Lecture Notes
Analytic Geometry
(Geometri Analitik)
disusun oleh
Nanda Arista Rizki, M.Si.
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS MULAWARMAN
2018

Copyright©2018 Nanda Arista Rizki
http://math.fmipa.unmul.ac.id/index.php/nanda/
This work is licensed under a
\Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 Internatio-
nal "
December, 2018

Daftar Isi
Daftar Isi
Daftar Gambar
Daftar Tabel
1 Pendahuluan Geometri Analitik
2 Sistem Koordinat Kartesius
2.1 Garis
2.2 Bidang
2.3 Latihan
3 Lingkaran
3.1 Latihan
4 Parabola
4.1 Bentuk Parabola Tak Standar
4.2 Persamaan Garis Singgung Pada Parabola
4.3 Latihan
ii

DAFTAR ISI iii
5 Elips
5.1 De nisi Kedua Dari Elips
5.2 Bentuk Elips Tak Standar
5.3 Kedudukan Titik dan Garis Terhadap Elips
5.4 Latihan
6 Hiperbola
6.1 De nisi Kedua Dari Hiperbola
6.2 Persamaan Hiperbola Sekawan
6.3 Persamaan Tak Standar
6.4 Kedudukan Titik dan Garis Terhadap Hiperbola
6.5 Latihan
7 Persamaan Parametrik
7.1 Panjang Kurva Parametrik
7.2 Garis Singgung Persamaan Parametrik
7.3 Persamaan Parametrik Untuk Garis
7.4 Persamaan Parametrik Untuk Irisan Kerucut
7.5 Latihan

Daftar Gambar
1.1 Perbedaan antaracurved linedanstraight line. . . . . . . . . . . . .
1.2 Konsepspherical geometry. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Irisan kerucut
1.4 Pencarian referensi penelitian melaluiwebsite widgets. . . . . . . . .
1.5 Pencarian referensi penelitian melalui Google Scholar
2.1 Koordinat kartesius diR
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Contoh bidang datar
2.3 Ilustrasi jarak antara dua titik berbeda
2.4 Ilustrasi titik dalam segmen garis lurus
2.5 Garisx=6
2.6 Garisy=6
2.7 Ilustrasi titik potong antara segmen garis dan garisrays. . . . . . .
2.8 Ilustrasi jarak terpendek dari titik asal ke suatu garis
2.9 Sudut yang terbentuk oleh dua garis berbeda
2.10 Sketsa bidang 3x+ 4y+ 2z= 12
3.1 Ilustrasi bentuk diametrik
iv

DAFTAR GAMBAR v
3.2 Ilustrasi titik dalam lingkaran
3.3 Ilustrasi titik pada lingkaran
3.4 Ilustrasi titik di luar lingkaran
3.5 Ilustrasi titik di luar lingkaran
3.6 Ilustrasi garis kuasa dari dua lingkaran
3.7 Ilustrasi titik kuasa dari tiga lingkaran
3.8 Ilustrasi titik potong dari dua lingkaran
3.9 Ilustrasi dua lingkaran berpotongan tegak lurus
3.10 Ilustrasi lingkaran membagi dua sama besar
4.1Right-handedparabola
4.2 Bentuk parabola standar
4.3 Bentuk parabola tak standar
4.4 Parabola yang diketahui garis singgung dan sumbu simetrisnya
4.5 Parabola yang diketahui titik fokusnya
5.1 Elips standar jenis ke 1
5.2 Elips standar jenis ke 2 beserta titik fokus dan garis direktriknya
5.3 Elips tak standar jenis pertama
5.4 Ilustrasi elips tak standar jenis pertama
5.5 Elips tak standar jenis kedua
5.6 Ilustrasi elips tak standar jenis kedua
5.7 Ilustrasi elips tak standar jenis ketiga
5.8 Kurva 4(x3y+ 2)
2
+ 9(3x+y+ 1)
2
= 54 menggunakan Geogebra
6.1 Hiperbola standar jenis ke 1

DAFTAR GAMBAR vi
6.2 Ilustrasi de nisi kedua hiperbola standar
6.3 Ilustrasiraysyang terpotong
6.4 Ilustrasi hiperbola sekawan
6.5 Ilustrasi hiperbola tak standar
7.1 Menggambar kurva parametrik menggunakan Geogebra
7.2 Kurva asteroid dengana= 5
7.3 Kurvalove. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Kurva parametrik 3 dimensi
7.5 Ilustrasi partisi kurva parametrik
7.6 Ilustrasi garis singgung horisontal dan vertikal dari persamaan para-
metrik
7.7 Kurva parametrik garisy=
1
2
x+ 3 dengan domaintyang berbeda
7.8 Kurva parametrik dari persamaan lingkaranx
2
+y
2
2x4y4 = 0

Daftar Tabel
4.1 Sifat-sifat Parabola Standar
4.2 Persamaan Garis Singgung Pada Parabola Standar
4.3 Persamaan Garis Singgung Pada Parabola Tak Standar
6.1 Konsep Rotasi dengan Sudut= 45

. . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1 Perhitungan Titik-titik Berdasarkan Parametert. . . . . . . . . . . .
vii

BAB 1
Pendahuluan Geometri Analitik
Sebelum masuk ke dalam materi, alangkah baiknya mengetahui perbedaan antara
kalkulus dan geometri. Walaupun kalkulus dan geometri merupakan cabang ilmu
matematika, namun secara istilah, kalkulus yang disebut sebagai ilmu hitung, se-
dangkan geometri adalah ilmu ukur. Kalkulus secara umum membahas tentang
change(perubahan), yang meliputi limit, kontinuitas, fungsi, diferensial, integrasi,
dan lain lain. Sementara yang dibahas geometri adalah bentuk, ukuran, sifat ruang
dan posisi relatif dari suatu rupa. Oleh karena itu, geometri melibatkan koordinat
suatu rupa tersebut dalam bentuk dimensi.
Geometri merupakan ilmu pengetahuan yang sudah lama. Kata geometri ber-
asal dari bahasa Yunani. Geo artinya bumi dan metri artinya ukuran. Sehingga
geometri dide nisikan sebagai cabang ilmu matematika yang dikembangkan untuk
memudahkan studi dan pengukuran berbagai bentuk rupa. Dalam geometri, dikenal
beberapa postulat geometri euclid berikut:
1.
Titik merupakan objek yang secara hipotesis tidak berdimensi. Artinya jika
sebuah titik dibuat di atas kertas, maka objek tersebut bukanlah titik namun
kombinasi dari tak hingga titik.
2.
Garis adalah suatu wadah untuk titik yang terde nisi sebagai kurva satu di-
mensi. Garis hanya memiliki panjang, tidak memiliki luas, dan tidak memiliki
1

ketebalan. Garis dapat digolongkan dalam dua jenis yaitucurved line(garis
lengkung) danstraight line(garis lurus). Perhatikan Gambar
(a)Curved line(b)Straight line
Gambar 1.1: Perbedaan antaracurved linedanstraight line
3.
Antara dua titik yang berbeda pada garis lurus, maka selalu ada titik lain
dimana pun mereka berada. Ujung-ujung suatu garis berupa titik.
4. rays".
Jika sebuah garis terpotong oleh dua titik (misalAdanB), maka disebut
segmen garis. Artinya sebuah segmen garis memiliki titik awal (A) dan titik
akhir (B). Segmen garis memiliki panjang tetap terbatas. Namun jika titik
akhirBjatuh di tak hingga, maka diperoleh segmen garis dengan panjang
semi-tak hingga yang disebut "rays".
5.
Permukaan dibentuk dari dua dimensi, yang disebut suatu wadah garis. Per-
mukaan memiliki panjang dan luas, namun tidak memiliki ketebalan. Permu-
kaan dikatakan permukaan bidang jika dipilih dua titik sebarang (katakanlah
AdanB) pada suatu permukaan lalu kedua titik tersebut dihubungkan oleh
segmen garis lurus (AB), maka setiap titik pada segmen garis tersebut ter-
kandung dalam permukaan. Permukaan bidang dianggap sebagai permukaan
bidang euclid, sebaliknya disebut permukaan lengkung.
6.Solid.
Suatu konstruksi geometri yang memiliki tiga dimensi, yang diperoleh dengan
melakukan translasi atau rotasi dari permukaan disebutsolid.
Sebagian besar dari postulat Euclid adalah pernyataan sederhana tentang fakta-
fakta intuitif jelas dan tak terbantahkan tentang bidang atau ruang. Postulat-
postulat Euclid tersebut tentu tidak berlaku pada geometri non-euclid. Contoh
geometri non-euclid dapat dilihat pada Gambar.
Geometri Analitik 2 Nanda Arista Rizki, M.Si.

(a)Triangles spherical geometry(b)Stereographic projection
Gambar 1.2: Konsepspherical geometry
Geometri analitik adalah suatu cabang ilmu matematika yang merupakan kom-
binasi antara aljabar dan geometri. Dengan menghubungkan persamaan matematika
secara aljabar dengan tempat kedudukan secara geometri diperoleh suatu metode pe-
mecahan masalah geometri yang lebih sistematik dan lebih tegas. Masalah-masalah
geometri akan diselesaikan secara aljabar (atau secara analitik). Sebaliknya gam-
bar geometri sering memberikan pemahaman yang lebih jelas pada pengertian hasil
secara aljabar. Dalam materi geometri analitik ini juga akan membahas tentang
irisan kerucut dengan suatu bidang datar. Perhatikan Gambar, bahwa suatu
irisan kerucut dapat membentuk lingkaran, elips, parabola, dan hiperbola.
(a) Animasi pembentukan irisan kerucut
(b) Hasil irisan kerucut
Gambar 1.3: Irisan kerucut
Penguasaan materi geometri analitik melibatkanopen source softwarebernama
GeoGebra yang dapat membantu dalam proses visualisasi, yang tersedia baik secara
onlinemaupun yang dapat diunduh secara gratis di. Untuk mem-
Geometri Analitik 3 Nanda Arista Rizki, M.Si.

bantu pemahaman, maka dalam proses pembelajaran dapat menggunakan media
yang disediakan oleh
geometry-topic.
Penelitian-penelitian mengenai geometri analitik yang terbaru atau masih ha-
ngat saat ini, dapat dipantau langsung melaluiwebsite widgets(lihat Gambar)
atau Google Scholar (lihat Gambar).
Gambar 1.4: Pencarian referensi penelitian melaluiwebsite widgetsGambar 1.5: Pencarian referensi penelitian melalui Google Scholar
Geometri Analitik 4 Nanda Arista Rizki, M.Si.

BAB 2
Sistem Koordinat Kartesius
Sistem koordinat menjadi landasan bagi geometri analitik. Koordinat kartesius di-
kenalkan oleh seorang matematikawan Perancis bernama Rene Descartes. Idenya
adalah cara menunjukkan kedudukan atau posisi sebuah titik pada bidang dengan
dua bilangan yaitu absis dan ordinat yang ditulis (x; y). Perhatikan Gambar
bahwa semua himpunanR
2
=f(x1; x2)jx1; x22Rgdapat digambarkan dalam koor-
dinat kartesius. Bidang ini dibagi menjadi empat kuadran sebagai pedoman dalam
meletakkan posisi suatu titik.
Sistem koordinat kartesiusR
2
inilah yang selanjutnya diperluas menjadi di-
mensi ruangR
3
. Bentuk-bentuk geometri yang dapat digambar dalam sistem koor-
dinat kartesiusR
3
antara lain adalah balok, tabung, bola, dan kerucut.
Gambar 2.1: Koordinat kartesius diR
2
5

2.1 Garis
Setiap titik dalam koordinat kartesius dapat dihubungkan oleh segmen garis lurus.
Misal titikA(3;5), titikB(2;5), titikC(2;1), dan titikD(3;1) dihubungkan
dengan cara menarik garis dari titikAkeB, lalu keC, kemudian keDdan kembali
lagi keA. Maka diperolehlah sebuah bangun datar seperti pada Gambar, yang
dapat diketahui sifat-sifat geometrinya (seperti keliling dan luas).
Gambar 2.2: Contoh bidang datar
Jarak antara titik dalam sistem koordinat dapat ditentukan dengan mudah
melalui Teorema Pythagoras. Misal titikA(a1; a2) danB(b1; b2) ingin dicari panjang
segmen garis lurus yang menghubungkan kedua titik tersebut, maka
AB
2
=jABj
2
= (a1b1)
2
+ (a2b2)
2
: (2.1)
Karena jarak selalu bernilai positif, maka
AB=jABj=
p
(a1b1)
2
+ (a2b2)
2
: (2.2)
Dalam hal ini,ABmenyatakan panjang segmen garisAByang terbentuk, sedangkan
jABjmenyatakan jarak antar dua titik tersebut. Perhatikan bahwa jarak antara titik
A(1;2) danB(2;3) seperti pada Gambar, dapat dengan mudah dihitung
menggunakan konsep Teorema Pythagoras.
Misal diketahui dua titik berbeda, yaituA(a1; a2) danB(b1; b2). Segmen garis
lurus dibentuk dengan cara menghubungkan titikAdan titikB. Lalu titikC(c1; c2)
ditaruh dalam segmen garis tersebut, dengan perbandinganjACj:jCBj=p:q.
Geometri Analitik 6 Nanda Arista Rizki, M.Si.

