Determinan = 0)
Akar kompl eks(Determinan < 0)
jadi solusi untuk persamaan diferensial Linier homogen
orde 2 kita adalah
*=^4
5-
+ a4
5&-
a. Akar real dan Berbeda.
Untuk akar sama atau kembar solusinya adalah
G=bT
c
LH
+ dT
c
BH
Contoh :
7
&
*
73
&
+5
7*
73
+6*=0
persamaan tambahannya adalah
`
&
+5`+6=0
faktorkan persamaan diatas
(m+2)(m+3)=0
m = -2 dan m = -3
maka akarnya real dan berbeda. Jadi solusi untuk
persamaan diferensial Linier homogen orde 2 kita
adalah
*=^4
5&-
+ a4
5/-
b. Akar real dan sama
Untuk akar sama atau kembar solusinya adalah
*=^T
c
LH
+ dHT
c
LH
Contoh :
Dimana 74^4e`9:;:(g)=X
&
−4;<
76 Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
7
&
*
73
&
+6
7*
73
+9*=0
persamaan tambahannya adalah
`
&
+6`+9=0
faktorkan persamaan diatas
(m+3)(m+3)=0
` = −3 dan ` = −3
maka akarnya sama atau kembar
jadi solusi untuk persamaan diferensial Linier
homogen orde 2 kita adalah
*=^4
5/-
+ a34
5/-
atau
*=4
5/-
(^+a3)
c. Akar kompleks/imagi ner
Rumus untuk akar kompleks atau imaginer adalah
G=T
fH
(bUghiH+dhjKiH)
akar kompleks adalah akar yang didalamnya terdapat
tanda negativ. Untuk lebih jelasnya lihat contoh
dibawah ini.
7
&
*
73
&
+4
7*
73
+9*=0
Persamaan tambahannya adalah
`
&
+4`+9=0
77 PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
7
&
*
73
&
+6
7*
73
+9*=0
persamaan tambahannya adalah
`
&
+6`+9=0
faktorkan persamaan diatas
(m+3)(m+3)=0
` = −3 dan ` = −3
maka akarnya sama atau kembar
jadi solusi untuk persamaan diferensial Linier
homogen orde 2 kita adalah
*=^4
5/-
+ a34
5/-
atau
*=4
5/-
(^+a3)
c. Akar kompleks/imagi ner
Rumus untuk akar kompleks atau imaginer adalah
G=T
fH
(bUghiH+dhjKiH)
akar kompleks adalah akar yang didalamnya terdapat
tanda negativ. Untuk lebih jelasnya lihat contoh
dibawah ini.
7
&
*
73
&
+4
7*
73
+9*=0
Persamaan tambahannya adalah
`
&
+4`+9=0
persamaan kuadrat diatas tidak bisa diselesaikan
dengan pemfaktoran. Maka digunakan rumus ABC
sebagai solusinya
`
!&=
−X±√X
&
−4;<
2;
`
!&=
−4±=4
&
−4(1)(9)
2(1)
`
!&=
−4±√−20
2
`
!&=
−4±√4
√−5
2
`
!&=
−4±2k√5
2
`
!&=−2±k√5
maka α=-2 dan β=√5
maka solusinya adalah
*=4
5&-
(^<=8√5
3+a89:√53)
coba kerjakan contoh ini sebagai latihan
d
&
y
dx
&
−2
dy
dx
+10y=0
di sampi ng 3 bentuk akar diatas, ada beberapa bentuk
khusus Persamaan Diferensial Linier Homogen Orde 2.
Ada dua bentuk khusus yaitu
7
&
*
73
&
−:
&
*=0
maka solusinya
y = A Cosh nx + B Sinh nx
78 Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
7
&
*
73
&
+:
&
*=0
maka solusinya
y = A Cos nx + B Sin nx
Contoh :
7
&
*
73
&
+16*=0
maka :2= −16 ,: = +k
`
solusinya
* = ^ ?=8 43 + a l9: 43
LATIHAN SOAL
1.
(
%
)
("
%
−12
()
("
+36y=0
2.
(
%
)
("
%
+2
()
("
−3y=0
3. 2
(
%
)
("
%
+4
()
("
+3y=0
4.
(
%
)
("
%
−9y=0
5.
(
%
)
("
%
+7y=0
79
7
&
*
73
&
+:
&
*=0
maka solusinya
y = A Cos nx + B Sin nx
Contoh :
7
&
*
73
&
+16*=0
maka :2= −16 ,: = +k
`
solusinya
* = ^ ?=8 43 + a l9: 43
LATIHAN SOAL
1.
(
%
)
("
%
−12
()
("
+36y=0
2.
(
%
)
("
%
+2
()
("
−3y=0
3. 2
(
%
)
("
%
+4
()
("
+3y=0
4.
(
%
)
("
%
−9y=0
5.
(
%
)
("
%
+7y=0
BAB VIII
PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER
NON HOMOGEN ORDE DUA
Definisi :Persamaan Diferensial Orde 2 Non Homogen
;
7
&
*
73
&
+X
7*
73
+<*=2(3)
Jika2(3)≠0 maka substitusi *=^4
_
Y-
+ a4
_
%-
akan
membuat sisi kiri diatas sama dengan nol. Maka :
*=^4
_
Y-
+ a4
_
%-
+m , X = fungsi tambahan.
*=^4
_
Y-
+ a4
_
%-
fungsi komplementer
*=3
integral khusus.
Prosedur umum penyelesaian Persamaan Diferensial
Linier tak Homogen adalah
Langkah pertama : menentukan solusi umum Persamaan
Diferensial Linier Homogen biasa disebut fungsi
kompl emen (*
n(3))
Langkah kedua : menentukan solusi umum Persamaan
Diferensial tak homogen biasa disebut Integral khusus
(*
o(3))
Langkah ketiga :
menentukan solusi umum Persamaan
Diferensial
G=G
p(H)+G
q(H)
80 Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
Contoh 1 :
Tentukan solusi umum PD berikut ini :
7
&
*
73
&
+*=1
Langkah I : menentukan solusi umum PD linier homogen .
7
&
*
73
&
+*=0
Mencari akar-akar karakteristik sehingga PD Linier
homogen diubah menjadi
`
&
+1=0
`=√−1
=9√1
Solusi umum : *
n(3)=^cos3+asin3
Langkah II : menentukan solusi umum PD linier tak
homogen .
7
&
*
73
&
+*=1
Solusi umum *
o(3)=1
Langkah III : *=*
n(3)+*
o(3)=^cos3+asin3+1
Contoh 2:
Selesaikan persamaan diferensial
7
&
*
73
&
−5
7*
73
+6*=3
&
Penyelesaian :
Fungsi komplemen sehingga f(x) = 0
`
&
−5`+6=0
(`−2)(`−3)=0
Maka akar-akar karakteristiknya : m = 2 dan m = 3
81 PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
Contoh 1 :
Tentukan solusi umum PD berikut ini :
7
&
*
73
&
+*=1
Langkah I : menentukan solusi umum PD linier homogen .
7
&
*
73
&
+*=0
Mencari akar-akar karakteristik sehingga PD Linier
homogen diubah menjadi
`
&
+1=0
`=√−1
=9√1
Solusi umum : *
n(3)=^cos3+asin3
Langkah II : menentukan solusi umum PD linier tak
homogen .
7
&
*
73
&
+*=1
Solusi umum *
o(3)=1
Langkah III : *=*
n(3)+*
o(3)=^cos3+asin3+1
Contoh 2:
Selesaikan persamaan diferensial
7
&
*
73
&
−5
7*
73
+6*=3
&
Penyelesaian :
Fungsi komplemen sehingga f(x) = 0
`
&
−5`+6=0
(`−2)(`−3)=0
Maka akar-akar karakterist
iknya : m = 2 dan m = 3
Sehingga
*=^4
&-
+a4
/-
Integral khusus fungsi derajat dua
Misal
*=?3
&
+g3+r
7*
73
=2?3+g
7
&
*
73
&
=2?
