METODE NUMERIK
Tim Dosen:
Julan HERNADI, Puguh, Burhan, Siti
Prodi Pendidikan Matematika
FKIP UAD Yogyakarta
Semester Genap
Feb 2018 - Juni 2018
Tim Dosen: Julan HERNADI, Puguh, Burhan, Siti METODE NUMERIKTim Dosen:
Dr. Julan Hernadi, M.Si
Dr. Burhanudin A N, M.Sc
Dr. Puguh W Prasetyo, M.Sc
Siti Nur Rohmah, M.Pd

Tujuan dan Deskripsi Mata Kuliah
Mata Kuliah ini berkenaan dengan metode-metode numerik untuk
menyelesaikan permasalahan model matematika yang tidak dapat
diselesaikan secara eksak atau analitik. Versi modern dari Metode
Numerik adalah Komputasi Saintifik (scientific computing).
“Scientific computing is the collection of tools, techniques, and
theories required to solve on a computer mathematical models
of problems in science and engineering”,(Golub & Ortega,
1992).
Scientific computing encompasses:
Hardware, i.e. computer, measurement devices.
Mathematical background
Algorithm and method
Software
Kuliah ini dimaksudkan untuk membekali siswa dengan pengetahuan
(knowledge) tentang metode aproksimasi dan keterampilan (skill) dalam
mengimplementasikannya menggunakan komputer.
Tim Dosen: Julan HERNADI, Puguh, Burhan, Siti METODE NUMERIK

Sistem Perkuliahan
1Kuliah direncanakan 14 kali pertemuan.
2Semua materi kuliah (bahan kajian) terkait capaian pembelajaran yang
ada wajib dipelajari.
3Soal ujian dibuat seragam (terstandarisasi) untuk semua kelas mencakup
aspek kognitif dan psikomotorik.
4Metode Pembelajaran: Ceramah, diskusi, penemuan terbimbing melalui
LKM, dan presentasi mahasiswa, serta laporan portofolio.
5Tugas Kuliah:
1Tugas pekanan dikerjakan secara kelompok (sebanyak 12 kali)
2Tugas pre UTS dan pre-UAS secara individu (total ada 2 kali) 6.
6Setiap awal kuliah dibacakan ayat-ayat Al-Qur’an oleh mahasiswa yang
ditunjuk.
7Sistem Penilaian:
1Kehadiran/presensi (10%)
2Tugas/portofolio (30%)
3UTS (20%) dan UAS (30%)
4Lainnya (keaktifan, catatan/ringkasan) (10%)
Tim Dosen: Julan HERNADI, Puguh, Burhan, Siti METODE NUMERIK

Bab I: Pendahuluan Komputasi Saintifik (Pert-1)
Pemodelan matematika merupakan suatu proses di mana
permasalahan pada dunia nyata disajikan dalam bentuk
permasalahan matematika, seperti sistem persamaan linear,
persamaan taklinear, persamaan diferensial yang memuat
masalah nilai awal dan syarat batas, persamaan integral,
masalah optimasi dan kontrol, dan lain sebagainya. Jadi,
model matematika menggambarkan sistem dunia nyata dalam
bahasa matematika.
Permasalahan matematika tersebut perlu ditentukan solusinya
karena solusi ini nantinya akan digunakan untuk menyelesaikan
permasalahan nyata yang terkait.
Dalam kasus solusi eksak (analitik) tidak ada maka perlu solusi
aproksimasi (numerik).
Tim Dosen: Julan HERNADI, Puguh, Burhan, Siti METODE NUMERIK

Contoh 1: Menentukan panjang bahan baku atap gelombang
Figure:From flat to wave form
Diberikan material berupa plat tipis akan dibuat atap (genteng) gelombang
dengan panjang 120 cm, kedalaman gelombang 1 cm dengan periode 2⇡cm
(lihat gambar kiri). Berapa cm panjang bahan baku yang dibutuhkan. Setelah
dibawa ke model matematika ternyata persamalahan ini ekuivalen dengan
menentukan panjang kurvay=f(x)=sinxdarix=0s.d.x=120.
Berdasarkan kalkulus, panjang ini diberikan bentuk integral:
L=
Z
120
0
q
1+(f
0
(x))
2
dx=
Z
120
0
p
1+cos
2
xdx.
Ternyata integral ini tidak dapat diselesaikan dengan cara eksak sehingga perlu
diaproksimasi dengan metode numerik. –> Aproksimasi intergal tertentu.
Tim Dosen: Julan HERNADI, Puguh, Burhan, Siti METODE NUMERIK

Contoh 2: Memprediksi Data Hilang
Tabel ini menyajikan jarak dan kecepatan sebuah mobil yang diukur
setelah t detik dari berangkat
Waktu dari beangkat (detik)036 812
Jarak (m) 075130210325
Kec (m/sec) 2529312726
Pertanyaan berikut tidak dapat dijawab langsung melalui data
tabel.
Di mana posisi mobil padat=10 detik?
Pernahkah mobil melebihi kec 80 km/jam?
Jawaban hanya bisa diprediksi dengan menggunakan
aproksimasi.–> interpolasi polinomial
Tim Dosen: Julan HERNADI, Puguh, Burhan, Siti METODE NUMERIK