Gambar 2.3: Ilustrasi jarak antara dua titik berbeda
Kedudukan titikCdalam segmen garis tersebut adalah
C(c1; c2) =

pb1+qa1
p+q
;
pb2+qa2
p+q

: (2.3)
Sebagai contoh misal diketahui titikA(1;3) dan titikB(4;7), lalu diletakkan titik
C(c1; c2) pada segmen garis lurusABdengan perbandinganjACj:jCBj= 3 : 2
seperti pada Gambar. Dengan menggunakan Persamaan, diperoleh
C(c1; c2) =

34 + 2(1)
3 + 2
;
3(7) + 23
3 + 2

= (2;3):
Secara khusus, posisi titik tengah dari segmen garisAByaitu ketika nilaip=q= 1.
Gambar 2.4: Ilustrasi titik dalam segmen garis lurus
Misalkan garisraysg1melalui dua buah titik berbeda yaituK(6;3) dan
L(6;2) sedemikian sehingga sejajar dengan sumbuY, seperti yang dapat dilihat
pada Gambar. Perhatikan bahwa garis g1juga melalui titik (6;0). Jika dibe-
Geometri Analitik 7 Nanda Arista Rizki, M.Si.

rikan titik-titik lain yang juga terletak pada garis ini, maka absisnya selalu bernilai
6. Oleh karena itu, garisg1adalah himpunan semua titik yang berabsis6, dan
ditulis dengan cara
g1 f(x; y)2R
2
jx=6g
atau secara sistematis dinyatakan dalam bentuk persamaanx=6. Dengan pen-
jelasan yang sama, maka dapat dipahami bahwa sumbuYadalam persamaan garis
yang berbentukx= 0.
Gambar 2.5: Garisx=6
Selanjutnya misalkan garisg2melalui titikM(4;6) danL(3;6) sedemi-
kian sehingga sejajar dengan sumbuX, seperti yang dapat dilihat pada Gambar
2.6. Perhatikan bahwa semua titik-titik yang terletak pada garisg2memiliki nilai
ordinat6, sehingga garisg2dapat ditulis menjadi
g2 f(x; y)2R
2
jy=6g
atau secara sistematis dinyatakan dalam bentuk persamaany=6. Dengan pe-
ngertian tersebut, dapat dipahami bahwa persamaan untuk sumbuXadalahy= 0.
Secara umum, persamaan garis lurus yang melalui titikA(x1; y1) danB(x2; y2)
dapat diperoleh dengan cara
yy1
y2y1
=
xx1
x2x2
: (2.4)
Geometri Analitik 8 Nanda Arista Rizki, M.Si.

Gambar 2.6: Garisy=6
Suatu persamaan garis biasanya ditulis dalam salah satu dari dua bentuk berikut:
1.y=mx+c, dengan kemiringan garismdan suatu konstantac.
2.ax+by+c= 0, dengana,b,cadalah konstanta real, sedangkan nilaiadan
nilaibtidak bersama-sama nol.
Jika suatu segmen garisABmenghubungkan titik ujungA(x1; y1) dan titikB(x2; y2),
dipotong oleh garis lurusLax+by+c= 0 dengan rasio perbandingan: 1 seperti
pada Gambar, maka
=
ax1+by1+c
ax2+by2+c
=
L1
L2
: (2.5)
Gambar 2.7: Ilustrasi titik potong antara segmen garis dan garisrays
Suatu garis dapat ditentukan jarak terdekatnya dari titik asalO(0;0). Misal-
kan titikQ(x; y) merupakan titik dalam garislyang letaknya terdekat dari titik
asal, lalu dibentuk segmen garis lurus (dengan menghubungkan titik asal dan titik
Geometri Analitik 9 Nanda Arista Rizki, M.Si.

Q). Segmen garis yang tebentuk merupakan garis normal dari titik asal ke garisl
tersebut (perhatikan Gambar).
Gambar 2.8: Ilustrasi jarak terpendek dari titik asal ke suatu garis
Untuk menurunkan persamaan garis dalam bentukpdan diambil sembarang
titikP(x; y) pada garisl. Ditarik garis dariPyang tegak lurus dengan sumbux,
sehingga memotong sumbuxdi titikM. DariMdigambar garis yang tegak lurus
dengan garis normalONdan berpotongan di titikR. Proyeksi tegak lurus dariOM
padaONadalah
OR=OMcos =xcos : (2.6)
Dengan cara yang sama, proyeksi tegak lurus dariMPpadaONadalah
RQ=MPcos


2


=ysin ; (2.7)
namun
OR+RQ=OQ=p: (2.8)
Oleh karena itu, dengan menghubungkan Persamaan, Persamaan, dan Per-
samaan, diperoleh
xcos +ysin p= 0; (2.9)
yang merupakan bentuk normal dari persamaan garis lurusl. Segmen garisOQ
Geometri Analitik 10 Nanda Arista Rizki, M.Si.

memiliki panjangpdan sudut normal .
Reduksi suatu persamaan garis lurus ke bentuk normalnya menjadi sangat
penting jika ingin mengetahui jarak terpendeknya dari titik asal dan besar sudutnya.
Misalkan bentuk persamaan garis tersebut adalah
lax+by+c= 0:
Jika masing-masing ruas dikalikan dengan suatu konstantak2R, maka diperoleh
kax+kby+kc= 0
ka= cos
kb= sin
kc=p:
Jikakadankbmasing-masing dikuadratkan lalu dijumlahkan, maka diperoleh
k
2
a
2
+k
2
b
2
= cos
2
+ sin
2
= 1:
Sehingga
k
2
=
1
a
2
+b
2
k=
1
p
a
2
+b
2
:
Maka
cos =
a
p
a
2
+b
2
sin =
b
p
a
2
+b
2
p=
c
p
a
2
+b
2
:
Oleh karena itu, bentuk normal persamaan garisltersebut adalah

ax+by+c
p
a
2
+b
2
= 0:
Geometri Analitik 11 Nanda Arista Rizki, M.Si.

Misal diberikan dua buah garis lurus, yaituy=m1x+c1dany=m2x+c2,
seperti yang tampak pada Gambar. Kedua garis tersebut memotong sumbu x
dan membentuk sudut dan sudut dengan sumbux. Perhatikan bahwa tan =
m1, dan tan =m2. Misalkan sudut dua buah garis ini adalahdan.
Berdasarkan Gambar = +
dan . Sudutdapat dipeoleh dengan cara menghitung
tan=tan( ) =
tan tan
1 + tan tan
=
m1m2
1 +m1m2
:
Jika
m1m2
1+m1m2
>0, maka sudut 0<  <

2
atau sudutlancip. Sedangkan jika
m1m2
1+m1m2
<0, maka sudut

2
<  < atau suduttumpul.
Gambar 2.9: Sudut yang terbentuk oleh dua garis berbeda
Hubungan antara dua garis lurus adalah salah satu dari kondisi berikut
ˆsejajar
ˆberimpit
ˆtegak lurus
Misal diberikan dua garisa1x+b1y+c1= 0 dan garisa2x+b2y+c2= 0. Jika
Geometri Analitik 12 Nanda Arista Rizki, M.Si.

a1
a2
=
b1
b2
6=
c1
c2
, maka dua garis tersebut adalah sejajar, karena
a1
a2
=
b1
b2
)
a1
b1
=
a2
b2
)
a1
b1
=
a2
b2
)m1=m2
)tan=
m1m2
1 +m1m2
= 0)= 0:
Dengan kata lain, jika dua buah garis sejajar, maka gradiennya sama (m1=m2).
Selanjutnya akan dibuktikan arah sebaliknya, dengan memisalkan
a1
a2
=
b1
b2
=6=
c1
c2
,
dan titik (x0; y0) terletak pada garisa1x+b1y+c1= 0, makaa1x0+b1y0=c.
Sehingga
a2x0+b2y0=
a1

x0+
b1y0

=
1

(a1x0+b1y0) =
c1

6=c2;
dana2x0+b2y06=c2, yang berarti (x0; y0) tidak terletak pada garisa2x+b2y+c2=
0. Karena tidak adaa1x+b1y+c1= 0 dana2x+b2y+c2= 0 saling sejajar.
Kondisi selanjutnya adalah untuk garis yang berimpit. Misal diberikan dua
garisa1x+b1y+c1= 0 dan garisa2x+b2y+c2= 0. Jika
a1
a2
=
b1
b2
=
c1
c2
, maka dua
garis tersebut berimpit. Misalkan=
c1
c2
, makaa1=a2,b1=b2, danc1=c2.
Jika titik (x0; y0) terletak pada garisa1x+b1y+c1= 0, maka
a1x0+b1y0+c1= 0)a2x0+b2y0+c2= 0
)(a2x0+b2y0+c2) = 0
)a2x0+b2y0+c2= 0:
yang berarti titik (x0; y0) terletak pada garisa2x+b2y+c2= 0. Dalam hal ini,
semua titik yang terletak pada garisa1x+b1y+c1= 0 juga terletak pada garis
a2x+b2y+c2= 0. Oleh karena itu, dalam kondisi ini, kedua garis tersebut dikatakan
berimpit.
Selanjutnya adalah kondisi tegak lurus dari dua buah garis. Misal diketahui
dua buah garis lurus, yaitu garisa1x+b1y+c1= 0 dan garisa2x+b2y+c2= 0 akan
saling tegak lurus jikaa1a2+b1b2= 0 atau
a1
a2
=
b2
b1
. Hubungan antar gradiennya
Geometri Analitik 13 Nanda Arista Rizki, M.Si.

adalahm1= 1=m2ataum2=1=m1ataum1m2=1. Hal ini dapat dibuktikan
dengan memisalkanadalah sudut antara dua buah garis lurus danm1; m2adalah
gradien-gradiennya, maka tan=
m1m2
1+m1m2
. Diketahui dua buah garis yang saling
tegak lurus memiliki sudut=

2
, maka lim
x!(

2)

tan(x) =1. Sehingga
m1m2
1 +m1m2
=1 )1 +m1m2= 0
)m1m2=1
)m1=1=m2
)
a1
b1
=
b2
a2
)a1a2+b1b2= 0:
Suatu titik dapat ditentukan jaraknya ke sebuah garis lurus. Sebelumnya,
perhatikan bahwa garisax+by+c1= 0 danax+by+c2= 0 memiliki kemiringan
atau gradien yang sama, yaitum=
a
b
ketikab6= 0. Jikab= 0, maka kedua garis
yang terbentuk tersebut adalah garis vertikal. Dalam hal ini, kedua garis tersebut
sejajar. Sebaliknya jika hasil kali dari gradien garis pertama dan gradien garis ke
dua adalahm1m2=1, maka kedua garis tersebut tegak lurus.
Selanjutnya, misal diberikan sebuah garisl1ax+by+c= 0 dan sebuah
titik (x1; y1), maka persamaan garis yang melalui titik (x1; y1) dan sejajar dengan
garisl1adalah
ax+by(ax1+by1) = 0:
Perhatikan bahwa garisax+by+c1= 0 danbxay+c2= 0 adalah saling tegak
lurus. Lebih lanjut, persamaan garis lurus yang melalui (x1; y1) dan tegak lurus
denganax+by+c= 0 adalah
bxay+ (bx1ay1) = 0:
Misal garis yang tegak lurus denganl1dan melalui titikP(x1; y1) adalah garisl2
bxay+ (bx1ay1) = 0. Jika garisl1dan garisl2berpotongan di titikQ, maka
Geometri Analitik 14 Nanda Arista Rizki, M.Si.

koordinat titikQadalah
Q


acb
2
x1+aby1
a
2
+b
2
;
bc+abx1a
2
y1
a
2
+b
2

:
Perhatikan bahwa panjang segmen garisPQadalah jarak titikPke garisl1. Lalu
dengan menggunakan Persamaan Pke garisl1,
diperoleh
PQ=
s

x1+
acb
2
x1+aby1
a
2
+b
2

2
+

y1+
bc+abx1a
2
y1
a
2
+b
2

2
=
s

a
2
x1+ac+ +aby1
a
2
+b
2

2
+

b
2
y1+bc+abx1
a
2
+b
2

2
=
s

a(ax1+by1+c)
a
2
+b
2

2
+

b(ax1+by1+c)
a
2
+b
2

2
=
s
(a
2
+b
2
)

ax1+by1+c
a
2
+b
2

2
=
r
(ax1+by1+c)
2
a
2
+b
2
=
jax1+by1+cj
p
a
2
+b
2
: (2.10)
2.2 Bidang
Suatu bidang diR
3
dinyatakan dalam bentuk
Ax+By+Cz=D;
denganA
2
+B
2
+C
2
6= 0. Bidang ini dapat disketsakan dengan menentukan titik
potong bidang dengan sumbux, sumbuy, dan sumbuz. Sebagai contoh, bidang
3x+ 4y+ 2z= 12 seperti pada Gambar ;0;0), (0;3;0), dan
(0;0;6).
Geometri Analitik 15 Nanda Arista Rizki, M.Si.

Gambar 2.10: Sketsa bidang 3x+ 4y+ 2z= 12
2.3 Latihan
1. X(13;9) danY(20;16)!
2. A(1;3),B(3;2), danC(4;1). Tentukan pan-
jang masing-masing segmen garis lurusAB,BC, danAC!
3. E(6;3)F(1;3),G(1;2), danH(h1; h2) membentuk sebuah ba-
ngun datar dengan kelilingnya adalah 24 satuan. Tentukan koordinat titik
H!
4. Q, yang terletak padaABdenganA(5;1) dan
B(3;5), sedemikian sehinggaAP:PB= 3 : 5.
5. E(4;7) danG(8;1). TitikFterletak pada segmen garis
EGsedemikian hinggajEFj:jFGj= 1 : 3. Tentukanlah absis dan ordinat
dari titikF!
6. A(2;1) terletak pada segmen garisMNsedemikian sehinggaMA:
AN= 2 : 1 dan diketahui titikM(8;1), maka tentukanlah titikN!
7. A(0;1),B(2;5), danC(1;4). Buktikan bahwa
segitiga tersebut merupakan segitiga sama kaki!
8. P(5;6) danQ(10;1),
maka buktikan bahwa titikR(4;2) terletak pada segmen garis tersebut!
Geometri Analitik 16 Nanda Arista Rizki, M.Si.