Substitusikan ke persamaan
7
&
*
73
&
−5
7*
73
+6*=3
&
2?−5(2?+g)+6(?3
&
+g3+r)=3
&
2?−10?3−5g+6?3
&
+6g3+6r=3
&
6?3
&
−(10?−6g)3+(6r+2?−5g)=3
&
6?=1
?=
!
U
6g−10?=0
g=
I
!s
2?−5g+6r=0
r=
!t
!Vs
Penyelesaian Umum = fungsi komplemen + Integral Khusus
= ^4
&-
+a4
/-
+
! U
3
&
+
I
!s
3+
!t
!Vs
Menentukan nilai-nilai konstanta
Jika 2(M)=M
2(3)=M3
2(3)=M3
&
2(3)=Msin3 atau Mcos3 2(3)=Msinh3 atau Mcosh3
2(3)=4
[-
Asumsikan *=?
*=?3+g
*=?3
&
*=?cos3+gsin3 *=?cosh3+gsinh3
*=?4
[-
82 Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
Sebagai panduan untuk menentukan himpunan bebas
linier dari koefis ien tak tentu dari suku tak homogen dapat
dilihat dari tabel berikut:
Tabel 4.1 Himpunan bebas linier koefisien tak tentu dari
suku tak homogen
No Suku tak
homogen
Himpunan koefisien tertentu
1 3
J
{3
J
,3
J5!
,…,3,1}
2 4
k-
{4
k-
}
3 sin(X3+<),
cos(X3+<)
{sin(X3+<),cos(X3+<)}
4 4
k-
sin(X3+<),
4
k-
cos(X3+<)
{4
k-
sin(X3+<),4
k-
cos(X3+<)}
5 3
J
4
k-
{3
J
4
k-
,3
J5!
4
k-
,…,34
k-
,4
k-
}
6 3
J
sin(X3+<),
3
J
cos(X3+<)
{3
J
sin(X3+<),3
J
cos(X3
+<),3
J5!
sin(X3+<),
3
J5!
cos(X3+<),…,3sin(X3 +<),3cos(X3+<),
sin(X3+<),cos(X3+<)}
7 3
J
4
k-
sin(X3
+<),
3
J
4
k-
cos(X3+<)
{3
J
4
k-
sin(X3+<),3
J
4
k-
cos(X3+
<),3
J5!
4
k-
sin(X3+<),3
J5!
4
k-
cos(X3+
<),…,34
k-
sin(X3+<),
34
k-
cos(X3+<),4
k-
sin(X3
+<),4
k-
cos(X3+<)}
Dari Tabel 4.1 kita dapatkan bahwa jika suku tak
homogen m(3)=3
I
+sin3+3
&
4
/-
maka himpunan bebas
linier koefisien tak tentu diberikan oleh:
{3
I
,3
`
,3
/
,3
&
,3,1,sin3,cos3,3
&
4
/-
,34
/-
,4
/-
}
83 PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
Sebagai panduan untuk menentukan himpunan bebas
linier dari koefis ien tak tentu dari suku tak homogen dapat
dilihat dari tabel berikut:
Tabel 4.1 Himpunan bebas linier koefisien tak tentu dari
suku tak homogen
No Suku tak
homogen
Himpunan koefisien tertentu
1
3
J
{3
J
,3
J5!
,…,3,1}
2 4
k-
{4
k-
}
3 sin(X3+<),
cos(X3+<)
{sin(X3+<),cos(X3+<)}
4 4
k-
sin(X3+<),
4
k-
cos(X3+<)
{4
k-
sin(X3+<),4
k-
cos(X3+<)}
5 3
J
4
k-
{3
J
4
k-
,3
J5!
4
k-
,…,34
k-
,4
k-
}
6 3
J
sin(X3+<),
3
J
cos(X3+<)
{3
J
sin(X3+<),3
J
cos(X3
+<),3
J5!
sin(X3+<),
3
J5!
cos(X3+<),…,3sin(X3 +<),3cos(X3+<),
sin(X3+<),cos(X3+<)}
7 3
J
4
k-
sin(X3
+<),
3
J
4
k-
cos(X3+<)
{3
J
4
k-
sin(X3+<),3
J
4
k-
cos(X3+
<),3
J5!
4
k-
sin(X3+<),3
J5!
4
k-
cos(X3+
<),…,34
k-
sin(X3+<),
34
k-
cos(X3+<),4
k-
sin(X3
+<),4
k-
cos(X3+<)}
Dari Tabel 4.1 kita dapatkan bahwa jika suku tak
homogen m(3)=3
I
+sin3+3
&
4
/-
maka himpunan bebas
linier koefisien tak tentu diberikan oleh:
{3
I
,3
`
,3
/
,3
&
,3,1,sin3,cos3,3
&
4
/-
,34
/-
,4
/-
}
sehingga solusi khususnya akan mempunyai bentuk:
u=?
!3
I
+?
&3
`
+?
/3
/
+?
`3
&
+?
Ir3+?
Us
+?
vsin3+?
scos3+?
t3
&
4
/-
+
?
!V34
/-
+?
!!4
/-
dimana ?
!,?
&,?
/,…,?
!! adalah konstant rill.
Pengg unaan Variabel Kompleks untuk Menyelesaikan
Persamaan Diferensial Orde Dua
Selain dari metode koefisien tak tentu, persamaan
diferensial orde dua tertentu dapat juga diselesaikan dengan
menggunakan variabel kompl eks. Pandanglah lagi
persamaan (4.1), dengan mengubah K(3) sebagai fungsi
variabel kompl eks, solusi khusus u memenuhi hal-hal
sebagai berikut:
Bagian rill
u adalah solusi persamaan (4.1) dengan K(3)
digantikan oleh bagian rillnya.
Bagian imajiner u adalah solusi persamaan (4.1) dengan
K(3) digantikan oleh bagian imajinernya.
Contoh 4.3.1: Tentukan solusi khusus persamaan diferensial
*
−3*
+2*=sin3 ( 4.46)
Penyel esaian: Untuk menyelesaikan persamaan ini,
pandanglah persamaan diferensial
*
−3*
+2*=4
w-
, ( 4.47)
dimana
4
w-
=cos3+9sin3. ( 4.48)
84 Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
Dengan menggunakan prosedur 2 di atas, dapat kita
simpulkan bahwa bagian imajiner solusi khusus persamaan
(4.7) merupakan solusi khusus persamaan (4.46). Sekarang
kita mencari solusi khusus persamaan diferensial (4.47)
dengan menggunakan metode koefisien tak tentu. Dengan
melihat bentuk suku tak homogen persamaan (4.47), solusi
khusus yang berpadanan dengan bentuk tak homogen ini
adalah:
u=(^+a9)4
w-
. ( 4.49)
Dengan mensubstitusikan fungsi ini ke persamaan
diferensial (4.47) diperoleh ^=9/10 dan a=3/10. Dengan
nilai ^ dan a ini diperoleh:
u=
1
10
4
w-
+
3
10
94
w-
=
1
10
(cos3+9sin3)+
3
10
9(cos3+9sin3)
=
!
!V
cos3−
/
!V
sin3+9(
!
!V
sin3+
/
!V
cos3). (4.50)
Bagian imajiner dari u adalah
!
!V
sin3+
/
!V
cos3.
Karenanya solusi khusus (4.47) diberikan oleh:
u=
!