Contoh 3: Bola Di dalam Kerucut
Model real: kita ingin membuat sebuah kerucut yang tingginyatcm
terbuat dari bahan tertentu. Kerucut yang terbentuk dibalik,
kemudian diisi air sampai penuh. Selanjutnya ke dalamnya
dimasukkan sebuah bola padat sampai tenggelam, sehingga
sebagian airnya tumpah. Jika diinginkan panjang jari-jari bola
setengah jari-jari alas kerucut, berapa jari-jari kerucut ini agar air
yang tersisa adalahvcm
3
. Lihat Gambar berikut.
Temukan model matematika?[dijabarkan bersama di kelas]. Apa
bisa diselesiaikan langsung?–> akar persamaan taklinear.
Tim Dosen: Julan HERNADI, Puguh, Burhan, Siti METODE NUMERIK

Strategies in Approximation
1Replacing infinite processes with finite processes, such as
replacing integrals or infinite series with finite sums.
2Replacing complicated functions with simple functions, such as
polynomials
3Replacing nonlinear problems with linear problems
4Replacing differential equations with algebraic equations
5Replacing infinite-dimensional spaces with finite-dimensional
spaces
Approximation scheme:
Original complicated problem!new simpler problem!solve
approximately!apply to original problem.
Ideally, the approximation solution of new problem is close enough
to the original one.
Tim Dosen: Julan HERNADI, Puguh, Burhan, Siti METODE NUMERIK

The Source of Approximation Error
Before computation:
Modeling: Some physical features of the problem or system
under study may be simplified or omitted (e.g., friction,
viscosity).
Empirical measurements: Laboratory instruments have finite
precision. Their accuracy may be further limited by small
sample size, or readings obtained may be subject to andom
noise or systematic bias.
Previous computations: Input data may have been produced
by a previous step whose results were only approximate.
During computation:
Truncationordiscretization: Some features of a
mathematical model may be omitted or simplified (e.g.,
replacing a derivative by a difference quotient or using only a
finite number of terms in an infinite series).
Rounding: The computer representation of real numbers and
arithmetic operations upon them is generally inexact.
Tim Dosen: Julan HERNADI, Puguh, Burhan, Siti METODE NUMERIK

Example
The surface area of the Earth might be computed using the formula
A=4⇡r
2
whereris the radius of Earth. Here, the using of formula is the
process of approximation with several error sorces:
The Earth is modeled as a sphere, is just an idealization; not
really true.
r⇡6375km is based on previous computation, or empirical
measurement.
The number 3.14159265358979 is just an approximation for⇡
in 15 digits, not exact.
The input number into and output from computer has rounded
by computer processor.
Tim Dosen: Julan HERNADI, Puguh, Burhan, Siti METODE NUMERIK

Galat, Galat Mutlak dan Galat Relatif
Definition
Misalkanpadalah nilai eksak yang akan diaproksimasi olehp
⇤
.
1galat=E:=p#p
⇤
, yaitu selisih nilai eksak dari
aproksimasinya.
2galat mutlak=EM:=|p#p
⇤
|,yaituselisihmutlakantara
eksak dan aprokimasinya.
3galat relatif=ER:=
|p"p
⇤
|
|p|
=
galat
eksak
,perbandingangalat
mutlak nilai yang diaproksimasi. Khusus galat relatif hanya
terdefinisi bilamanap6=0.
Bila tanda nilai mutlak definisi ini diabaikan, diperoleh penjabaran
sebagai berikut:
galat relatif=
eksak-aproksimasi
eksak
(galat relatif)⇥(eksak)=eksak-aproksimasi
aproksimasi=eksak⇥(1+galat relatif).
Tim Dosen: Julan HERNADI, Puguh, Burhan, Siti METODE NUMERIK

Contoh galat mutlak versus relatif
Si miskin membeli beras paket 10 kg, setelah ditimbang di rumah
ternyata hanya ada 9 kg. Si kaya membeli beras paket 100 kg,
diperoleh 95 kg. Pertanyaannya, beras siapa yang lebih banyak
hilang? Dari aspek kebermaknaannya, beras siapa yang hilangnya
lebih signifikan. Dalam hal ini kita mempunyai dua nilai eksak yaitu
p1=10 danp2=100 dan dua nilai aproksimasi yaitup
⇤
1
=9dan
p
⇤
2
=95. Akibatnya, diperoleh
Bagi si miskin:EM=|10#9|=1 kg dan
ER=
1
10
=0.1=10%.
Bagi si kaya:EM=|100#95|=5 kg dan
ER=
5
100
=0.05=5%.
Berdasarkan hasil ini maka disimpulkan beras si kaya lebih
banyak hilang yaitu 5 kg daripada beras si miskin yang hanya
hilang 1 kg. Tetapi beras si miskin yang hilang lebih signifikan
yaitu mencapai 10%daripada si kaya yang hanya 5%.
Tim Dosen: Julan HERNADI, Puguh, Burhan, Siti METODE NUMERIK