9. ABdengan menghubungkan titik ujungA(1;2) dan
titik ujungB(3;4). Jika titikPdanQberada dalam segmen garis tersebut,
dimana titikPmembagiABdalam rasio 1 : 2 dan titikQmembagiABdalam
rasio 2 : 1. Maka tentukanlah koordinat titikPdan titikQ!
10.
11.
12. x+ 2y= 3 dengan sumbux!
13. x+ 2y= 3 dengan sumbuy!
14. jika garisx+ 2y= 3 memotong segmen garis yang menghu-
bungkan titikA(1;0) dan titikB(3;4)!
15. x+ 2y= 3 dengan garisxy=1!
16. x4y15 = 0 ke dalam bentuk persamaan normal, lalu
sketsalah gra knya!
17. y=
3
4
xke dalam bentuk persamaan normal, lalu sketsalah
gra knya!
18.
asal adalahpdengan sudut sebagai berikut.
a) = 45

,p= 4.
b) =

2
,p= 3.
c) = 180

,p= 4.
d) =
3
2
,p= 4.
19. ;4) ke garis 3x5y+ 2 = 0!
20. ;7) terhadap garis yang melalui titik (4;6) dan (8;3)!
21. x+ 3y= 6 dalamR
3
!
Geometri Analitik 17 Nanda Arista Rizki, M.Si.

BAB 3
Lingkaran
Persamaan lingkaran yang memiliki titik pusat ( ; ) dan radiusradalah
(x )
2
+ (y )
2
=r
2
x
2
+y
2
2 x2 y+
2
+
2
r
2
= 0:
Jika lingkaran tersebut memiliki titik pusat (0;0) maka persamaan lingkarannya
adalahx
2
+y
2
=r
2
. Persamaan lingkaran juga dapat memiliki bentuk
x
2
+y
2
+ 2ax+ 2by+c= 0;
yang memiliki titik pusat (a;b) dan radiusr=
p
a
2
+b
2
c. Ketika nilair= 0,
maka lingkarannya hanya berupa titik.
Misalkan lingkaran dengan radiusr= 3 dan titik pusatnya terletak pada garis
y=x1. Jika lingkaran tersebut melalui titik (7;3), maka ada dua persamaan
lingkaran yang terbentuk. Hal ini dapat buktikan dengan memisalkan titik pusatnya
adalah (a; b). Karena titik (a; b) terletak pada garisy=x1, makab=a1.
18

Karena lingkaran melalui titik (7;3), maka
r=
p
(a7)
2
+ (b3)
2
)3 =
p
(a7)
2
+ (a13)
2
)9 = (a7)
2
+ (a4)
2
)(a7)(a4) = 0:
Untuka= 7 diperolehb= 6, dan untuka= 4 diperolehb= 3. Oleh karena itu,
persamaan lingkarannya adalah
(x7)
2
+ (y6)
2
= 9x
2
+y
2
14x12y+ 76 = 0;atau
(x4)
2
+ (y3)
2
= 9x
2
+y
2
8x6y+ 16 = 0:
Bentuk diametrik
MisalkanA(x1; y1) danB(x2; y2) adalah titik-titik ujung dari diameter suatu ling-
karan, dan titikP(x; y) terletak di sebarang lingkaran seperti pada Gambar.
Dalam hal ini, gradien dari segmen garisAPdanBPmasing-masing adalah
yy1
xx1
dan
yy2
xx2
. Karena sudut\APB= 90

, maka
yy1
xx1

yy2
xx2
=1
(xx1)(xx2) + (yy1)(yy2) = 0:
Sebagai contoh, akan dicari persamaan lingkaran yang memiliki diameter dengan
titik ujungnya adalahA(6;5) danB(0;3). Lalu misalkanCadalah titik pusat
dari lingkaran tersebut, makaC(3;1) adalah titik tengah dari segmen garisAB.
Kemudian radiusr=jACjdapat diperoleh dengan cara menghitung jarak antara
titikAdan titikC, sehinggajACj= 5. Oleh karena itu, persamaan lingkarannya
adalah
(x3)
2
+ (y1)
2
= 5
x
2
+y
2
6x2y15 = 0
(x6)(x0) + (y5)(y+ 3) = 0:
Geometri Analitik 19 Nanda Arista Rizki, M.Si.

Gambar 3.1: Ilustrasi bentuk diametrik
Tiga titik yang tak segaris
Misalkan suatu lingkaran memiliki persamaanx
2
+y
2
+2ax+by+c= 0. Persamaan
tersebut memiliki tiga parameter yang salig bebas yaitua,b, danc. Sehingga
persamaan lingkaran yang melalui tiga titik tak segarisA(x1; y1),B(x2; y2), dan
C(x3; y3) dapat diperoleh dengan cara berikut. Jika tiga titikA(x1; y1),B(x2; y2),
danC(x3; y3) terletak pada lingkaran, maka memenuhi
x
2
1+y
2
1+ 2ax1+by1+c= 0
x
2
2+y
2
2+ 2ax2+by2+c= 0
x
2
3+y
2
3+ 2ax3+by3+c= 0:
Oleh karena itu, persamaan lingkarannya dapat diselesaikan dengan cara menentu-
kan










x
2
+y
2
x y1
x
2
1+y
2
1x1y11
x
2
2+y
2
2x2y21
x
2
3+y
2
3x3y31










= 0:
Posisi titik terhadap lingkaran
Posisi titik terhadap lingkaran dapat ditentukan berdasarkan perbandingan radius
dan jarak titik tersebut terhadap titik pusat. Ada tiga kasus dalam posisi titik ini,
yaitu titik terletak dalam lingkaran, titik terletak pada lingkaran, dan titik terletak
di luar lingkaran. Berdasarkan posisi ini, maka dapat ditentukan jarak minimum
dan maksimum suatu titik tersebut dari lingkaran.
Geometri Analitik 20 Nanda Arista Rizki, M.Si.

Kondisi pertama yaitu suatu titik terletak dalam lingkaran. Kondisi ini dipe-
nuhi jika jarak suatu titik dengan titik pusat kurang dari radius lingkaran. Misalkan
suatu titikPterletak dalam lingkaran yang berpusat di titikCdan memiliki radius
r, seperti pada Gambar. Jika panjang ABadalah diameter dari lingkaran, maka
jarak minimum titikPdari lingkaran adalah
jPAj=jCAj jCPj=r jCPj;
sedangkan jarak maksimumnya dari lingkaran adalah
jPBj=jCBj+jCPj=r+jCPj:
Gambar 3.2: Ilustrasi titik dalam lingkaran
Jika jarak suatu titikPdengan titik pusat sama radius lingkaran, maka titik
tersebut terletak pada lingkaran. TitikPberada pada lingkaran yang beradiusr
seperti pada Gambar, maka jarak minimum dan maksimumnya masing-masing
adalah 0 danPA= 2r.
Gambar 3.3: Ilustrasi titik pada lingkaran
Geometri Analitik 21 Nanda Arista Rizki, M.Si.

Jika jarak suatu titikPdengan titik pusat lebih dari radius lingkaran, maka
titik tersebut terletak di luar lingkaran. Perhatikan Gambar. Jarak minimum
titikPdari lingkaran adalah
jPAj=jCPj jCAj=jCPj r;
sedangkan jarak maksimum titikPdari lingkaran adalah
jPBj=jCPj+jCBj=r+jCPj:
Gambar 3.4: Ilustrasi titik di luar lingkaran
Posisi garis terhadap lingkaran
Posisi garisLymxc= 0 terhadap lingkaran dapat dibedakan menjadi
tiga, yaitu memotong lingkaran, menyinggung lingkaran, tidak memotong lingkaran,
atau bahkan melalui titik pusat. Misalkan lingkaran tersebut berpusat di ( ; ) dan
memiliki radius. Jika suatu garis memotong lingkaran di dua titik yaituAdanB,
maka
j m cj
p
1 +m
2
< r:
Dengan menggunakan bentuk normal dari garis, maka titik tengah segmen garisAB
dapat ditentukan dengan menyelesaikan solusi dari
x
m
=
y
1
=
(m +c )
1 +m
2
:
Geometri Analitik 22 Nanda Arista Rizki, M.Si.

Kasus kedua adalah ketika garisLymxc= 0 menyinggung lingkaran.
Hal ini terjadi jika
j m cj
p
1 +m
2
=r:
Titik temu antara garis dan lingkaran dapat ditentukan dengan menyelesaikan solusi
dari
x
m
=
y
1
=
(m +c )
1 +m
2
:
Kasus selanjutnya adalah suatu garisLymxc= 0 tidak menyentuh lingkaran,
yaitu ketika
j m cj
p
1 +m
2
> r:
Kasus terakhir adalah suatu garisLymxc= 0 melalui titik pusat, yang
hanya terjadi jika
j m cj
p
1 +m
2
= 0:
Kondisi garis singgung
Suatu garisy=mx+cmenyinggung lingkaranx
2
+y
2
=r
2
jika dan hanya jikac
2
=
r
2
(1 +m
2
). Titik yang dilalui oleh garis dan lingkaran tersebut adalah


mr
2
c
;
r
2
c

.
Selanjutnya dimisalkan, garis yang akan menyinggung lingkaranx
2
+y
2
=r
2
adalah
garisax+by+c= 0. Maka garisax+by+c= 0 menyinggung lingkaranx
2
+y
2
=r
2
jika dan hanya jikac
2
=r
2
(a
2
+b
2
). Dalam hal ini, titik temu antara garis dan
lingkaran tersebut adalah


ar
2
c
;
br
2
c

. Dalam kasus lingkaran yang tidak berpusat
di titik (0;0), dapat melakukan pergeseran dengan vektor yang bersesuaian dengan
arah dari titik (0;0) ke titik pusat.
Selanjutnya adalah persamaan garis singgung pada lingkaran yang melalui satu
titik. Jika persamaan lingkarannya adalahx
2
+y
2
=r
2
dan melalui titik (x1; y1),
maka garis singgungnya adalah garis
x1x+y1y=r
2
:
Geometri Analitik 23 Nanda Arista Rizki, M.Si.

Jika persamaan lingkarannya adalahx
2
+y
2
+ax+by+c= 0 dan melalui titik
(x1; y1), maka garis singgungnya adalah garis
x1x+y1y+
1
2
a(x1+x) +
1
2
b(y1+y) +c= 0
.
Selanjutnya adalah persamaan garis singgung pada lingkaran yang memiliki
gradien tertentu. Jika persamaan lingkarannya adalahx
2
+y
2
=r
2
, maka garis
singgungnya yang bergradienmadalah
y=mxr
p
m
2
+ 1:
Lalu jika persamaan lingkarannya adalahx
2
+y
2
+ax+by+c= 0, maka garis
singgungnya yang bergradienmadalah
(yk) =m(xh)r
p
m
2
+ 1;
denganh=
1
2
a,k=
1
2
b, danr=
q


1
2
a

2
+


1
2
b

2
c.
Kuasa lingkaran
Kuasa lingkaran dibagi menjadi tiga yaitu kuasa titik terhadap lingkaran, garis
kuasa, dan titik kuasa. Kuasa titik merupakan kedudukan suatu titik terhadap
lingkaran. Garis kuasa menyatakan kedudukan antara dua lingkaran. Titik kuasa
merupakan suatu titik yang menyatakan kedudukan antar lingkaran (lebih dari dua
lingkaran).
Misal diberikan suatu lingkaranLyang berpusat di titikM. Lalu diletakkan
titikPyang terletak di luar lingkaranL. Dari titikPdibentuk segmen garis yang
memotong lingkaran di titikA1danB1seperti pada Gambar. Suatu kuasa
titikPterhadap lingkaranLdide nisikan sebagai perkalian panjangPA1danPB1,
ditulis
K(P) =jPA1j  jPB1j:
MisalCadalah titik singgung garis yang melaluiP. Perhatikan segitiga4PB1C
Geometri Analitik 24 Nanda Arista Rizki, M.Si.

dan segitiga4PCA1, bahwa
\B1PC=\CPA1
dan
\PA1C=\PCB1=
1
2
\AMC:
Karena segitigaMPA1CdanMPCB1mempunyai dua pasang sudut yang beru-
kuran sama, maka kedua segitiga tersebut adalah sebangun. Akibatnya terdapat
hubungan perbandingan
jPA1j
jPCj
=
jPCj
jPB1j
atau
jPA1j  jPB1j=PC
2
:
Sehingga diperoleh
K(P) =PC
2
:
Perhatikan bahwajPCjmerupakan panjang garis singgung dari titikPke titik
singgung di lingkaran. Dengan kata lain, kuasa titikPterhadap lingkaranLadalah
kuadrat panjang garis singgung lingkaran dari titikPke titik singgungnya.
Gambar 3.5: Ilustrasi titik di luar lingkaran
Geometri Analitik 25 Nanda Arista Rizki, M.Si.