!V
sin3+
/
!V
cos3 ( 4.51)
LATIHAN SOAL
1. Selesaikan persamaan diferensial
7
&
*
73
&
−5
7*
73
+6*=2sin43
2. Tentukan nilai A dan B
+
%
,
+-
%
+4
+,
+-
+5*=13 4
/-
jika3=0,*=
I
&
dan
+,
+-
=
! &
85 PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
Dengan menggunakan prosedur 2 di atas, dapat kita
simpulkan bahwa bagian imajiner solusi khusus persamaan
(4.7) merupakan solusi khusus persamaan (4.46). Sekarang
kita mencari solusi khusus persamaan diferensial (4.47)
dengan menggunakan metode koefisien tak tentu. Dengan
melihat bentuk suku tak homogen persamaan (4.47), solusi
khusus yang berpadanan dengan bentuk tak homogen ini
adalah:
u=(^+a9)4
w-
. ( 4.49)
Dengan mensubstitusikan fungsi ini ke persamaan
diferensial (4.47) diperoleh ^=9/10 dan a=3/10. Dengan
nilai ^ dan a ini diperoleh:
u=
1
10
4
w-
+
3
10
94
w-
=
1
10
(cos3+9sin3)+
3
10
9(cos3+9sin3)
=
!
!V
cos3−
/
!V
sin3+9(
!
!V
sin3+
/
!V
cos3). (4.50)
Bagian imajiner dari u adalah
!
!V
sin3+
/
!V
cos3.
Karenanya solusi khusus (4.47) diberikan oleh:
u=
!
!V
sin3+
/
!V
cos3 ( 4.51)
LATIHAN SOAL
1. Selesaikan persamaan diferensial
7
&
*
73
&
−5
7*
73
+6*=2sin43
2. Tentukan nilai A dan B
+
%
,
+-
%
+4
+,
+-
+5*=13 4
/-
jika3=0,*=
I
&
dan
+,
+-
=
!
&
B. METODE VARIASI PARAMATER
Pada bagian ini dipelajari suatu metode untuk mencari
integral khusus persamaan diferenial linear non homogen .
Metode yang dipelajari di sini adalah metode variasi
parameter. Berikut ini akan diberikan langkah-langkah
dalam metode variasi parameter untuk persamaan
diferensial linear homogen order dua, untuk order yang
lebih tinggi dilakukan secara analog.
Diberikan persamaan diferensial linear non homogen
order dua
;
V(3)
+
%
,
+-
%
+;
!(3)
+,
+-
+;
&(3)*=s(3) ( 3.41)
Misalkan fungsi komplemen persamaan diferensial
(3.41) adalah *
S=<
!*
!(3)+<
&*
&(3) dengan <
! dan <
&
sebarang konstanta. Metode di dalam variasi parameter
adalah dengan mengganti konstanta <
! dan <
& dengan
fungsi C
! dan C
& yang akan dicari kemudian sehingga
C
!(3)*
!(3)+C
&(3)*
&(3) akan menjadi integral khusus
persamaan diferensial (3.41).
Fungsi-fungsi C
! dan C
& di atas dicari dengan cara
sebagai berikut. Diasumsikan *
oxC
!(3)*
!(3)+C
&(3)*
&(3)
suatu integral khusus persamaan (3.41). Selanjutn
ya dicari
*′
o sebagai berikut:
*
o
(3)=C
!(3)*′
!(3)+C
&(3)*′
&(3)+C′
!(3)*
!(3)
+C′
&(3)*
&(3)
Jika diambil
C′
!(3)*
!(3)+C′
&(3)*
&(3)=0 ( 3.42)
maka *
o
tinggal menjadi
86 Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
*
o
(3)=C
!(3)*′
!(3)+C
&(3)*′
&(3)
dengan menurunkan sekali lagi didapat
*′
o
(3)=C
!(3)*′′
!(3)+C
&(3)*′′
&(3)+C′
!(3)*′
!(3)
+C′
&(3)*′
&(3)
Selanjutnya dengan mensubstitusikan *
o,*′
o dan *′′
o
ke (3.41) diperoleh
C
!(3)M;
V(3)*
!
(3)+;
!(3)*
!
(3)+;
&(3)*
!(3)N
+C
&(3)[;
V(3)*
&
(3)+;
!(3)*
&
(3)+
;
&(3)*
&(3)]+;
V(3)MC
!
(3)*
!
(3)+C
&
(3)*
&
(3)N=s(3)
Karena *
! dan *
& solusi persamaan diferensial
homogen yang berkorespondensi dengan persamaan
diferensial (3.41) maka persamaan di atas menjadi
:
C′
!(3)*′
!(3)+C′
&(3)*′
&(3)=
s(3)
;
V(3)
Dengan hasil terakhir di atas dan persamaan (3.42)
diperoleh sistem persamaan
C′
!(3)*
!(3)+C′
&(3)*
&(3)=0 ( 3.43)
C′
!(3)*′
!(3)+C′
&(3)*′
&(3)=
s(3)
;
V(3)
Dengan menyelesaikan sistem di atas untuk C′
! dan C′
&
diperoleh
C
!
(3)=−
s(3)*
&(3)
;
V(3)z[*
!(3),*
&(3)]
C
&
(3)=−
s(3)*
!(3)
;
V(3)z[*
!(3),*
&(3)]
Dengan perhitungan mengikuti aturan Wronkian
z=b
*
!(3)*
&(3)
*′
!(3)*′
&(3)
b
87 PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
*
o
(3)=C
!(3)*′
!(3)+C
&(3)*′
&(3)
dengan menurunkan sekali lagi didapat
*′
o
(3)=C
!(3)*′′
!(3)+C
&(3)*′′
&(3)+C′
!(3)*′
!(3)
+C′
&(3)*′
&(3)
Selanjutnya dengan mensubstitusikan *
o,*′
o dan *′′
o
ke (3.41) diperoleh
C
!(3)M;
V(3)*
!
(3)+;
!(3)*
!
(3)+;
&(3)*
!(3)N
+C
&(3)[;
V(3)*
&
(3)+;
!(3)*
&
(3)+
;
&(3)*
&(3)]+;
V(3)MC
!
(3)*
!
(3)+C
&
(3)*
&
(3)N=s(3)
Karena *
! dan *
& solusi persamaan diferensial
homogen yang berkorespondensi dengan persamaan
diferensial (3.41) maka persamaan di atas menjadi
:
C′
!(3)*′
!(3)+C′
&(3)*′
&(3)=
s(3)
;
V(3)
Dengan hasil terakhir di atas dan persamaan (3.42)
diperoleh sistem persamaan
C′
!(3)*
!(3)+C′
&(3)*
&(3)=0 ( 3.43)
C′
!(3)*′
!(3)+C′
&(3)*′
&(3)=
s(3)
;
V(3)
Dengan menyelesaikan sistem di atas untuk C′
! dan C′
&
diperoleh
C
!
(3)=−
s(3)*
&(3)
;
V(3)z[*
!(3),*
&(3)]
C
&
(3)=−
s(3)*
!(3)
;
V(3)z[*
!(3),*
&(3)]
Dengan perhitungan mengikuti aturan Wronkian
z=b
*
!(3)*
&(3)
*′
!(3)*′
&(3)
b
Selanjutnya dengan mengintegralkan C
!
dan C
&
diperoleh C
! dan C
& sehingga diperoleh integral khusus
persamaan (3.41) seperti diinginkan.
Contoh 3.15 Tentukan penyelesaian umum persamaan
diferensial
+
%
,
+-
%
+3
+,
+-
+2*=
!
!.p
q
( 3.44)
Penyelesaian:
Persamaan diferensial homogen yang
berkorespondensi dengan (3.44) yaitu:
(
%
)
("
%
+3
()
("
+2y=0
(3.45)
mempunyai persamaan karakteristik m
&
+3m+2=0.
Akar-akar persamaan karakteristik tersebut adalah m
!=−2
dan m
&=−1 sehingga solusi umum persamaan diferensial
(3.45) adalah
y
]=c
!e
5"
+c
&e
5&"
dengan c
! dan c
& sebarang konstanta, selanjutnya c
!
dan c
& diganti dengan fungsi v
! dan v
& sehingga
y
{
(x)=−e
5"
v
!(x)−2v
&(x)e
5&"
+v
!
(x)e
5"
+v
&
(x)e
5&"
Jika diambil
C
!