Contoh lanjutan (Opsional)
Misalkan nilai sangat kecil
x=e
"16
=0.1125351747⇥10
"6
diaproksimasi olehx
⇤
=0. Maka galat mutlak
EM=|x#x
⇤
|<0.12⇥10
"6
=1.2⇥10
"7
dan galat relatifnya
ER=
|x"x
⇤
|
|x|
=1=100%.Dalamkasusini,galatmutlaklebih
baik dari galat relatif. Perhatikan kasus kedua, yaitu
z=e
16
=0.8886110521⇥10
7
.
Misalz
⇤
=0.8886110517⇥10
7
sebagai aproksimasinya maka
diperolehEM=|z#z
⇤
|=4⇥10
"3
tidak cukup kecil padahal
kedua nilai ini sudah cocok sampai dengan 9 digit desimal. Untuk
galat relatifnya,ER=
|z"z
⇤
|
|z|
=
4⇥10
#3
0.8886110521⇥10
7=0.4501⇥10
"9
yang menunjukkan bahwa kedua bilangan sudah sama sampai 9
digit desimal. Dalam hal ini galat relatif lebih informatif.
Tim Dosen: Julan HERNADI, Puguh, Burhan, Siti METODE NUMERIK

Sensitivitas Komputasi (Opsional)
Permasalahan komputasi dikatakan sensitif atau berkondisi buruk
(ill-conditioned)jikaterjadiperubahankecilpadadatamasukan
menyebabkan perubahan sangat besar pada penyelesaiannya.
Sensitivitas diukur oleh bilangan kondisi. Sebagai contoh
menghitung nilai fungsifpadaxdanˆxyang dekat denganx:
cond=
|perubahan relatif pada penyelesaian|
|perubahan relatif pada data masukan|
=
!
!
!
f(ˆx)"f(x)
f(x)
!
!
!
!
!ˆx"x
x
!
!
Semakin besar nilai bilangan kondisi (cond) ini semakin buruk
kondisi permasalahan komputasi.
Tim Dosen: Julan HERNADI, Puguh, Burhan, Siti METODE NUMERIK

Contoh ill-conditioned (Opsional)
Misalkanh>0 sangat kecil, perhatikanxdanˆx:=x+h. Berdasarkan
kalkulus:
f(x+h)!f(x)
h
⇡f
0
(x),
Galat mutlakEM=|f(x+h)!f(x)|⇡|hf
0
(x)|.Misalkanakandihitungnilai
f(x)=cos(x)untukxdisekitar⇡/2. Perhatikanf
0
(x)=sin(x)dan sin(x)⇡1
padax⇡⇡/2, diperoleh galat cos(x+h)sebagai berikut.
EM=|cos(x+h)!cos(x)|⇡|hsin(x)|⇡|h|
ER⇡
hsin(x)
cos(x)
=htan(x).
Contoh:x=1.57079⇡⇡/2danh=!0.00001 sehinggax+h=1.57078.
Dalam hal ini perubahan relatif data masukan hanya
0.00001
1.57079
⇡0.00064%.
Diperoleh
cos(x)=cos(1.57079)=0.63267949⇥10
#5
dan
cos(x+h)=cos(1.57078)=1.63267949⇥10
#5
sehingga perubahan relatif pada nilai fungsi sebesar
(1.63267949#0.63267949)⇥10
!5
0.63267949⇥10
!5 =1.58=158%. Diperoleh:
cond=
158
0.00064
⇡248148!perubahan relatif nilai fungsi 248148 kali lebih
besar dari perubahan relatif data masukan.
Tim Dosen: Julan HERNADI, Puguh, Burhan, Siti METODE NUMERIK

Tugas Pekanan ke-1
1Mengapa perlu adanya teori aproksimasi, khususnya metoda numerik?
Berikan ilustrasi atau contoh yang berbeda dari buku ini untuk
menjelaskan alasan Anda.
2Mengapa galat relatif umumnya lebih informatif daripada galat mutlak.
Dalam kasus apa galat relatif lebih baik daripada galat mutlak.
Sebaliknya, dalam kasus apa galat mutlak lebih baik daripada galat relatif.
3Jelaskan masalah kritis yang ada ada kasus bola di dalam kerucut.
Bagaimana solusi masalah kritis ini? (lihat buku hal 3).
4Salah satu strategi aproksimasi adalah mengganti fungsi rumit menjadi
fungsi sederhana sebagai aproksimasinya. Salah satu fungsi sederhana
yang banyak digunakan dalam metode aproksimasi adalah polinomial.
Jelaskan alasannya.
5Pada aproksimasi luas permukaan bumi diketahui jari-jari bumi
r⇡6375km.
1Berikan pendapat Anda bagaimana orang mengukur jari-jari bumi.
2Seandainya 2/3 dari permukaan bumi adalah lautan dan asumsikan
50% dari daratan bisa dihuni oleh manusia. Jika kepadatan ideal
adalah 10 orang per km2, berapa kira2 banyak manusia yang bisa
hidup di bumi Allah ini.
Tim Dosen: Julan HERNADI, Puguh, Burhan, Siti METODE NUMERIK