Misal melalui titikPditarik lagi garis-garis yang memotong lingkaran selain
di titikA1danB1. Misal titik-titik potongnya adalah titik-titikAidanBi, untuk
i= 2;3;4. Maka berlaku
K(P) =PC
2
=jPA1j  jPB1j=jPA2j  jPB2j=jPA3j  jPB3j=jPA4j  jPB4j:
Misal lingkaranLberjari-jarir. Jika segmen garis yang melalui titikPdan titik
pusatM, juga melalui dua titikAkdanBk, dengank2 f1;2; : : : ; ng, maka
K(P) =jPAkj  jPBkj= (jPMj r)(jPMj+r) =jPMj
2
r
2
:
Dalam hal ini, nilaijPMj
2
r
2
juga dide nisikan sebagai kuasa titikPterhadap
lingkaranL.
Selanjutnya, dimisalkan titikPberada pada posisi (x1; y1). Jika persamaan
lingkaranLadalahLx
2
+y
2
+ax+by+c= 0 dengan pusatM


1
2
a;
1
2
b

dan
kuadrat jai-jarinya adalahr
2
=
1
4
a
2
+
1
4
b
2
c, maka kuasa titikP(x1; y1) terhadap
lingkaranLadalah
K(P) =jPMj
2
r
2
=

x1+
1
2
a

2
+

y1+
1
2
b

2
r
2
=x
2
1+y
2
1+ax1+by1+c: (3.1)
Sehingga, kuasa titikP(x1; y1) terhadap lingkaranLx
2
+y
2
+ax+by+c= 0
juga dapat diperoleh dengan cara mensubstitusi variabelxdanypada persamaan
lingkaran dengan nilaix1dany1.
Berdasarkan Persamaan, jika titik Pberada di luar lingkaranL, maka ku-
asa titikPterhadap lingkaran tersebut bernilai positif. Hal ini dikarenakan panjang
garis singgung dari titikPke titik singgungnya adalah bilangan positif. Jika titik
Pberada tepat pada lingkaran, maka kuasa titikPterhadap lingkaran tersebut
adalah nol. Namun jika titikPberada di dalam lingkaranL, maka kuasa titikP
terhadap lingkaran bernilai negatif. Dalam hal ini, panjang garis singgungnya ber-
nilai imajiner dan sesuai dengan kenyataan bahwa secara geometri sebuah titik di
dalam lingkaran tidak bisa dikonstruksi garis singgungnya.
Geometri Analitik 26 Nanda Arista Rizki, M.Si.

Misal diberikan dua buah lingkaran. Perhatikan bahwa ada suatu titik yang
memiliki kuasa sama terhadap dua lingkaran tersebut. Himpunan titik-titik yang
memiliki kuasa yang sama terhadap dua lingkaran tertentu berupa garis lurus yang
disebut garis kuasa. Misalkan persamaan kedua lingkaran tersebut adalah
L1x
2
+y
2
+a1x+b1y+c1= 0
L2x
2
+y
2
+a2x+b2y+c2= 0:
Jika titikP(x1; y1) memiliki kuasa yang sama terhadap lingakranL1danL2, maka
K(P) =K(P)
x
2
1+y
2
1+a1x1+b1y1+c1=x
2
1+y
2
1+a2x1+b2y1+c2
(a1a2)x1+ (b1b2)y1+c1c2= 0:
Hal ini akan berlaku pada setiap titik yang kuasanya terhadap kedua lingkaran itu
adalah sama. Dengan demikian, garis kuasa yang merupakan tempat kedudukan
titik-titik yang memiliki kuasa yang sama terhadap lingkaranL1danL2adalah
sebagai berikut
lL1L2
(a1a2)x1+ (b1b2)y1+c1c2= 0:
Perhatikan bahwa garis kuasa memiliki gradienm1=
a1a2
b1b2
. Titik pusat
lingkaranL1danL2masing-masing adalahM1


1
2
a1;
1
2
b1

danM2


1
2
a2;
1
2
b2

.
Gradien garis yang menghubungkan antara titik pusatL1dan titik pusatL2adalah
m2=
b1b2
a1a2
. Karenam1m2=1, maka garis kuasa dua buah lingkaran akan
tegak lurus dengan garis penghubung titik-titik pusat kedua lingkaran tersebut,
seperti pada Gambar.
Selanjutnya, misal diberikan tiga buah garis yang titik-titik pusatnya tidak
berada pada satu garis lurus (konsentris), yaituL1,L2, danL3seperti pada Gambar
3.7. Perhatikan bahwa ada satu titik yang memiliki kuasa yang sama terhadap
ketiga lingkaran tersebut. Ketiga lingkaran tersebut mempunyai tiga garis kuasa
yang saling berpotongan di satu titik. Titik tersebut disebut titik kuasa.
Geometri Analitik 27 Nanda Arista Rizki, M.Si.

Gambar 3.6: Ilustrasi garis kuasa dari dua lingkaranGambar 3.7: Ilustrasi titik kuasa dari tiga lingkaran
Misalkan ingin menentukan titik kuasa dari lingkaran
L1x
2
+y
2
+ 3x+ 5y7 = 0
L2x
2
+y
2
2x+ 4y6 = 0
L3x
2
+y
2
+ 4x2y2 = 0:
Maka garis kuasa lingkaranL1danL2adalah
L1L2)5x+y1 = 0:
dan garis kuasa lingkaranL1danL3adalah
L1L3)x7y+ 5 = 0:
Geometri Analitik 28 Nanda Arista Rizki, M.Si.

Diperoleh solusi penyelesaiannya yaitux=
1
18
dany=
13
18
. Dengan demikian,
koordinat titik kuasa ketiga lingkaran tersebut adalah

1
18
;
13
18

.
Dua lingkaran yang berpotongan
Sudut antara dua buah lingkaran dide nisikan sebagai sudut yang dibentuk oleh
garis-garis singgung pada kedua lingkaran itu di titik potongnya. Dua lingkaran
dikatakan saling memotong tegak lurus jika sudut antara garis-garis singgung di titik
potongnya adalah 90

. Perhatikan Gambar. Misalkan dua lingkaran tersebut
adalah
L1x
2
+y
2
+a1x+b1y+c1= 0
L2x
2
+y
2
+a2x+b2y+c2= 0:
Kemudian perhatikan Gambar r1tegak lurus denganr2, sehingga4M1M2P
adalah segitiga siku-siku. Dalam hal ini,M1


1
2
a1;
1
2
b1

,M2


1
2
a2;
1
2
b2

,r1=
q
1
4
a
2
1+
1
4
b
2
1c1, danr2=
q
1
4
a
2
2+
1
4
b
2
2c2. Sehingga berlaku
jM1M2j
2
=r
2
1+r
2
2:
Gambar 3.8: Ilustrasi titik potong dari dua lingkaran
Sebuah lingkaran juga dapat memotong lingkaran lain sedemikian sehingga
membagi dua sama besar lingkaran tersebut. Perhatikan Gambar. Jika ling-
karanL2membagi dua sama besar lingkaranL1, maka dalam4M1PM2berlaku
jM1M2j
2
=r
2
2r
2
1:
Geometri Analitik 29 Nanda Arista Rizki, M.Si.

Gambar 3.9: Ilustrasi dua lingkaran berpotongan tegak lurusGambar 3.10: Ilustrasi lingkaran membagi dua sama besar
3.1 Latihan
1. 2;3) dan memiliki
radiusr= 5!
2. x
2
+
3y
2
8x10y+ 3 = 0!
3. ;0), (2;7), (8;1), dan (9;6) terletak pada
lingkaran!
4. x= 2,x= 3,y= 1, dany= 2.
Tentukan persamaan lingkaran yang diameternya adalah diagonal dari persegi
tersebut!
5. ;1) adalah titik ujung diameter dari persamaan lingkaranx
2
+y
2
2x+
6y15 = 0, tentukan titik ujung diameter lainnya!
Geometri Analitik 30 Nanda Arista Rizki, M.Si.

6. ;1), (2;1), dan (3;2)!
7. A(1;2) dan titikB(6;0) terhadap lingkaran dengan per-
samaanx
2
+y
2
4x+ 2y11 = 0!
8. P1(2;3),P2(1;0), danP3(6;1) serta sebuah lingkaran
dengan persamaanSx
2
+y
2
10x+ 24y+ 144 = 0. Tentukan jarak
maksimum dan minimum antara:
a) P1dan lingkaranS
b) P2dan lingkaranS
c) P3dan lingkaranS.
9. x
2
+y
2
= 4 yang melalui
titik (2;0)!
10. ;1) terhadap lingkaranx
2
+y
2
= 1!
11. L1(x1)
2
+ (y4)
2
= 16 danL2=
x
2
+y
2
+ 2x6y15 = 0!
12. x2)
2
+y
2
= 4 danx
2
+y
2
= 1! Apakah
garis kuasanya memotong kedua lingkaran?
13.
L1x
2
+y
2
+x+y14 = 0
L2x
2
+y
2
= 13
L3x
2
+y
2
+ 3x2y26 = 0.
14. L
x
2
+y
2
2x+5y5 = 0, melalui titik (6;1), dan pusatnya terletak pada garis
g9x+ 4y= 47!
Geometri Analitik 31 Nanda Arista Rizki, M.Si.

BAB 4
Parabola
Parabola dide nisikan sebagai tempat kedudukan titik-titikP(h; k) pada bidang
sedemikian hingga titik itu berjarak sama dari suatu titik fokus dan garis tertentu
yang tidak memuat fokus (disebut garis direktrik). Misalkan posisi titik fokus berada
pada sumbuxdan dengan garis direktrik tegak lurus sumbuxseperti pada Gambar
4.1. Sedangkan sumbuydiletakkan di tengah-tengah segmen garis hubung dari titik
fokusSke garis direktrik. Misalkan jarak antara garis direktrik dengan fokus adalah
2a, maka koordinat titik fokusnya adalahS(a;0) dan persamaan garis direktrik
dx=a; a6= 0.
Gambar 4.1:Right-handedparabola
Jika titikP(h; k) adalah sebarang titik pada parabola, maka berdasarkan de-
32

nisi parabola diperoleh hubungan
SP=PM=a+h)
p
(ha)
2
+k
2
=a+h
)a
2
+h
2
2ah+k
2
=a
2
+h
2
+ 2ah
)k
2
= 4ah:
Oleh karena itu, kedudukan titikPberada pada kurvay
2
= 4ax. Persamaan para-
bola ini adalahy
2
= 4ax
2
untuka >0. Titik puncaknya adalah (0;0) dengan
sumbu simetrisnya adalah sumbuxatau garisy= 0. Garis direktriknya adalah
garisx+a= 0.
(a)Right-handedparabola(b)Upwardsparabola(c)Downwardsparabola
Gambar 4.2: Bentuk parabola standar
Secara umum, ada 4 parabola standar yaituright-handedparabola,left-handed
parabola,upwardsparabola, dandownwardsparabola, yang masing-masing diilus-
trasikan pada Gambar, Gambar, Gambar, dan Gambar. Adapun
sifat-sifat parabola ini dirangkum dalam Tabel.
Tabel 4.1: Sifat-sifat Parabola Standar
Diagram Gambar
Persamaan y
2
= 4ax y
2
=4ax x
2
= 4ay x
2
=4ay
Titik fokus ( a;0) ( a;0) (0 ; a) (0 ;a)
Titik puncak (0 ;0) (0 ;0) (0 ;0) (0 ;0)
Garis direktrik x+a= 0xa= 0 y+a= 0 ya= 0
Sumbu simetris y= 0 y= 0 x= 0 x= 0
Garis singgung di titik puncakx= 0 x= 0 y= 0 y= 0
Geometri Analitik 33 Nanda Arista Rizki, M.Si.

4.1 Bentuk Parabola Tak Standar
Ada beberapa bentuk parabola yang tidak standar. Bentuk pertama yang dike-
nalkan adalah parabola yang terbuka ke sisi kanan. Misalkan titikP(x; y) adalah
sebarang titik pada parabola, dengan titik puncak diA( ; ) dan sumbu simetrisnya
sejajar dengan sumbuxseperti pada Gambar. Perhatikan bahwa
PS=PM
(x a)
2
+ (y )
2
= (x +a)
2
(x )
2
+a
2
2a(x ) + (y )
2
= (x )
2
+a
2
+ 2a(x )
(y )
2
= 4a(x ): (4.1)
Jika dibandingkan dengan bentuk standary
2
= 4ax, maka cukup mengganti variabel
xdengan (x ) dan variabelydengan (y ). Titik fokus parabola ini adalah
( +a; ) dengan titik puncak ( ; ). Persamaan sumbu simetris dan persamaan
garis singgung di titik puncak masing-masing adalahy = 0 danx = 0.
Persamaan garis direktrik parabola ini adalahx= a.
Bentuk kedua dari parabola tak standar adalah parabola yang terbuka ke sisi
kiri seperti pada Gambar. Dalam hal ini,
PS=PM
[x( a)]
2
+ (y )
2
= (( x) +a)
2
(x )
2
+a
2
+ 2(x )a+ (y )
2
= ( x)
2
+a
2
+ 2a( x)
(y )
2
= 4a( x)
(y )
2
=4a(x ): (4.2)
Titik fokus parabola ini adalah ( a; ) dengan titik puncaknya adalah ( ; ).
Sumbu simetris parabola ini adalahy = 0. Persamaan garis singgung di titik
puncak dan persamaan garis direktrik parabola ini masing-masing adalahx = 0
danx= +a.
Geometri Analitik 34 Nanda Arista Rizki, M.Si.

(a)Parbola opening
towards right hand side
(b)Parbola opening
towards left hand side
(c)Parbola opening up-
wards
(d)Parbola opening down-
wards
Gambar 4.3: Bentuk parabola tak standar
Bentuk selanjutnya dari parabola tak standar adalah parabola yang terbuka
ke atas seperti pada Gambar. Kurva parabola ini memiliki persamaan
(x )
2
= 4a(y ) (4.3)
Titik fokus parabola ini adalah ( ; +a) dengan titik puncaknya adalah ( ; ).
Sumbu simetris parabola ini adalahx = 0. Persamaan garis singgung di titik
puncak dan persamaan garis direktrik parabola ini masing-masing adalahy = 0
dany= a.
Geometri Analitik 35 Nanda Arista Rizki, M.Si.