(3)4
5-
+C
&
(3)4
5&-
=0 ( 3.46)
diperoleh y′
{
(x)=e
5"
v
!(x)+4v
&e
5&"
−v
!
(x)e
5"
+
2v
&
(x)e
5&"
. Selanjutnya dengan mensubstitusikan y
{,y′
{
dan y′′
{ di atas ke persam
aan (3.44) diperoleh
88 Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
e
5"
v
!(x)+4v
&e
5&"
−v
!
(x)e
5"
+2v
&
(x)e
5&"
+3(−e
5"
v
!(x)−2v
&(x)e
5&"
)+2(v
!(x)e
5"
+v
&(x)e
5&"
=
1
1+e
"
atau
−v
!
(x)e
5"
+2v
&
(x)e
5&"
=
1
1+e
"
Hasil terakhir di atas dan persamaan (3.46) membentuk
sistem persamaan
−v
!
(x)e
5"
+2v
&
(x)e
5&"
=
!
!.|
}
(3.47)
v
!(x)e
5"
+v
&(x)e
5&"
=0.
Berdasarkan sistem persamaan (3.47) diperoleh
v
!
(x)=
~
!
!.|
}
−2e
5&"
0 e
5&"
~
H
−e
5"
−2e
5&"
e
5"
e
5&"
H
=
e
"
1+e
"
v
&
(x)=
~
e
5"
!
!.|
}
e
5"
0
~
H
−e
5"
−2e
5&"
e
5"
e
5&"
H
=−
e
&"
1+e
"
Dengan menginteralkan v′
! dan v′
& di atas diperoleh
v
!
(x)=P
e
"
1+e
"
dx=ln|1+e
"
|+c
/
v
&
(x)=P−
e
&"
1+e
"
=P−
e
&"
1+e
"
d(e
"
)
=−P
e
"
+1−1
1+e
"
d(e
"
)=
−Pd(e
"
)+P
1
1+e
"
d(1+e
"
)=−e
"
+ln |1+e
"
|+c
`
89 PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
e
5"
v
!(x)+4v
&e
5&"
−v
!
(x)e
5"
+2v
&
(x)e
5&"
+3(−e
5"
v
!(x)−2v
&(x)e
5&"
)+2(v
!(x)e
5"
+v
&(x)e
5&"
=
1
1+e
"
atau
−v
!
(x)e
5"
+2v
&
(x)e
5&"
=
1
1+e
"
Hasil terakhir di atas dan persamaan (3.46) membentuk
sistem persamaan
−v
!
(x)e
5"
+2v
&
(x)e
5&"
=
!
!.|
}
(3.47)
v
!(x)e
5"
+v
&(x)e
5&"
=0.
Berdasarkan sistem persamaan (3.47) diperoleh
v
!
(x)=
~
!
!.|
}
−2e
5&"
0 e
5&"
~
H
−e
5"
−2e
5&"
e
5"
e
5&"
H
=
e
"
1+e
"
v
&
(x)=
~
e
5"
!
!.|
}
e
5"
0
~
H
−e
5"
−2e
5&"
e
5"
e
5&"
H
=−
e
&"
1+e
"
Dengan menginteralkan v′
! dan v′
& di atas diperoleh
v
!
(x)=P
e
"
1+e
"
dx=ln|1+e
"
|+c
/
v
&
(x)=P−
e
&"
1+e
"
=P−
e
&"
1+e
"
d(
e
"
)
=−P
e
"
+1−1
1+e
"
d(e
"
)=
−Pd(e
"
)+P
1
1+e
"
d(1+e
"
)=−e
"
+ln |1+e
"
|+c
`
Jadi diperoleh
y
{=(ln|1+e
"
|+c
/)e
5"
+(−e
"
+ln |1+e
"
|+c
`)e
5&"
sehingga solusi umu persamaan diferensial (3.44) adalah
y=y
]+y
{
=c
!e
5"
+c
&e
5&"
+(ln|1+e
"
|+c
/)e
5"
+(−e
"
+ln |1
+e
"
|+c
`)e
5&"
=k
!e
5"
+k
&e
5&"
+e
5"
ln|1+e
"
|+e
5&"
ln|1+e
"
|
dengan k
! dan k
& sebarang konstanta.
SOAL-SOAL LATIHAN
1. Tentukan solusi umum persamaan diferensial
d
&
y
dx
&
+y=tanx.secx
2. Tentukan solusi umum persamaan diferensial
d
&
y
dx
&
+4
dy
dx
+5y=e
5&"
secx
3. Tentukan solusi umum persamaan diferensial
d
&
y
dx
&
+6
dy dx
+9y=
e
5/"
x
/
4. Tentukan solusi umum persamaan diferensial
x
&
d
&
y
dx
&
−6
dy dx
+10y=3x
`
+6x
/
Jika diketahui y=x
&
solusi persaaan diferensial
homogen yang berkorespondensi dengan persamaan
diferensial di atas.
5. Tentukan solusi umum persamaan diferensial
(x
&
+2x)
d
&
y
dx
&
−2(x+1)
dy dx
+2y=(x+2)
&
Jika diketahui y=x+1 solusi persaaan diferensial
homogen yang berkorespondensi dengan persamaan
diferensial di atas.
91
BAB IX
TRANSFORMASI LAPLACE
PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA
Definisi 1:
Misalkan f(t) merupakan suatu fungsi dari t terdefinisi
untuk t > 0. Kemudian ∫4
5 B
!
V
2(^)7^, jika ada dinamakan
suatu fungsi dari s, dapat dikatakan s(8). Oleh karena itu
fungsi s(8) ini dapat dinamakan transformasi laplace dari
f(t) dan dinotasikan oleh “ "{I(#)}”.Jadi
Z{I(#)}=.(h)=P4
5 B
!
V
2(^)7^
Definisi 2 :
Jika Z{2(^)}=s(8) maka f(t) dinamakan Transformasi
Laplace Invers dari F(s) dan dinotasikan dengan 2(^)=
Z
5!
{s(8)}. Kemudian
untuk mencari nilai Z
5!
{s(8)}, maka
kita harus mencari suatu fungsi dari t yang transformasi
Laplacenya adalah F(s).
Untuk mempermudah transformasi laplace invers,
perhatikan tabel 9 berikut ini : (Kartono, 1994:2 86)
92 Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
Tabel 9. Fungsi F(s) dan transformasi Laplace invers
NO .(h)="{I(#)} I(#)="{.(h)}
1
1
8
1
2
1
8
J
,:=1,2,…
^
J5!
(:−1)!
3
1
8−;
4
kB
4
1
(8−;)
J
,:=1,2,…
1
(:−1)!
(^
J5!
4
kB
)
5
1
(8−;)(8−X)
,;≠X
1
;−X
\4
kB
−4
WB
]
6
8
(8−;)(8−X)
,;≠X
1
;−X
\;4
kB
−X4
WB
]
7
1
8
&
+;
&
1
;
sin;^
8
8
8
&
+;
&
cos;^
9
1
8
&
−;
&
1
;
sinh;^
10
8
8
&
−;
&
cosh;^
11
1
(8−;)
&
+X
&
1
X
4
kB
sinX^
12
8−;
(8−;)
&
+X
&
4
kB
cosX^
13
1
8(8
&
+;
&
)
1
;
&
(1−cos;^)
14
1
8(8
&
+;
&
)
1
;
/
(;^−sin ;^)
93 PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
Tabel 9. Fungsi F(s) dan transformasi Laplace invers
NO .(h)="{I(#)} I(#)="{.(h)}
1
1
8
1
2
1
8
J
,:=1,2,…
^
J5!
(:−1)!
3
1
8−;
4
kB
4
1
(8−;)
J
,:=1,2,…
1
(:−1)!
(^
J5!
4
kB
)
5
1
(8−;)(8−X)
,;≠X
1
;−X
\4
kB
−4
WB
]
6
8
(8−;)(8−X)
,;≠X
1
;−X
\;4
kB
−X4
WB
]
7
1
8
&
+;
&
1
;
sin;^
8
8
8
&
+;
&
cos;^
9
1
8
&
−;
&
1
;
sinh;^
10
8
8
&
−;
&
cosh;^
11
1
(8−;)
&
+X
&
1
X
4
kB
sinX^
12
8−;
(8−;)
&
+X
&
4
kB
cosX^
13
1
8(8
&
+;
&
)
1
;
&
(1−cos;^)
14
1
8(8
&
+;
&
)
1
;
/
(;^−sin ;^)
15
1
(8
&
+;
&
)
&
1
2;
/
(sin;^
−;^cos;^)
16
8
(8
&
+;
&
)
&
1
2;
sin;^
17
8
(8
&
+;
&
)
&
1
2;
(sin;^+;^cos;^)
18
8
(8
&
+;
&
)+(8
&
+X
&
)
,(;
&
≠X
&
)
1
X
&
−;
&
(cos;^
−cosX^)
Metode pecahan parsial dapat digunakan ketika fungsi
yang diinverskan adalah suatu pecahan aljabar rasional.
Dalam kasus yang demikian ini, fungsi dapat diselesaikan
ke dalam pecahan parsial dan kemudian transformasikan
inversnya.
Teorema 9.3.1 (transformasi Laplace dari turunan)
Jika Z{2(^)}=s(8) maka Z={2
(^)}=8s(8)−2(0) ,
dengan disediakan limit :
lim
B→!
4
5 B
2(^)=0
Bukti:
Z{2
(^)} = ∫4
5 B
2
(^)7^
!
V
= 4
5 B
2(^)|
V+8∫4
5 B
2(^)7^
!
V
= 0−2(0)+8 Z {2(^)}
= 8Z{2(^)}−2(0)
= 8s(8)−2(0)
Akibatnya:
Z{2
(^)
}=8
&
s(8)−82(0)−2
(0)
94 Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
Bukti:
Karena Z{2
(^)} = 8Z{2(^)}−2(0) maka
Z{2
(^)} = 8Z{2′(^)}−2′(0)
= 8[8Z{2(^)}−2(0)]−2′(0)
= 8
&
Z{2(^)}−82(0)−2
(0)
= 8
&
s(8)−82(0)−2′(0)
Secara sama kita dapat menunjukkan bahwa:
Z{2
$$$
(^)}=8
/
s(8)−8
&
2(0)−82
!
(0)−2
$$
(0)
Pada umumnya belaku bahwa:
Z{2
J
(^)}=8
J
s(8)−8
J5!
2(0)−8
J5&
2
!
(0)−⋯−2
J5!
(0)
A. Rumus Inversi Penting yang Lain
a. Berdasarkan transformasi laplace dari integral yaitu:
Jika Z{2(^)}=s(8) maka Z&∫2(_)7_
B
V
'=
v( )
Dari sini berarti bahwa:
Jika Z
5!
{s(8)}=2(^) maka Z
5!
&
v( )
'=∫2(_)7_
B
V
b. Berdasarkan teorema yang mengatakan bahwa:
Jika Z{2(^)}=s(8) maka Z{^ 2(^)}=−
+
+
s(8)=
−s′(8)
Dari sini berarti bahwa:
Jika Z
5!
{s(8)}=2(^) maka Z
5!
{s
(8)}=−^ 2(^)
c. Berdasarkan teorema 8.3.1
Jika Z
5!
{s(8)}=2(^) maka Z
5!
{8s(8)}=2′(^)
disediakan 2(0)=0
d. Rumus Z&
w(B)
B
'=∫s(8)
!,
78 adalah sangat berguna
dalam pencarian 2(^) disaat s(8) diberikan,
95 PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
Bukti:
Karena Z{2
(^)} = 8Z{2(^)}−2(0) maka
Z{2
(^)} = 8Z{2′(^)}−2′(0)
= 8[8Z{2(^)}−2(0)]−2′(0)
= 8
&
Z{2(^)}−82(0)−2
(0)
= 8
&
s(8)−82(0)−2′(0)
Secara sama kita dapat menunjukkan bahwa:
Z{2
$$$
(^)}=8
/
s(8)−8
&
2(0)−82
!
(0)−2
$$
(0)
Pada umumnya belaku bahwa:
Z{2
J
(^)}=8
J
s(8)−8
J5!
2(0)−8
J5&
2
!
(0)−⋯−2
J5!
(0)
A. Rumus Inversi Penting yang Lain
a. Berdasarkan transformasi laplace dari integral yaitu:
Jika Z{2(^)}=s(8) maka Z&∫2(_)7_
B
V
'=
v( )
Dari sini berarti bahwa:
Jika Z
5!
{s(8)}=2
(^) maka Z
5!
&
v( )
'=∫2(_)7_
B
V
b. Berdasarkan teorema yang mengatakan bahwa:
Jika Z{2(^)}=s(8) maka Z{^ 2(^)}=−
+
+
s(8)=
−s′(8)
Dari sini berarti bahwa:
Jika Z
5!
{s(8)}=2(^) maka Z
5!
{s
(8)}=−^ 2(^)
c. Berdasarkan teorema 8.3.1
Jika Z
5!
{s(8)}=2(^) maka Z
5!
{8s(8)}=2′(^)
disediakan 2(0)=0
d. Rumus Z&
w(B)
B
'=∫s(8)
!,
78 adalah sangat berguna
dalam pencarian 2(^) disaat s(8) diberikan,
disediakan untuk transformasi inves dari ruas
sebelah kanan yang dapat dihitung secara
konvensional.
e. Teorema Konvolusi
Jika Z
5!
{s(8)}=2(^) dan Z
5!
{t(8)}=>(^), maka
Z
5!
{s(8),t(8)}=P2(_).>(^−_)7_
B
V
Contoh:
Selesaikan setiap masalah nilai awal di bawah ini:
1.
+
%
,
+B
%
−2
+,
+B
+2*=0,*(0)=1,*′(0)=1
Pembahasan:
Persamaan diferensial diatas dapat ditulis dalam
bentuk:
*
−2*
+2*=0
Kenakan transformasi Laplace pada kedua ruasnya,
yaitu:
Z{*
}−2Z{*
}+2Z{*}=Z(0)
Berdasarkan teorema 9.3.1 dan kondisi awal, diperoleh
bahwa:
Z{*
} = 8
&
u(8)−8 *(0)−*
(0)
= 8
&
u(8)−8.1−1
= 8
&
u(8)−8−1
= 8
&
u−8−1
Z{*
} = 8u(8)−*(0)
= 8u(8)−1
= 8u−1
96 Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
Z{*) = u(8)=u
Ini semua disubstitusikan kedalam transformasi laplace
dari persamaan diferensial yang diberikan, yaitu:
[8
&
u−8−1]−2[8u−1]+2u=0
⇔8
&
u−25u+2u+1−8=0
Persamaan ini dinamakan persamaan pembantu.
Selesaikan persamaan pembantu ini:
⇔(8
&
−25+2)u+1−8=0
⇔(8
&
−25+2)u=8−1
⇔u=
8−1
8
&
−25+2
⇔u=
8−1
(8−1)
&
+1
Kenakan transformasi laplace invers pada kedua
ruasnya, yaitu:
Z
5!
{u}=Z
5!
(
8−1
(8−1)
&
+1
)
*=4
B
cos^
∴ Solusi khusus P.D yang memenuhi kedua kondisi
awal diatas adalah:
*(^)=4
B
cos^
2.
+
%
,
+B
%
−
+,
+B
−2*=3cos3^−11sin3^,*(0)=0,*′(0)=
6
Pembahasan:
Persamaan diferensial diatas dapat ditulis dalam
bentuk:
*
+*
−2*=3cos3^−11sin3^
Kenakan transformasi Laplace pada kedua ruasnya,
yaitu:
97 PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
Z{*) = u(8)=u
Ini semua disubstitusikan kedalam transformasi laplace
dari persamaan diferensial yang diberikan, yaitu:
[8
&
u−8−1]−2[8u−1]+2u=0
⇔8
&
u−25u+2u+1−8=0
Persamaan ini dinamakan persamaan pembantu.