Bentuk terakhir dari parabola tak standar adalah parabola yang terbuka ke
bawah seperti pada Gambar. Kurva parabola ini memiliki persamaan
(x )
2
=4a(y ) (4.4)
Titik fokus parabola ini adalah ( ; a) dengan titik puncaknya adalah ( ; ).
Sumbu simetris parabola ini adalahx = 0. Persamaan garis singgung di titik
puncak dan persamaan garis direktrik parabola ini masing-masing adalahy = 0
dany= +a.
Gambar 4.4: Parabola yang diketahui garis singgung dan sumbu simetrisnya
Misalkan akan ditentukan persamaan parabola yang persamaan sumbu sime-
trisnya adalahlx+my+n= 0, dan garis singgung di titik puncaknya adalah
mxly+k= 0, seperti pada Gambar. Lalu misalkan titik puncaknya adalah
( ; ), danP(x; y) adalah sebarang titik pada parabola. Maka persamaan parabola
tersebut adalah
(PL)
2
= 4a(PM)

lx+my+n
p
l
2
+m
2

2
= 4a
jmxly+kj
p
m
2
+l
2
(lx+my+n)
2
=4a(mxly+k)
p
l
2
+m
2
: (4.5)
Dalam hal ini, terdapat dua kemungkinan persamaan parabola yang diperoleh.
Persamaan parabola juga dapat ditentukan jika diketahui titik fokusnya. Misal-
kanS(x0; y0) adalah titik fokus parabola dan garislx+my+n= 0 adalah persamaan
garis direktriknya. Lalu misalkanP(x; y) adalah sebarang titik pada parabola se-
Geometri Analitik 36 Nanda Arista Rizki, M.Si.

perti sehingga seperti pada Gambar. Sehingga
PS=PM
p
(xx0)
2
+ (yy0)
2
=
jlx+my+nj
p
l
2
+m
2
(xx0)
2
+ (yy0)
2
=
(lx+my+n)
2
(l
2
+m
2
)
(x
2
+y
2
2xx02yy0+x
2
0+y
2
0)(l
2
+m
2
) =l
2
x
2
+m
2
y
2
+n
2
+ 2lmxy+ 2mny+ 2lnx;
lalu diperoleh
m
2
x
2
+l
2
y
2
+x[2x0(l
2
+m
2
)2ln] +y[2y0(l
2
+m
2
)2mn]2lmxy+c= 0
m
2
x
2
+l
2
y
2
+ 2gx+ 2fy2lmxy+c= 0
(mxly)
2
+ 2gx+ 2fy+c= 0;
(4.6)
dengancadalah konstanta. Persamaan
ax
2
+ 2hxy+by
2
+ 2gx+ 2fy+c= 0: (4.7)
Konsekuensinya, suatu persamaan berderajat dua bahwa dapat dikatakan sebuah
persamaan parabola jikah
2
=abdanabc+ 2fghaf
2
bg
2
ch
2
6= 0.
Gambar 4.5: Parabola yang diketahui titik fokusnya
Sebagai contoh, akan ditentukan persamaan parabola yang memiliki titik fokus
S(1;2) dan garis direktrikx2y+ 3 = 0. JikaP(x; y) adalah sebarang titik
Geometri Analitik 37 Nanda Arista Rizki, M.Si.

pada kurva parabola dengan titikMterletak pada garis direktriknya, maka
SP=PM
(SP)
2
= (PM)
2
(x+ 1)
2
+ (y+ 2)
2
=

jx2y+ 3j
p
(1)
2
+ (2)
2
!
2
5(x
2
+y
2
+ 2x+ 4y+ 5) = (x
2
+ 4y
2
4xy+ 6x12y+ 9)
4x
2
+y
2
+ 4xy+ 4x+ 32y+ 16 = 0:
4.2 Persamaan Garis Singgung Pada Parabola
Adapun persamaan garis singgung untuk parabola standar dapat dilihat pada Tabel
4.2. Sedangkan garis singgung untuk parabola dengan titik puncak (h; k) dapat
dilihat pada Tabel.
Tabel 4.2: Persamaan Garis Singgung Pada Parabola Standar
Persamaan Melalui titik (x1; y1) Bergradienm
y
2
= 4ax yy 1= 2a(x+x1) y=mx+
a
m
y
2
=4ax yy1=2a(x+x1)y=mx
a
m
x
2
= 4ay xx 1= 2a(y+y1) y=mxam
2
x
2
=4ay xx1=2a(y+y1)y=mx+am
2
Tabel 4.3: Persamaan Garis Singgung Pada Parabola Tak Standar
Persamaan Melalui titik ( x1; y1) Bergradien m
(yk)
2
= 4a(xh) (yy1)(yk) = 2a(xx1) y=mxmh+k+
a
m
(yk)
2
=4a(xh) (yy1)(yk) =2a(xx1)y=mxmh+k
a
m
(xh)
2
= 4a(yk) (xx1)(x1h) = 2a(yy1)y=mxmh+kam
2
(xh)
2
=4a(yk) (xx1)(x1h) =2a(yy1)y=mxmh+k+am
2
Geometri Analitik 38 Nanda Arista Rizki, M.Si.

4.3 Latihan
1. y
2
=8x!
2.
parabolay
2
= 10x!
3. ;8) dan garis direk-
trikx=4!
4. ;0) dan melalui titik
(20;20), jika sumbu simetris parabola berimpit dengan sumbux!
5. y1)
2
= 12(x2)!
6. y
2
+ 6x2y+ 13 = 0!
7. y
2
+ 4y+ 4x+ 2 = 0!
8.
memiliki persamaany
2
2x2y+ 5 = 0!
9. x
2
2xy+y
2
+ 3x+ 2 = 0 merupakan persamaan parabola!
Lalu buatlah gra knya menggunakan Geogebra!
10. ;3) dan titik pun-
cak (4;1) dengan menggunakan Persamaan!
11. y
2
=16xyang sejajar garis
xy= 3!
12. y
2
+ 2y+ 6x+ 4 = 0 yang tegak
lurus garisx+ 2y= 6!
13. y
2
4x= 0 yang melalui titik
(2;1)!
14. y2)
2
=12(x+ 1) yang
melalui titik (1;1)!
Geometri Analitik 39 Nanda Arista Rizki, M.Si.

BAB 5
Elips
Pada Bab, diketahui bahwa kurva parabola dide nisikan sebagai titik-titik yang
rasio (perbandingan) antara jarak dengan titik tetap (fokus) dan jarak dengan garis
tetap (garis direktrik) adalah 1. Namun pada Bab
1, artinya titik-titik kurva lebih dekat dengan titik fokus dibanding dengan garis
direktrik. Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang bergerak dalam bidang
sehingga rasio antara jarak dari titik fokus dan jarak dari garis direktrik selalu
konstan, yaitue <1.
Gambar 5.1: Elips standar jenis ke 1
Perhatikan Gambar. Misalkan Sadalah titik fokus,ZMgaris direktrik
elips, danPadalah sebarang titik pada elips sedemikian sehinggaPMtegak lurus
pada direktrik, maka
jSPj
jPMj
=e <1. Lalu gambarlahSZ?pada direktrikZM
dan bagilah segmen garisSZdengan rasioe: 1(e <1). MisalkanAdanA
0
masing-
40

masing adalah titik internal dan titik eksternal. Maka
jSAj=ejAZj (5.1)
jSA
0
j=ejA
0
Zj: (5.2)
Jelas bahwaAdanA
0
akan terletak pada kurva elips. Misalkan panjang segmen
AA
0
adalah 2a, lalu ambil titikCsebagai titik tengahnya,
)jCAj=jCA
0
j=a:
Misalkan titikP(x; y) adalah sebarang titik pada elips dengan sumbu koordinatCA
danCB. Kemudian, ketika Persamaan
diperoleh
jSAj+jSA
0
j=e(jAZj+jA
0
Zj)
jAA
0
j=e(jCZj jCAj+jCA
0
j+jCZj) (dari Gambar)
jAA
0
j=e(2jCZj) (*jCAj=jCA
0
j)
2a= 2ejCZj
jCZj=
a
e
:
Oleh karena itu, direktrikZMadalah garisx=jCZj=
a
e
atau
a
e
x= 0. Dengan
melakukan pengurangan Persamaan, diperoleh
jSA
0
j jSAj=e(jA
0
Zj jAZj)
(jCA
0
j+jCSj)(jCAj jCSj) =ejAA
0
j
2jCSj=ejAA
0
j(*jCAj=jCA
0
j)
2jCSj=e(2a)
jCSj=ae:
Oleh karena itu, titik fokusnya adalah (ae;0).
Geometri Analitik 41 Nanda Arista Rizki, M.Si.

Lalu gambarlahPM?MZ. Berdasarkan de nisi bahwa
jSPj
jP Mj
=e, diperoleh
jSPj
2
=e
2
jPMj
2
(xae)
2
+ (y0)
2
=e
2

a
e
x

2
(xae)
2
+y
2
= (aex)
2
x
2
+a
2
e
2
2aex+y
2
=a
2
2aex+e
2
x
2
x
2
(1e
2
) +y
2
=a
2
(1e
2
)
x
2
a
2
+
y
2
a
2
(1e
2
)
= 1: (5.3)
Jikab
2
=a
2
(1e
2
) =jOBj
2
, maka Persamaan
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1:
Sumbu mayor untuk Gambar AA
0
dengan panjang 2a. Sedangkan
sumbu minornya adalahBB
0
dengan panjang 2b. Titik pusat elips adalah titik
potong antara sumbu mayor dan sumbu minor. Dalam kasus elips standar, titik
pusatnya adalah titik asalO(0;0). Titik potong kurva elips dengan sumbu mayornya
disebut titik puncak.
Perhatikan kembali Gambar. Ada titik fokus ke dua dan garis direktrik ke
dua. Pada sisi negatif sumbu mayor, ambil titikS
0
sehinggajSCj=jS
0
Cj=aedan
ambil titikZ
0
sedemikian sehinggajZCj=jCZ
0
j=a=e. Dalam hal ini, kedudukan
titik fokus ke dua adalah (ae;0) dan garis direktrik ke dua adalahx=
a
e
.
Gambar 5.2: Elips standar jenis ke 2 beserta titik fokus dan garis direktriknya
Geometri Analitik 42 Nanda Arista Rizki, M.Si.

Elips standar jenis kedua adalah elips yang sumbu mayornya sepanjang sumbu
ydan sumbu minornya sepanjang sumbux, seperti pada Gambar. Dengan
persamaan kurvanya adalah
x
2
b
2
+
y
2
a
2
= 1:
Baik elips standar jenis pertama maupun elips standar jenis kedua, bahwa
selalu dimisalkana > b. Sehingga selalu
b
2
=a
2
(1e
2
):
Berdasarkan Teorema Pythagoras, diperolehlah hubungan dari panjang titik asal
O(0;0) ke titik ujung sumbu mayor (a), ke titik ujung sumbu minor (b) dan ke titik
fokus (ae), yaitu
(ae)
2
+b
2
=a
2
:
Nilaieuntuk sebuah elips selalu 0< e <1, maka
0< e < 1
0< e
2
<1
1< e
2
<0
0<1e
2
<1
0< a
2
(1e
2
)< a
2
0< b
2
< a
2
b < a:
Jika nilaie= 0, makab
2
=a
2
(10) =a
2
, lalu persamaan elips
x
2
a
2+
y
2
b
2= 1 menjadi
persamaan lingkaranx
2
+y
2
=a
2
. Oleh karena itu,e6= 0. Karena
x
2
a
2+
y
2
b
2= 1,
Geometri Analitik 43 Nanda Arista Rizki, M.Si.

maka
y
2
b
2
= 1
x
2
a
2
=
a
2
x
2
a
2
y
2
b
2
=
(a+x)(ax)
a
2
jPNj
2
b
2
=
jA
0
Nj  jANj
a
2
jPNj
2
jANj  jA
0
Nj
=
b
2
a
2
=
jBCj
2
jACj
2
:
5.1 De nisi Kedua Dari Elips
Misalkan diketahui persamaan elips, yaitu
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1: (5.4)
Titik fokusnya ada dua, yaitu (ae;0) dan (ae;0). Persamaan garis direktrikMZ
danM
0
Z
0
masing-masing adalahx=
a
e
danx=
a
e
. MisalkanP(x; y) sebarang titik
pada Persamaan. Maka
jSPj=ejPMj
=ejNZj
=e(jCZj jCNj)
=e
h
a
e
x
i
=aex;
dan
S
0
P=ejPM
0
j
=ejZ
0
Nj
=e(jCZ
0
j+jCNj)
=e
h
a
e
+x
i
=a+ex:
Geometri Analitik 44 Nanda Arista Rizki, M.Si.