Selesaikan persamaan pembantu ini:
⇔(8
&
−25+2)u+1−8=0
⇔(8
&
−25+2)u=8−1
⇔u=
8−1
8
&
−25+2
⇔u=
8−1
(8−1)
&
+1
Kenakan transformasi laplace invers pada kedua
ruasnya, yaitu:
Z
5!
{u}=Z
5!
(
8−1
(8−1)
&
+1
)
*=4
B
cos^
∴ Solusi khusus P.D yang memenuhi kedua kondisi
awal diatas adalah:
*(^)=4
B
cos^
2.
+
%
,
+B
%
−
+,
+B
−2*=3cos3^
−11sin3^,*(0)=0,*′(0)=
6
Pembahasan:
Persamaan diferensial diatas dapat ditulis dalam
bentuk:
*
+*
−2*=3cos3^−11sin3^
Kenakan transformasi Laplace pada kedua ruasnya,
yaitu:
Z{*
}+Z{*
}−2Z{*}=3Z{cos3^}−11Z {sin3^}
Berdasarkan teorema 9.3.1 d an kondisi nilai awal:
[8
&
u−8*(0)−*
(0)]+[8u−*(0)]−2u
=3.
5
8
&
+9
−11.
3
8
&
+9
⇔[8
&
u−8.0−6]+[8u−0]−2u=
38−33
8
&
+9
⇔8
&
u−6+8u−2u=
38−33
8
&
+9
Dinamakan persamaan pembantu
Selesaikan persamaan pembantu ini
⇔(8
&
+8−2)u =
/I5//
%
.t
+6
=
U
%
./ .&!
%
.t
⇔ u =
U
%
./ .&!
(
%
.t)(
%
. 5&)
⇔ u =
U
%
./ .&!
(
%
.t)( .&)( 5!)
⇔ u =
/
%
.t
+
!
5!
−
!
.&
[Dipecah kedalam pecahan parsial]
Kenakan transformasi laplace invers pada kedua
ruasnya, yaitu:
Z
5!
{u}=Z
5!
(
3
8
&
+9
)+Z
5!
(
1
8−1
)−Z
5!
(
1
8+2
)
*(^)=sin3^+4
B
−4
5&B
∴ Solusi khusus P.D yang memenuhi kedua kondisi
nilai awal diatas adalah:
*(^)=sin3^+4
B
−4
5&B
98 Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
LATIHAN
Selesaikan setiap masalah nilai awal dibawah ini:
1. (g
/
+g)3=2,3(0)=3,3′(0)=1,3
=−2
2. *
+J*=0,*(0)=^,*
(0)=a,(J≠0)
3. *
−2*
−3*=0,*(0)=1,*
(0)=7
4.
+
%
,
+B
%
+3=^cos2^,3(0)=0,3
(0)=0
5.
+
%
,
+B
%
−3
+,
+B
+2*=44
&B
,*(0)=−3,*
(0)=5
99
LATIHAN
Selesaikan setiap masalah nilai awal dibawah ini:
1. (g
/
+g)3=2,3(0)=3,3′(0)=1,3
=−2
2. *
+J*=0,*(0)=^,*
(0)=a,(J≠0)
3. *
−2*
−3*=0,*(0)=1,*
(0)=7
4.
+
%
,
+B
%
+3=^cos2^,3(0)=0,3
(0)=0
5.
+
%
,
+B
%
−3
+,
+B
+2*=44
&B
,*(0)=−3,*
(0)=5
BAB X
PENERAPAN PERSAMAAN DIFERENSIAL
A. Pertumbuhan dan Peluruhan
Salah satu contoh kasus pemodelan matematika yang
menggunakan konsep persamaan diferensial, misalkan jika
waktu dinyatakan dengan t satuan, dan jumlah kuantitas
yang ada pada setiap saat dinyatakan dengan x satuan,
maka bentuk persamaan diferensialnya, yaitu :
FH
F#
=+H,
dimana M konstanta dan 3 >0 untuk setiap ^≥0. Jika x
bertambah untuk t yang bertambah, maka M>0, dan kita
peroleh hukum pertumbuhan wajar. Sedangkan jika x
berkurang bila t bertambah, maka 3<0 dan diperoleh
hukum peluruhan wajar. Misalkan kita akan menyelesaikan
permasalahan pada contoh dibawah ini :
Contoh 1:
Laju pertumbuhan radium berbanding lurus dengan jumlah
zat yang ada setiap saat. Jika 60 mg radium tersedia
sekarang dan waktu paruhnya adalah 1690 tahun, maka
berapa jumlah radium yang ada 100 tahun kemudian.
Jaw
ab :
100 Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
Misalkan t tahun telah berlangsung sejak sekarang, dan
x adalah banyaknya radium dalam t tahun, maka terlebih
dahulu kita merubah persamaan
73
7^
=M3
73
3
=M7^
P
73
3
=PM 7^
ln3=M^+?
4
QR-
=4
[B.S
3=? 4
[B
Dengan ?=4
S
Perhatikan tabel bantu dibawah ini
t
0 100 1690
x 60 ? 30
Selanjutnya dengan memperhatikan syarat batas yang
diberikan (lihat tabel)
Ketika ^=0→60=? 4
[.V
=?. Jadi ? = 60....(1)
Ketika ^=1690→30=? 4
[.!UtV
............................(2)
Substitusikan persamaan 1 ke persamaan 2, sehingga
30=60 4
[.!UtV
...............(3)
Dari persamaan 3 tersebut kita dapat memperoleh nilai
k, yaitu dengan perhitungan :
30=60 4
[.!UtV
4
[.!UtV
=0,5
ln4
[.!UtV
=ln0,5
M.1690ln4=ln0,5
101 PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
Misalkan t tahun telah berlangsung sejak sekarang, dan
x adalah banyaknya radium dalam t tahun, maka terlebih
dahulu kita merubah persamaan
73
7^
=M3
73
3
=M7^
P
73
3
=PM 7^
ln3=M^+?
4
QR-
=4
[B.S
3=? 4
[B
Dengan ?=4
S
Perhatikan tabel bantu dibawah ini
t 0 100 1690
x 60 ? 30
Selanjutnya dengan memperhatikan syarat batas yang
diberikan (lihat tabel)
Ketika ^=0→60=? 4
[.V
=?. Jadi ? = 60....(1)
Ketika ^=1690→30=? 4
[.!UtV
............................(2)
Substitusikan persamaan 1 ke persamaan 2, sehingga
30=60 4
[.!UtV
...............(3)
Dari persamaan 3 tersebut kita dapat memperoleh nilai
k, yaitu dengan perhitungan :
30=60 4
[.!UtV
4
[.!UtV
=0,5
ln4
[.!UtV
=ln0,5
M.1690ln4=ln0,5
Ingat ln4=1 dan ln0,5=−0,69315, sehingga
M.1690= −0,69315
M=−
0,69315
1690
=−0,00041
Dengan mensubstitusikan nilai C dan k ke persamaan
awal maka diperoleh :
3=60 4
5V,VVV`!B
untuk ^=100,
3=60 4
5V,VVV`! (!VV)
3=604
5V,V`!
3=57,6
Jadi dapat disimpulkan untuk 100 tahun sejak sekarang
akan terdapat 57,6 mg radium.
Contoh 1 di atas menggamba rkan suatu fungsi yang
dikatakan mempunyai peluruhan ekspon esial. Pada contoh
tersebut M<0, dan 3=2(^), dimana lim
B→!2(^)=
? lim
B→!4
[B
=0. Jadi akhirnya 2(^) akan menuju ke nol.
Selanjutnya akan kita lihat jika suatu kuantitas
bertambah dengan laju berbanding lurus dengan selisish
suatu
bilangan positif A dengan ukuran kuantitas tersebut.
Jika waktu dinyatakan dengan satuan ^ satuan dan jumlah
kuantitas pada setiap saat adalah 3 satuan, maka diperoleh
persaman
+-
+B
=M(^−3), dengan M konstanta positif dan
3<^ untuk setiap ^. Persamaan ini dapat dituliskan dalam
bentuk
+-
,5-
=M 7^. Dengan mengintegralkan kedua ruas,
maka kita peroleh :
P
73
^−3
=PM 7^
102 Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
−ln(^−3)=M^+?
ln(^−3)=−M^−?
4
QR(,5-)
=4
5[B5S
^−3=4
5[B
4
5S
3=^−?4
5[B
Dengan A, B, dan k konstanta positif serta 3=2(^)
menyatakan jumlah kuantitas pada saat t. Hasil ini
memberikan suatu fungsi pertumbuhan terbatas, karena
lim
B→!
2(^)=lim
B→!
\^−?4
5[B
]
=^−?lim
B→!
4
5[B
=^−?.0
=^
Dengan demikian 3=2(^) akan mendekati A dari kiri
(lihat gambar).
^
^
A-C
2(^)=^−?4
5[B
0
103 PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
−ln(^−3)=M^+?
ln(^−3)=−M^−?
4
QR(,5-)
=4
5[B5S
^−3=4
5[B
4
5S
3=^−?4
5[B
Dengan A, B, dan k konstanta positif serta 3=2(^)
menyatakan jumlah kuantitas pada saat t. Hasil ini
memberikan suatu fungsi pertumbuhan terbatas, karena
lim
B→!
2(^)=lim
B→!
\^−?4
5[B
]
=^−?lim
B→!
4
5[B
=^−?.0
=^
Dengan demikian 3=2(^) akan mendekati A dari kiri
(lihat gambar).
^
^
A-C
2(^)=^−?4
5[B
0
B. A Discrete One Species Model
Pada bagian ini, salah satu model paling
sederhana pertumbuhan penduduk dari spesies telah
dikembangkan. Data khas pada variasi penduduk dari
spesies didaerah tertentu mungkin ditunjukan dalam
gambar 32-1, dimana pengukuran mungkin telah diambil
alih oleh interval waktu ∆^. Laju perubahan penduduk yang
diukur selama interval waktu ∆^ akan menjadi
∆-
∆#
=
-(#+∆#)−-(#)
∆#
Hal ini menunjukan angka absolut dari peningkatan
penduduk. Sebuah jumlah yang akan membuktikan
menjadi cukup penting adalah laju perubahan penduduk
per individu, )(^). Ini disebut angka pertumbuhan per
satuan waktu. Sebagai contoh,
Figure 32-1 Data khas dalam penduduk #(^)
104 Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
per tahun, yang diukur selama interval waktu ∆^ :
persamaan 32.1
Perubahan persentase penduduk adalah 100
∆1
1(B)
=
100)(^)∆^. Sehingga seratus kali laju pertumbuhan
)(^)adalah perubahan persentase pada penduduk per
satuan waktu. Sebagai contoh, jika dalam setengah tahun
penduduk meningkat sebesar 20% maka )(^) =
&
I
dan angka
pertumbuhan sebesar 40% per tahun (yang diukur untuk
setengah tahun). Persamaan 32.1 tidak dapat digunakan
untuk menentukan penduduk pada waktu masa depan
karena itu hanya definisi dari )(^). Namun jika angka
pertumbuhan dan penduduk awal diketahui maka
penduduk di kemudian waktu dapat dihitung :
-(#+∆#)= -(#)+∆#.(#)-(#) (32.2)
Kami berasumsi bahwa penduduk dari spesies yang
hanya berubah karena kelahiran dan kematian. Tidak ada
percobaan di luar slip beberapa spesies tambahan ke dalam
sistem. Tidak ada migrasi masuk atau keluar wilayah
tersebut. Demikian
-(#+∆#)= -(#)+(# +T/@pj0@K)−(# +Tc@#j@K)
Para reproduksi (kelahiran) angka X satuan waktu
diukur selama interval waktu ∆^ dan angka kematian
7didefinisikan sebagai
A=
(# +T/@pj0@K)
∆#-(#)
F=
(# +Tc@#j@K)
∆#-(#)
.(#)=
-(#+∆#)−-(#)
∆#-(#)
105 PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
per tahun, yang diukur selama interval waktu ∆^ :
persamaan 32.1
Perubahan persentase penduduk adalah 100
∆1
1(B)
=
100)(^)∆^. Sehingga seratus kali laju pertumbuhan
)(^)adalah perubahan persentase pada penduduk per
satuan waktu. Sebagai contoh, jika dalam setengah tahun
penduduk meningkat sebesar 20% maka )(^) =
&
I
dan angka
pertumbuhan sebesar 40% per tahun (yang diukur untuk
setengah tahun). Persamaan 32.1 tidak dapat digunakan
untuk menentukan penduduk pada waktu masa depan
karena itu hanya definisi dari
)(^). Namun jika angka
pertumbuhan dan penduduk awal diketahui maka
penduduk di kemudian waktu dapat dihitung :
-(#+∆#)= -(#)+∆#.(#)-(#) (32.2)
Kami berasumsi bahwa penduduk dari spesies yang
hanya berubah karena kelahiran dan kematian. Tidak ada
percobaan di luar slip beberapa spesies tambahan ke dalam
sistem. Tidak ada migrasi masuk atau keluar wilayah
tersebut. Demikian
-(#+∆#)= -(#)+(# +T/@pj0@K)−(# +Tc@#j@K)
Para reproduksi (kelahiran) angka X satuan waktu
diukur selama interval waktu ∆^ dan angka kematian
7didefinisikan sebagai
A=
(# +T/@pj0@K)
∆#-(#)
F=
(# +Tc@#j@K)
∆#-(#)
.(#)=
-(#+∆#)−-(#)
∆#-(#)
Akibatnya, penduduk pada suatu waktu kemudian ∆^,
#(^+∆^) adalah
-(#+∆#)= -(#)+∆#(A−F)-(#)
Angka pertumbuhan R
.=A−F (32.3)
Adalah angka kelahiran dikurangi kematian. Dalam
beberapa tahun terakhir, angka pertumbuhan penduduk
manusia di dunia sama dengan ,019. Ini berarti bahwa
angka pertumbuhan (angka kelahiran dikurangi angka
kematian) adalah 1,9 persen per tahun.. Angka ini tidak
memberi informasi lain mengenai kelahiran dan angka
kematian.
Semenjak kita memfokus perhatian kita pada total
penduduk di suatu wilayah. Angka kelahiran dan kematian
adalah rata-rata, ini rata-rata seluruh penduduk. Kami tidak
membedakan antara individu yang lebih tua atau lebih
muda. Dalam membahas pertumbuhan penduduk
manusia, aktuaris dan demogr apher akan marah dengan
pendekatan kami. Mereka sadar bahwa prediksi akurat
pertumbuhan di masa depan tergantung pada sebuah
pengetahuan dari distribusi umur penduduk. Dua
penduduk yang akan tumbuh cukup berbeda jika seseorang
memiliki warga senior secara signifikan lebih dari yang lain.
Sehingga model matematika kami kembangkan dapat
diangkakan untuk memperbolehkan distribusi umur dalam
penduduk. Ini akan dibahas secara singkat pada bagian
selanjutnya (bagian 35). Kita sekarang melanjutkan untuk
106 Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
membahas total penduduk suatu spesies, dengan asumsi
pengaruh dari distribusi kemungkinan perubahan usia
dapat diabaikan.
Sebagai langkah pertama dalam pemodelan yang
berhubungan dengan matematika dari pertumbuhan
penduduk, kita asumsikan bahwa jumlah kelahiran dan
jumlah kematian hanya sebanding dengan jumlah
penduduk. Sehingga angka pertumbuhan )konstan, ) = )
V;
diasumsikan tidak ada perubahan waktu. Sebuah
peningkatan dua kali lipat dalam penduduk menghasilkan
dua kali lebih banyak kelahiran dan kematian. Tanpa
memba
ntah asumsi, marilah kita mengejar konsekuensinya.