SehinggajSPj+jS
0
Pj= 2a=jAA
0
j. Oleh karena itu, elips dapat dikatakan sebagai
kumpulan titik-titik sedemikian hingga jumlah jaraknya dari pasangan dua titik
fokus yang berbeda adalah konstan.
5.2 Bentuk Elips Tak Standar
Bentuk elips tak standar diklasi kasi menjadi 2 jenis. Jenis pertama yaitu jika sum-
bu mayornya sejajar dengan sumbuxdan sumbu minornya sejajar dengan sumbuy,
lalu titik pusat elips bukan titik asalO(0;0), seperti pada Gambar. Persamaan
elips jenis ini adalah
(xh)
2
a
2
+
(yk)
2
b
2
= 1; a > b;
dengan titik pusat (h; k).
Gambar 5.3: Elips tak standar jenis pertama
JikaPsebarang titik pada elips dengan sumbu mayorAA
0
san sumbu minor
BB
0
. LaluPMtegak lurus dengan sumbu mayor danPLtegak lurus dengan sumbu
minor. Maka diperoleh
jPLj
2
a
2
+
jPMj
2
b
2
= 1 (5.5)
Misalkan titik pusat elipsnya adalahC(h; k) dengan panjang sumbu mayor 2adan
panjang sumbu minor 2bseperti pada Gambar. Dalam hal ini, jPLj=jxhj
Geometri Analitik 45 Nanda Arista Rizki, M.Si.

danjPMj=jykj. Sehingga Persamaan
(xh)
2
a
2
+
(yk)
2
b
2
= 1: (5.6)
Gambar 5.4: Ilustrasi elips tak standar jenis pertama
Jenis kedua elips tak standar yaitu jika sumbu mayornya sejajar dengan sumbu
ydan sumbu minornya sejajar dengan sumbux, lalu titik pusat elips yaitu (h; k),
seperti pada Gambar. Persamaan elips untuk jenis ini adalah
(xh)
2
b
2
+
(yk)
2
a
2
= 1; a > b:
Gambar 5.5: Elips tak standar jenis kedua
Geometri Analitik 46 Nanda Arista Rizki, M.Si.

Berdasarkan Gambar, diperoleh
jPLj
2
a
2
+
jPMj
2
b
2
= 1
jykj
2
a
2
+
jxhj
2
b
2
= 1
(xh)
2
b
2
+
(yk)
2
a
2
= 1: (5.7)
Perhatikan bahwa baik elips tak standar jenis pertama maupun elips tak stan-
dar jenis kedua, persamaannya tidak mengandung variabelxy. Dalam hal ini, per-
samaannya memiliki bentukax
2
+by
2
+ 2gx+ 2fy+c= 0.
Gambar 5.6: Ilustrasi elips tak standar jenis kedua
Selanjutnya adalah elips tak standar jenis ketiga, yang dalam persamaannya
terdapat variabelxy. Misalkan garisl1x+m1y+n1= 0 dan garism1xl1y+n2= 0
masing-masing adalah sumbu mayor dan sumbu minor seperti pada Gambar.
Perhatikan bahwa
jPMj
2
a
2
+
jPLj
2
b
2
= 1;
denganaadalah panjang sumbu semi mayor danbadalah panjang sumbu semi
Geometri Analitik 47 Nanda Arista Rizki, M.Si.

minor. Sehingga persamaannya menjadi
jPMj
2
a
2
+
jPLj
2
b
2
= 1

jm1xl1y+n2j
p
m
2
1
+l
2
1

2
a
2
+

jl1x+m1y+n1j
p
l
2
1
+m
2
1

2
b
2
= 1
(m1xl1y+n2)
2
a
2
(m
2
1+l
2
1)
+
(l1x+m1y+n1)
2
b
2
(l
2
1+m
2
1)
= 1
(m1xl1y+n2)
2
a
2
+
(l1x+m1y+n1)
2
b
2
=l
2
1+m
2
1:
Dalam hal ini,b
2
=a
2
(1e
2
). Panjang sumbu mayornya adaah 2a, sedangkan
panjang sumbu minornya adalah 2b. Titik pusat persamaan elips ini adalah titik
potong persamaan sumbu mayor dan sumbu minor. Karena persamaan garis sumbu
mayor adalahl1x+m1y+n1= 0 dan persamaan garis sumbu minor adalahm1x
l1y+n2= 0, maka
x
m1n2+l1n1
=
y
m1n1n2l1
=
1
(l
2
1+m
2
1)
:
Sehingga titik pusatnya adalah
C
0


(m1n2+l1n1)
l
2
1+m
2
1
;
(n2l1m1n1)
l
2
1+m
2
1

:
Misalkan titik fokusnya dinyatakan dalam ( ; ), maka jaraknya dari sumbu minor
adalahae
(m1 l1 +n2)
p
l
2
1+m
2
1
=ae; (5.8)
dan jarak titik ( ; ) ke sumbu mayor adalah nol
l1 +m1 +n1
p
l
2
1+m
2
1
= 0: (5.9)
Dengan menyelesaikan solusi Persamaan dan , maka
diperolehlah titik fokusSdanS
0
. Selanjutnya adalah garis direktrik. Misalkan (x; y)
adalah sebarang titik pada garis direktrik, maka jarak titiknya dari sumbu minor
Geometri Analitik 48 Nanda Arista Rizki, M.Si.

selalua=e. Oleh karena itu, persamaan garis direktriknya adalah
(m1xl1y+n2)
p
l
2
1+m
2
1
=
a
e
:
Dalam hal ini, persamaannya mengandung variabelxyyaitu memiliki bentukax
2
+
by
2
+ 2hxy+ 2gx+ 2fy+c= 0.
Gambar 5.7: Ilustrasi elips tak standar jenis ketiga
Sebagai contoh, akan ditentukan persamaan sumbu mayor, persamaan sumbu
minor, titik pusat, titik fokus, dan garis direktrik dari persamaan elips 4(x3y+
2)
2
+ 9(3x+y+ 1)
2
= 54. Perhatikan bahwa persamaan ini merupakan persamaan
elips tak standar jenis ketiga yang dapat dilukiskan oleh Geogebra seperti pada
Gambar. Perhatikan bahwa
4(x3y+ 2)
2
+ 9(3x+y+ 1)
2
= 54
4

x3y+ 2
p
1 + 9

p
10

2
+ 9

3x+y+ 1
p
9 + 1

p
10

2
= 54
410

x3y+ 2
p
10

2
+ 910

3x+y+ 1
p
10

2
= 54
40
54


x3y+ 2
p
10

2
+
90
54

3x+y+ 1
p
10

2
= 1

x3y+2
p
10

2

27
20
+

3x+y+1
p
10

2

3
5
= 1

x3y+2
p
10

2
q
27
20
2
+

3x+y+1
p
10

2
q
3
5
2
= 1:
Geometri Analitik 49 Nanda Arista Rizki, M.Si.

Sehingga diperoleh
ˆPersamaan sumbu minor, yaitux3y+ 2 = 0. Dengan panjang
2b= 2
r
3
5
ˆPersamaan sumbu mayor, yaitu 3x+y+ 1 = 0. Dengan panjang
2a= 2
r
27
20
= 3
r
3
5
:
ˆTitik pusat


1
2
;
1
2

, yang merupakan perpotongan sumbu minor dan sumbu
mayor.
ˆTitik fokus.
Karenab
2
=a
2
(1e
2
), maka
3
5
=
27
20
(1e
2
)
320
527
= 1e
2
e
2
= 1
4
9
=
5
9
e=
p
5
3
:
Misalkan ( ; ) koordinat titik fokus, maka
3 + 2
p
10
=ae
3 + 2
p
10
=
"

3
2
r
3
5
# p
5
3
!
3 + 2
p
10
=
p
3
2
3 + 2 =
p
30
2
;
Geometri Analitik 50 Nanda Arista Rizki, M.Si.

dan
3 + + 1 = 0:
Oleh karena itu,
( ; )
p
3010
20
;
103
p
30
20
!
dan


p
3010
20
;
3
p
30 + 10
20
!
:
ˆPersamaan garis direktrik.
x3y+ 2
p
1 + 9
=
a
e
x3y+ 2
p
1 + 9
=
3
2
q
3
5
p
5
3
x3y+ 2
p
1 + 9
=
9
p
3
10
x3y+ 2 =9
r
3
10
:
Gambar 5.8: Kurva 4(x3y+ 2)
2
+ 9(3x+y+ 1)
2
= 54 menggunakan Geogebra
Geometri Analitik 51 Nanda Arista Rizki, M.Si.

5.3 Kedudukan Titik dan Garis Terhadap Elips
Misal diberikan persamaan elips
x
2
k
2
1
+
y
2
k
2
2
= 1. Untuk menentukan apakah titik (x1; y1)
terletak dalam kurva elips, tepat berada pada kurva elips, atau di luar kurva elips,
perlu dilakukan pengujian titik tersebut. Oleh karena itu, dibagi menjadi 3 kasus:
1.
x
2
1
k
2
1
+
y
2
1
k
2
2
<1:
2.
x
2
1
k
2
1
+
y
2
1
k
2
2
= 1:
3.
x
2
1
k
2
1
+
y
2
1
k
2
2
>1:
Misal diberikan persamaan elips
x
2
a
2+
y
2
b
2= 1 dan sebuah garis lurus dengan
persamaany=mx+c. Dengan melakukan proses substitusi diperoleh
x
2
a
2
+
(mx+c)
2
b
2
= 1 (5.10)
(a
2
m
2
+b
2
)x
2
+ 2mca
2
x+c
2
a
2
a
2
b
2
= 0; (5.11)
yang merupakan persamaan kuadratik dari variabelx. Selanjutnya untuk menentu-
kan apakah garis lurus tersebut memotong kurva di dua titik berbeda, menyinggung
kurva, atau tidak menyentuh kurva, dapat periksa dari diskriminan Persamaan.
D= 4m
2
c
2
a
4
4(a
2
m
2
+b
2
)(c
2
a
2
a
2
b
2
)
D=4a
2
b
2
c
2
+ 4a
4
b
2
m
2
+ 4a
2
b
4
D= 4(a
2
b
2
)(c
2
+a
2
m
2
+b
2
):
Geometri Analitik 52 Nanda Arista Rizki, M.Si.

Sehingga dibagi menjadi 3 kasus, yaitu
1.
D >0
4(a
2
b
2
)(c
2
+a
2
m
2
+b
2
)>0
a
2
m
2
+b
2
> c
2
:
2.
D= 0
4(a
2
b
2
)(c
2
+a
2
m
2
+b
2
) = 0
c
2
=a
2
m
2
+b
2
:
3.
D <0
4(a
2
b
2
)(c
2
+a
2
m
2
+b
2
)<0
a
2
m
2
+b
2
< c
2
:
Garisy=mx+cmenyinggung kurva elips
x
2
a
2+
y
2
b
2= 1 jikac
2
=a
2
m
2
+b
2
atau
c=
p
a
2
m
2
+b
2
. Oleh karena itu, garis singgung kurva elips
x
2
a
2+
y
2
b
2= 1 adalah
y=mx
p
a
2
m
2
+b
2
;8m2R:
Hal ini berartic bataucb. Jika gradien garismdiketahui, maka nilai
ctersebut dapat segera ditentukan. Jika gradien garis menuju tak hingga, yaitu
lim
m!1
m= lim
k!0
1
k
, maka garis singgungnya adalah
y= lim
k!0

x
k

1
k
p
a
2
+b
2
k
2

0 =xa
x=a;
yang merupakan garis vertikal.
Geometri Analitik 53 Nanda Arista Rizki, M.Si.

Jika diketahui titik pada kurva elips, maka garis singgung kurva yang mela-
lui titik tersebut juga mudah diperoleh. Misalkan koordinat titik tersebut adalah
(x1; y1).
1.
x
2
a
2+
y
2
b
2= 1, maka persamaan garis singgung-
nya adalah
xx1
a
2+
yy1
b
2= 1.
2.
x
2
b
2+
y
2
a
2= 1, maka persamaan garis singgung-
nya adalah
xx1
b
2+
yy1
a
2= 1.
3.
(xh)
2
a
2+
(yk)
2
b
2= 1, maka persamaan garis
singgungnya adalah
(xh)(x1h)
a
2 +
(yk)(y1k)
b
2 = 1.
4.
(xh)
2
b
2+
(yk)
2
a
2= 1, maka persamaan garis
singgungnya adalah
(xh)(x1h)
b
2 +
(yk)(y1k)
a
2 = 1.
5.4 Latihan
1. x
2
+ 25y
2
= 225!
2.
x
2
4
+y
2
= 1 menggunakan Geogebra, lalu tentukan titik fokus-
nya!
3. ;8) dan (0;8), dan jika
diketahui titik-titik ujung sumbu minornya di (3;0) dan (3;0)!
4. ;0), dan diketahui salah satu titik
puncaknya (0;13), dan salah satu titik fokusnya (0;12)!
5. x
2
+ 5y
2
6x+ 20y+ 8 = 0!
6. ;4) dengan
panjang sumbu mayornya adalah 4 dan panjang sumbu minornya adalah 3!
7. 2;8)
dan (2;16) dan salah satu fokusnya adalah (3;4)!
8.
elips 4(x3y+ 2)
2
+ 9(3x+y+ 1)
2
= 54!
Geometri Analitik 54 Nanda Arista Rizki, M.Si.

9. x
2
+ 4y
2
+
4xy8 = 0!
10.
an 5x
2
+ 5y
2
+ 6xy8 = 0!
11. ;3) terhadap persamaan elips 5x
2
+ 7y
2
= 140!
12. sedemikian sehingga titikP( ; ) berada di dalam kurva
elips
x
2
16
+
y
2
9
= 1!
13. sedemikian sehingga garis 3x4y+= 0 memotong
kurva
x
2
16
+
y
2
9
= 1 di dua titik berbeda!
14. x
2
+ 2y
2
18x+ 4y7 = 0 yang
melalui titik (0;2)! Lalu gambarlah menggunakan Geogebra!
Geometri Analitik 55 Nanda Arista Rizki, M.Si.