Jika angka pertumbuhan konstan maka untuk setiap ^
-(#+∆#)− -(#)=.
C∆#-(#)
Hal ini dapat dinyatakan sebagai sebuah perbedaan
persamaan bagi penduduk.
-(#+∆#)=(L+.
C∆#)-(#) (32.4)
Penduduk pada saat itu∆^ nanti adalah persentase tetap
dari penduduk sebelumnya. Kami akan menunjukkan
perbedaan persamaan dapat diselesaikan sebagai masalah
nilai awal, yang diberikan penduduk awal pada ^=^
V
Penduduk masa depan dapat dengan mudah dihitung.
-(#
C)=-
C
107 PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
membahas total penduduk suatu spesies, dengan asumsi
pengaruh dari distribusi kemungkinan perubahan usia
dapat diabaikan.
Sebagai langkah pertama dalam pemodelan yang
berhubungan dengan matematika dari pertumbuhan
penduduk, kita asumsikan bahwa jumlah kelahiran dan
jumlah kematian hanya sebanding dengan jumlah
penduduk. Sehingga angka pertumbuhan )konstan, ) = )
V;
diasumsikan tidak ada perubahan waktu. Sebuah
peningkatan dua kali lipat dalam penduduk menghasilkan
dua kali lebih banyak kelahiran dan kematian. Tanpa
memba
ntah asumsi, marilah kita mengejar konsekuensinya.
Jika angka pertumbuhan konstan maka untuk setiap ^
-(#+∆#)− -(#)=.
C∆#-(#)
Hal ini dapat dinyatakan sebagai sebuah perbedaan
persamaan bagi penduduk.
-(#+∆#)=(L+.
C∆#)-(#) (32.4)
Penduduk pada saat itu∆^ nanti adalah persentase tetap
dari penduduk sebelumnya. Kami akan menunjukkan
perbedaan persamaan dapat diselesaikan sebagai masalah
nilai awal, yang diberikan penduduk awal pada ^=^
V
Penduduk masa depan dapat dengan mudah dihitung.
-(#
C)=-
C
Sebuah perbedaan persamaan mempunyai arti sama
dengan persamaan diferensial. Namun, untuk masalah nilai
awal dari jenis perbedaan persamaan, solusi unik selalu
dapat langsung dihitung. Tidak ada trik persamaan
diferensial yang diperlukan. Untuk angka kelahiran
konstan,
-(#
C+∆#)=(L+.
C∆#)-
C
-(#
C+B∆#)=(L+.
C∆#)-(#
C+∆#)=(L+.
C∆#)
B
-
C
-(#
C+1∆#)=(L+.
C∆#)-(#
C+B∆#)=(L+.
C∆#)
1
-
C
meskipun metode ini memberikan jawaban yang
memuaskan untuk setiap saat. Jelas bahwa rumus umum
-(#)= -(#
C+c∆#)=(L+.
C∆#)
c
-
C
Atau ekuivalen
-(#)=(L+.
C∆#)
#5#
C∆#⁄
-
C
Jika angka kelahiran lebih besar dari angka kematian
(i.e., jika )
V>0), pertumbuhan penduduk. Sebuah sketsa
solusi ini mudah dilakukan dengan mencatat.
(L+.
C∆#)
c
=T
@c
Di mana ; adalah konstans, ;=ln(1+)
V∆^). Sehingga,
jika )
V>0 kita memiliki gamb ar 32-2. Pertumbuhan terjadi
diskrit lain selama interval waktu yang panjang∆^. Di setiap
interval waktu ∆^ kenaikan penduduk dengan angka yang
sama. Tapi bukan dengan jumlah yang sama, tetapi sebuah
peningkatan jumlah. Seki
tar 1800, ekonom Inggris, Malthus
menggunakan jenis model pertumbuhan penduduk untuk
membuat prediksi pesimistis bahwa penduduk manusia
akan sering mengatasi pasok an makanan. Malthus tidak
108 Nuryadi, S.Pd.Si, M.Pd
meramalkan pencapaian teknologi yang luas dalam
produksi makanan.
Gambar 32-2 angka pertumbuhan konstan
Asumsi bahwa angka pertumbuhan konstan sering
tidak diamati penduduk perkiraan. Kami menggamba rkan
beberapa faktor lingkungan yang menyebabkan angka
pertumbuhan manusia bervariasi.
1. Kegagalan panen kentang (karena penyakit) di Irlandia
pada tahun 1845 mengakiba tkan kelaparan yang
meluas. Tidak hanya angka kematian secara dramatis
meningkat, tetapi imigrasi pada United States (dan di
tempat lain) begitu besar bahwa selama beberapa tahun
berikutnya penduduk dari Irlandia menurun secara
signifikan. Perkiraan penduduk untuk Irlandia
berbicara sendiri:
109 PERSAMAAN DIFERENSIAL ELEMENTER
meramalkan pencapaian teknologi yang luas dalam
produksi makanan.
Gambar 32-2 angka pertumbuhan konstan
Asumsi bahwa angka pertumbuhan konstan sering
tidak diamati penduduk perkiraan. Kami menggamba rkan
beberapa faktor lingkungan yang menyebabkan angka
pertumbuhan manusia bervariasi.
1. Kegagalan panen kentang (karena penyakit) di Irlandia
pada tahun 1845 mengakiba tkan kelaparan yang
meluas. Tidak hanya angka kematian secara dramatis
meningkat, tetapi imigrasi pada United States (dan di
tempat lain) begitu besar bahwa selama beberapa tahun
berikutnya penduduk dari Irlandia menurun secara
signifikan. Perkiraan penduduk untuk Irlandia
berbicara sendiri:
Perkiraan Penduduk Irlandia
tahun jumlah penduduk dalam jutaan
1800 4.5
1845 8.5
1851 6.5
1891 6.7
1951 4.3
1971 4.5
2. Sebuah pemadaman listrik terkenal pada tahun 1965 di
timur laut Negara Serikat menghasilkan angka
pertumbuhan yang meningkat sembilan bulan
kemudian. Efek ini juga terjadi, Misalnya, sebagai hasil
dari jam malam hukum chili tahun 1973.
3. Pil dan tindakan kontrol lahir lainnya telah memberi
kontribusi penurunan di tahun 1960 dan 1970 dalam
angka pertumbuhan di Amerika Serikat.
4. Rata-rata jumlah anak yang diinginkan tampa knya
tergantung pada faktor ekonomi dan lainnya. Selama
masa depresi di tahun 1930, angka kelahiran di
Amerika Serikat lebih rendah dari mereka baik sebelum
dan sesudah.
Contoh (2) - (4) jelas menggamba rkan perbedaan antara
kesuburan (kemampuan untuk mereproduksi, kemampuan
reproduksi) dan fekunditas (angka aktual reproduksi).
111
DAFTAR PUSTAKA
Shepley, L., Ross. 1984. Differential Equations, third edition.
John wiley & Sons.
Paul, W, Davis.1999. Differential Equations Modelling with
Matlab. Prentice Hall.
Darmawijoyo.2002. Persamaan Diferensial Biasa Suatu
Pengantar. Jakarta: Erlangga
Boyce, WE., DiPrima, R.C.2004. Elementary Differential
Equations and Boundary Value Problems. Wiley: New
York.
Lina, A., dkk. 2003. Handout Persamaan Diferensial Elementer.
FMIPA UGM
Ross, S.L. 1998. Introduction to Differential Equations. Wiley:
New York.
Kartono. 2012. Persamaan Diferensial Biasa Model Matematika
Fenomena Perubahan. Yogyakarta: Graha Ilmu.
Waluyo, S.B.2006. Persamaan Diferensial. Yogyakarta : Graha
Ilmu