BAB 6
Hiperbola
Pada Bab
titik yang rasio antara jarak dengan titik tetap (fokus) dan jarak dengan garis tetap
(garis direktrik) adalahe >1. Tentu kurva ini berbeda dengan kurva elips yang
dibahas pada Bab e <1). Kurva yang dibahas dalam bab
ini adalah hiperbola yang dide nisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik yang
bergerak dalam bidang sehingga rasio antara jarak dari titik fokus dan jarak dari
garis direktrik selalu konstan, yaitue >1.
Gambar 6.1: Hiperbola standar jenis ke 1
MisalkanSadalah titik fokus danZMadalah garis direktrik hiperbola. Lalu
gambarlahSZ?ZM, sehingga seperti pada Gambar. Misalkan AdanA
0
56

masing-masing adalah titik internal dan titik eksternal. Maka
jSAj=ejAZj (6.1)
jSA
0
j=ejA
0
Zj: (6.2)
Jelas bahwaAdanA
0
akan terletak pada kurva hiperbola. MisalkanjAA
0
j= 2adan
ambil titik tengah dari segmen garisAA
0
sebagai titik asal.
)jCAj=jCA
0
j=a:
MisalkanP(x; y) adalah sebarang titik pada hiperbola danCAterletak pada sum-
bux, garis yang tegak lurus denganCAdi titikCadalah sumbuy. Kemudian
Persamaan
jSAj+jSA
0
j=e(jAZj+jA
0
Zj)
jCSj jCAj+jCSj+jCA
0
j=e(jAA
0
j) (*jCAj=jCA
0
j)
2jCSj=e(2a)
jCSj=ae:
Sehingga, titik fokusnya adalah (ae;0). Jika dilakukan operasi pengurangan pada
Persamaan, diperoleh
jSA
0
j jSAj=e(jA
0
Zj jAZj)
jAA
0
j=e[(jCA
0
j+jCZj)(jCAj jCZj)]
2a=e(2jCZj)
jCZj=a=e:
Dengan demikian persamaan garis direktrikMZadalah garisx=a=eatau garis
xa=e= 0. Perhatikan bahwa
*e >1;)
a
e
< a:
Geometri Analitik 57 Nanda Arista Rizki, M.Si.

Lalu gambarlahPM?MZ. Berdasarkan de nisi bahwa
jSPj
jP Mj
=e, diperoleh
jSPj
2
=e
2
jPMj
2
(xae)
2
+ (y0)
2
=e
2

x
a
e

2
(xae)
2
+y
2
= (exa)
2
x
2
+a
2
e
2
2aex+y
2
=e
2
x
2
2aex+a
2
x
2
(e
2
1)y
2
=a
2
(e
2
1)
x
2
a
2

y
2
a
2
(e
2
1)
= 1
x
2
a
2

y
2
b
2
= 1; (6.3)
denganb
2
=a
2
(e
2
1). Persamaan hiperbola O(0;0).
Titik-titik fokus dan garis-garis direktriknya masing-masing adalah titik (ae;0)
dan garisx=
a
e
.
Berdasarkan Gambar, sumbu xdisebut sumbu transversal (transverse axis)
dari hiperbola standar jenis pertama dan sumbuydisebut sumbu sekawannya (con-
jugate axes). Dalam hal ini, titik fokus (SdanS
0
), titik puncak (AdanA
0
), dan titik
pusatCdari hiperbola terletak pada sumbu transversal. Untuk hiperbola dengan
Persamaan, jarak antar kedua titik puncak (atau panjang sumbu transversal)
adalah 2adan panjang sumbu sekawannya adalah 2b. Jika sumbuysebagai sumbu
transversal dan sumbuysebagai sumbu sekawannya, maka persamaan hiperbola
menjadi
y
2
a
2
x
2
b
2= 1, yang merupakan persamaan hiperbola standar jenis kedua.
6.1 De nisi Kedua Dari Hiperbola
Hiperbola adalah himpunan semua titik (x; y) pada bidang sedemikian hingga selisih
jarak titik (x; y) terhadap dua titik tertentu (titik fokusS1dan titik fokusS2) adalah
konstanta 2a. Perhatikan Gambar, bahwa
jS1Pj=ejPMj=e

h
a
e

=eha
Geometri Analitik 58 Nanda Arista Rizki, M.Si.

Gambar 6.2: Ilustrasi de nisi kedua hiperbola standar
dan
jS2Pj=ejPM
0
j=e

a
e
+h

=eh+a:
Oleh karena itu, selisih antarajS1PjdanjS2Pjadalah 2a, yang merupakan panjang
sumbu transversal. Jika 2a <jS1S2j= 2ae, maka terbentuklah hiperbola. Jika
selisih antarajS1PjdanjS2PjadalahjS1S2j, maka terbentuklah gabungan duarays
seperti pada Gambar. Namun jika selisih antara jS1PjdanjS2Pjlebih besar
darijS1S2j, maka tidak ada kurva yang terbentuk karena melanggar ketidaksamaan
segitiga.
Gambar 6.3: Ilustrasiraysyang terpotong
6.2 Persamaan Hiperbola Sekawan
Untuk suatu hiperbolaH, ada hiperbolaCyang sumbu transversalnya adalah sumbu
sekawan dari hiperbolaHdan sumbu sekawannya adalah sumbu transversal dariH.
Jika diketahui persamaan hiperbola
H
x
2
a
2

y
2
b
2
1 = 0;
Geometri Analitik 59 Nanda Arista Rizki, M.Si.

maka persamaan hiperbola sekawannya adalah
C
x
2
a
2

y
2
b
2
+ 1 = 0:
Ilustrasi hiperbola sekawan dapat dilihat pada Gambar. Adapun sifat-sifat dari
hiperbola sekawan adalah sebagai berikut
1. e2=
q
1 +

a
2
b
2

.
2. ;be2).
3. x= 0 dengan panjang 2b.
4. e1=
q
1 +

b
2
a
2

dan keeksentrikan
hiperbola sekawan adalahe2=
q
1 +

a
2
b
2

, maka berlaku
1
e
2
2
+
1
e
2
1
=
b
2
a
2
+b
2
+
a
2
a
2
+b
2
= 1:
Gambar 6.4: Ilustrasi hiperbola sekawan
Geometri Analitik 60 Nanda Arista Rizki, M.Si.

6.3 Persamaan Tak Standar
Persamaan hiperbola tak standar pertama adalah persamaan yang memiliki titik
pusat ( ; ) adalah
(x )
2
a
2

(y )
2
b
2
= 1:
Sumbu transversal persamaan ini adalahy= dengan panjang 2a, sedangkan
sumbu sekawannya adalahx= dengan panjang 2b. Persamaan ini memiliki titik-
titik fokus ( ae; ) dan titik-titik ujung ( a; ).
Gambar 6.5: Ilustrasi hiperbola tak standar
Selanjutnya adalah persamaan hiperbola tak standar, yang kedua sumbunya
baik sumbu transversal maupun sumbu sekawan tidak sejajar dengan sumbu koor-
dinat kartesius. Misalkan
l1x+m1y+n1= 0 (6.4)
dan
m1xl1y+n2= 0; (6.5)
adalah dua garis lurus yang saling tegak lurus. Perhatikan Gambar. Misalkan
Persamaan jAA
0
j= 2adan Persa-
maan jBB
0
j= 2b. Maka persamaan
Geometri Analitik 61 Nanda Arista Rizki, M.Si.

hiperbola yang diberikan adalah
jPLj
2
a
2

jPMj
2
b
2
= 1

m1xl1y+n2p
m
2
1
+l
2
1

2
a
2


l1x+m1y+n1p
l
2
1
+m
2
1

2
b
2
= 1
(m1xl1y+n2)
2
a
2
p
m
2
1+l
2
1

2

(l1x+m1y+n1)
2
b
2
p
l
2
1+m
2
1

2
= 1:
Adapun sifat-sifat untuk persamaan hiperbola ini adalah
1.
Titik pusat persamaan hiperbola ini adalah titik potong antara garisl1x+
m1y+n1= 0 dan garism1xl1y+n2= 0.
2.
Jika (x; y) adalah sebarang titik pada garis direktrik, maka jarak dari sumbu
sekawanm1xl1y+n2= 0 adalah
a
e
. Oleh karena itu, persamaan garis
direktriknya adalah
m1xl1y+n2
p
m
2
1+l
2
1
=
a
e
:
3.
Titik pusatnya dapat diperoleh dengan menyelesaikanpersamaan
l1x+m1y+n1= 0 (6.6)
dan pasangan persamaan yang disebutLatera Recta
m1xl1y+n2
p
m
2
1+l
2
1
=ae: (6.7)
Adapun panjang jarak antar setiapLatera Rectaadalah
2b
2
a
.
Perhatikan bahwa persamaan tak standar kedua ini memiliki bentukax
2
+by
2
+
2hxy+ 2gx+ 2fy+c= 0, denganh6= 0 danh
2
ab >0. Jikah= 0, maka sumbu
Geometri Analitik 62 Nanda Arista Rizki, M.Si.

transversal dan sumbu sekawan hiperbola akan sejajar dengan sumbu koordinat
kartesius.
Misal akan ditunjukkan bahwa salah satuLatera Rectadari persamaan hiper-
bola
(10x5)
2
+ (10y2)
2
= 9(3x+ 4y7)
2
adalah 30x+ 40y23 = 0. Pertama jabarkan persamaan hiperbolanya,
(10x5)
2
+ (10y2)
2
= 9(3x+ 4y7)
2

x
1
2

2
+

y
1
5

2
=
9
4

3x+ 4y7
5

2
:
Sehingga diperoleh titik fokus

1
2
;
1
5

, keeksentrikane=
3
2
, dan garis direktrik 3x+
4y7 = 0. Karena persamaanLatera Rectahiperbola sejajar dengan garis direktrik
maka persamaannya memiliki bentuk 3x+ 4y+= 0 dan melalui titik

1
2
;
1
5

maka
3
1
2
+ 4
1
5
+= 0
=
23
10
:
Oleh karena itu diperoleh persamaanLatera Recta
3x+ 4y
23
10
= 0
30x+ 40y23 = 0:
Pandang persamaan hiperbolaFx
2
3xy+y
2
+ 10x10y+ 21 = 0. Titik
pusat dapat diperoleh dengan menyelesaikan solusi persamaan
@F
@x
= 2x3y+ 10 = 0
dan
@F
@y
=3x+ 2y10 = 0:
Geometri Analitik 63 Nanda Arista Rizki, M.Si.

Sehingga diperoleh titik pusat (2;2). Lalu geser titik asal ke titik pusat (2;2)
dengan mensubstitusi
x=x
0
+ (2) dany=y
0
+ 2
atau dengan kata lain, mensubstitusi variabelxmenjadix2 dan variabelymenjadi
y+ 2. Sehingga persamaan hiperbola dengan titik pusat di titik asalO(0;0) adalah
(x2)
2
3(x2)(y+ 2) + (y+ 2)
2
+ 10(x2)10(y+ 2) + 21 = 0
x
2
+y
2
3xy+ 1 = 0:(6.8)
Misalkan sumbu transversal dan sumbu sekawan dirotasi dengan sudut, maka
tan 2=
2h
ab
tan 2=
3
11
2=

2
=

4
= 45

:
Adapun penerapan konsep rotasi sumbu transversal dan sumbu sekawan dirotasi
dengan sudutdapat dilihat pada Tabel.
Tabel 6.1: Konsep Rotasi dengan Sudut= 45

x y
x
0
cossin
y
0
sincos
Sehingga diperoleh koordinat yang baru
x
0
=
xy
p
2
dany
0
=
x+y
p
2
:
Geometri Analitik 64 Nanda Arista Rizki, M.Si.

Maka Persamaan

xy
p
2

2
+

x+y
p
2

2
3

y
p
2
+
x
p
2
 
x
p
2

y
p
2

+ 1 = 0
x
2
+y
2
2xy+y
2
+x
2
+ 2xy+ 3y
2
3x
2
+ 2 = 0
5y
2
x
2
+ 2 = 0
x
2
5y
2
= 2
x
2
2

y
2
2=5
= 1
x
2
(
p
2)
2

y
2
(
p
2=5)
2
= 1:
Panjang sumbu mayornya adalah 2a= 2
p
2 dan panjang sumbu minornya adalah
2b= 2
q
2
5
. Nilai keeksentrikannya adalah
b
2
=a
2
(e
2
1)
2
5
= 2(e
2
1)
e
2
=
6
5
e=
r
6
5
:
Persamaan sumbu transversalnya adalah
(y2) = 1(x+ 2)
xy+ 4 = 0:
Persamaan sumbu sekawannya adalah
(y2) =1(x+ 2)
x+y= 0:
Geometri Analitik 65 Nanda Arista Rizki, M.Si.

Titik puncak diperoleh dari
x+ 2
cos 45

=
y2
sin 45

=
p
2
x=1; y= 3 danx=3; y= 1
maka titik puncaknya (1;3) dan (3;1). Selanjutnya titik fokus dari persamaan
x
2
3xy+y
2
+ 10x10y+ 21 = 0, yang diperoleh dari
x+ 2
cos 45

=
y2
sin 45

=ae=
p
2
p
6
p
5
!
=
r
12
5
maka titik fokusnya adalah

2 +
r
6
5
;2 +
r
6
5
!
dan

2
r
6
5
;2
r
6
5
!
:
Persamaan garis direktrik diperoleh dari




x+y
p
2




=
a
e
x+y=
p
2
a
e
x+y=
p
2
p
2
r
5
6
x+y=2
r
5
6
:
Panjang antarLatera Rectaadalah 4a= 4
p
2 satuan.
6.4 Kedudukan Titik dan Garis Terhadap Hiper-
bola
Pandang persamaan hiperbola
x
2
a
2
y
2
b
2= 1. Untuk menentukan apakah suatu titik
P(x1; y1) terletak di luar hiperbola (ke arah titik fokus), terletak pada hiperbola,
atau terletak di dalam hiperbola (ke arah titik pusat) dapat ditentukan dengan
melihat nilai
x
2
1
a
2
y
2
1
b
21:
Geometri Analitik 66 Nanda Arista Rizki, M.Si.

1.
x
2
1
a
2

y
2
1
b
2
1<0:
2.
x
2
1
a
2

y
2
1
b
2
1 = 0:
3.
x
2
1
a
2

y
2
1
b
2
1>0:
Misal diberikan persamaan hiperbola
x
2
a
2

y
2
b
2
= 1 (6.9)
dan suatu garis
y=mx+c: (6.10)
Dengan mengeliminasi variabelydari Persamaan, diperoleh
x
2
a
2

(mx+c)
2
b
2
= 1
b
2
x
2
a
2
(mx+c)
2
=a
2
b
2
(a
2
m
2
b
2
)x
2
+ 2mca
2
x+a
2
(b
2
+c
2
) = 0: (6.11)
Kedudukan garis pada Persamaan, dapat
ditentukan berdasarkan nilai diskriminan Persamaan. Sehingga dibagi menjadi
3 kasus, yaitu
1. c
2
> a
2
m
2
b
2
.
2. c
2
=a
2
m
2
b
2
.
3. c
2
> a
2
m
2
b
2
.
Geometri Analitik 67 Nanda Arista Rizki, M.Si.

Maka suatu garisy=mx+cdikatakan garis singgung hiperbola jikac
2
=a
2
m
2
b
2
atauc=
p
a
2
m
2
b
2
. Sehingga diperoleh garis singgungnya yaituy=mx
p
a
2
m
2
b
2
.
Selanjutnya adalah garis singgung hiperbola yang melalui titik (x1; y1). Ada-
pun bentuk persamaan garis singgungnya adalah sebagai berikut.
1.
x
2
a
2
y
2
b
2= 1, maka persamaan garis sing-
gungnya adalah
xx1
a
2
yy1
b
2= 1.
2.
x
2
a
2+
y
2
b
2= 1, maka persamaan garis
singgungnya adalah
xx1
a
2+
yy1
b
2= 1.
3.
(xh)
2
a
2
(yk)
2
b
2= 1, maka persamaan garis
singgungnya adalah
(xh)(x1h)
a
2
(yk)(y1k)
b
2 = 1.
4.
(xh)
2
a
2+
(yk)
2
b
2= 1, maka persamaan
garis singgungnya adalah
(xh)(x1h)
a
2 +
(yk)(y1k)
b
2 = 1.
Dalam hal ini, perlu diuji terlebih dahulu apakah titik (x1; y1) tersebut terletak pada
kurva hiperbola.
6.5 Latihan
1. y
2
9x
2
+ 225 = 0!
2. ;2) dan
(0;2), dengan titik-titik fokusnya adalah (0;4) dan (0;4)!
3.
kawan dari 25y
2
9x
2
+ 225 = 0!
4.
hiperbola 16x
2
9y
2
+ 32x+ 36y164 = 0!
5. x
2
3xy+y
2
+ 10x10y+ 21 = 0!
6. ;4) terhadap hiperbola 9x
2
y
2
= 1!
Geometri Analitik 68 Nanda Arista Rizki, M.Si.

7.
x
2
64

y
2
36
= 1 yang tegak lurus
dengan garisx2y+ 3 = 0!
Geometri Analitik 69 Nanda Arista Rizki, M.Si.

BAB 7
Persamaan Parametrik
Penggambaran suatu kurva secara manual biasanya dimulai dari satu titik. Lalu titik
awal tersebut dikumpulkan dengan tak hingga titik lainnya dalam lintasan kurva.
Sebagai elemen koordinat, posisi absis dan posisi ordinat suatu titik masing-masing
dapat dinyatakan sebagai fungsi waktut. Diasumsikan kedua fungsi tersebut adalah
kontinu dalam intervalI. Dalam hal ini, variabeltdisebut parameter. Pandang
fungsi-fungsi dalam parametertberikut.
x=f(t)
y=g(t):
Setiap nilaitmende nisikan titik (x; y) = (f(t); g(t)). Koleksi semua titik dari
domaintyang mungkin adalah gra k persamaan-persamaan parametrik dan disebut
kurva parametrik.
Misal diberikan persamaan parameter
x(t) = 2t+ 1
y(t) =t
2
1;
untuk 0t3. Perhatikan bahwatmerupakan parameter dari fungsix(t) dan
y(t). Maka berdasarkan domaint, dapat diperoleh koleksi titik (x; y) seperti pada
Tabel. Semakin banyak nilai tyang dihitung, maka semakin banyak pula pa-
sangan absis dan ordinat untuk titik yang digambarkan. Lalu dengan menggunakan
70

Geogebra diperoleh kurva parametrik seperti pada Gambar.
Tabel 7.1: Perhitungan Titik-titik Berdasarkan Parametert
t x y
0 1 -1
1 3 0
2 5 3
3 7 8
Gambar 7.1: Menggambar kurva parametrik menggunakan Geogebra
Selain menggunakan perhitungan tabel, metode lainnya untuk menggambar-
kan kurva parametrik adalah dengan mencari hubungan antara variabelxdan vari-
abely. Misal diberikan persamaan parameter
x(t) = 2t4
y(t) = 4t
2
+ 1;
untuk1t2. Perhatikan bahwa dari persamaanx= 2t4 diperoleh
t=
x+ 4
2
:
Geometri Analitik 71 Nanda Arista Rizki, M.Si.

Sehingga
y= 4t
2
+ 1
= 4

x+ 4
2

2
+ 1
= (x+ 4)
2
+ 1:
Maka kurva dari persamaan parameter tersebut adalah parabola (y1) = (x+ 4)
2
.
Karena1t2, maka
1 t2
22t4
62t40
6 x0:
Misal diberikan fungsi
x
2=3
+y
2=3
=a
2=3
yang merupakan kurva asteroid. Kurva ini dapat digambar melalui persamaan-
persamaan parametrik
x(t) =acos
3
(t)
y(t) =asin
3
(t):
Berdasarkan persamaan parameter tersebut, diperolehlah kurva asteroid seperti pa-
da Gambar.
Kurva parametrik dapat menggambar kurva yang unik, seperti kurvaloveyang
dide nisikan sebagai
x= 16 sin
3
(t)
y= 13 cos(t)5 cos(2t)2 cos(3t)cos(4t);
untuk 0t2. Sehingga diperoleh kurva seperti pada Gambar. Selain kurva
love, banyak sekali kurva parametrik yang unik yang dapat dilihat pada [3].
Geometri Analitik 72 Nanda Arista Rizki, M.Si.

Gambar 7.2: Kurva asteroid dengana= 5Gambar 7.3: Kurvalove
Persamaaan-persamaan parametrik dapat juga menggambarkan kurva dalam
3 dimensi. Misalkan
x= sin(t)
y= cos(t)
z=
t
4
;
untukt2[0;12]. Maka kurva parametrik yang terbentuk seperti pada Gambar
7.4. Perhatikan bahwa proyeksi kurva tersebut pada bidang koordinatXOYakan
menghasilkan kurva lingkaran.
Geometri Analitik 73 Nanda Arista Rizki, M.Si.

Gambar 7.4: Kurva parametrik 3 dimensi
7.1 Panjang Kurva Parametrik
Perhatikan kembali persamaan parameter berikut
x=f(t)
y=g(t);
untukatb. Selanjutnya partisi pada interval [a; b] menjadinsub-interval
dengan titik-titik ujung
a=t0< t1< t2<  < tn=b:
Akibatnya, kurva dari persamaan parameter tersebut terpartisi oleh titik-titikQ0,
Q1,Q2,: : :,Qn1, danQn. Perhatikan Gambar. Panjang  sidapat diaproksi-
masi oleh
siwi=
p
(xi)
2
+ (yi)
2
=
p
(f(ti)f(ti1))
2
+ (g(ti)g(ti1))
2
:
Berdasarkan Teorema Nilai Rata-rata untuk turunan, bahwa
f(ti)f(ti1)
titi1
=f
0
(~ti)
f(ti)f(ti1) =f
0
(~ti)ti
Geometri Analitik 74 Nanda Arista Rizki, M.Si.

Gambar 7.5: Ilustrasi partisi kurva parametrik
dan
g(ti)g(ti1)
titi1
=g
0
(^ti)
g(ti)g(ti1) =g
0
(^ti)ti:
Sehingga
wi=
p
(f(ti)f(ti1))
2
+ (g(ti)g(ti1))
2
=
q

f
0
(~ti)ti

2
+

g
0
(^ti)ti

2
=
q

f
0
(~ti)

2
+

g
0
(^ti)

2
ti:
Oleh karena itu, jumlah keseluruhannya menjadi
n
X
i=1
wi=
n
X
i=1
q

f
0
(~ti)

2
+

g
0
(^ti)

2
ti:
Dengan demikian, jika banyaknya sub interval semakin besar (menuju tak hingga)
maka diperoleh panjang kurva yang diinginkan. Jadi,
s=
bZ
a
q

f
0
(~ti)

2
+

g
0
(^ti)

2
dt
=
bZ
a
s

dx
dt

2
+

dy
dt

2
dt:
Geometri Analitik 75 Nanda Arista Rizki, M.Si.

7.2 Garis Singgung Persamaan Parametrik
Diberikan persamaan-persamaan parametrik
x=f(t)
y=g(t);
untukt2I. Garis singgung (baik horisontal maupun vertikal) dari persamaan-
persamaan parametrik tersebut dapat ditemukan dengan menentukan dimana titik
stasioner tersebut. Posisi titik yang menjadi titik stationer dari garis singgung
horisontal dapat dicari dengan menyelesaikan
dy
dt
= 0;
sedangkan titik stationer dari garis singgung vertikal dapat ditemukan dengan me-
nyelesaikan persamaan
dx
dt
= 0:
Misal diberikan persamaan-persamaan parametrik berikut
x=t
3
3t
y=t
2
3:
Garis singgung horisontal dapat ditemukan dengan menyelesaikan
dy
dt
= 0
2t= 0
t= 0:
Artinya ketikat= 0, maka posisi titik tersebut adalah titik stasioner untuk garis
singgung horisontal. Jikat= 0, maka (0;3) adalah titik yang dimaksud. Oleh
karena itu, garis singgung horisontalnya adalahy=3. Selanjutnya adalah mene-
Geometri Analitik 76 Nanda Arista Rizki, M.Si.

mukan titik stationer dari garis singgung vertikal. Karena
dx
dt
= 0
3t
2
3 = 0
t=1;
maka titik (2;2) dan titik (2;2) masing-masing adalah titik stationer yang
dimaksud. Oleh karena itu, garisx=2 dan garisx= 2 merupakan garis-garis
singgung vertikal dari persamaan-persamaan parametrik yang diberikan. Hal ini
sesuai dengan kurva yang dihasilkan oleh Geogebra pada Gambar.
Gambar 7.6: Ilustrasi garis singgung horisontal dan vertikal dari persamaan para-
metrik
Secara umum, gradien garis singung untuk persamaan-persamaan parametrik
adalah
dy
dx
=
dy
dt
dx
dt
:
Misal diberikan persamaan-persamaan parametrik berikut
x=tsin(t)
y=tcos(t):
Maka
m=
dy
dx
=
dy
dt
dx
dt
=
cos(t)tsin(t)
sin(t) +tcos(t)
:
Geometri Analitik 77 Nanda Arista Rizki, M.Si.

Ketikat=

2
, maka diperoleh titik


2
;0

. Lalu garis singgung di titik tersebut
memiliki gradien
m=
cos


2

tsin


2

sin


2

+tcos


2
=
0

2
1
1 +

2
0
=

2
:
Karena kurva parametrik dilalui titik


2
;0

, maka garis singgung di titik tersebut
adalah
(y0) =

2

x

2

y=

2
x+

2
4
:
7.3 Persamaan Parametrik Untuk Garis
Misalkan gradien garis dinyatakan sebagaim=
ys
xs
. Maka suatu garisy=mx+c
dapat dinyatakan sebagai persamaan-persamaan parametrik
x=x1+xst (7.1)
y=y1+yst; (7.2)
Perhatikan bahwa berdasarkan Persamaan, diperoleh
t=
xx1
xs
t=
yy1
ys
:
Sehingga
t=t
xx1
xs
=
yy1
ys
yy1=
ys
xs
(xxs);
Geometri Analitik 78 Nanda Arista Rizki, M.Si.

dengan
ys
xs
merupakan gradien garis tersebut. Oleh karena itu, persamaan-persamaan
parametrik suatu garis yang melalui titikA(x1; y1) danB(x2; y2) adalah
x=x1+ (x2x1)t
y=y1+ (y2y1)t:
Misal diberikan persamaan garisy=
1
2
x+ 3. Diperoleh gradienm=
y
x
=

1
2
=
1
2
=
1
2
. Maka pilihxs= 2 danys=1. Dalam hal ini, juga dapat
dipilihxs=2 danys= 1 atau kombinasi pasangan yang lainnya. Ambil titik
Psebagai titik awal. Berdasarkan garisy=
1
2
x+ 3, untuky= 0 makax= 6,
sehingga diperoleh titikP(6;0). Dalam hal ini, boleh memilih titik lain sebagai
titik awal. Lalu substitusikan nilai-nilaix1= 6,y1= 0,xs= 2, danys=1
ke persamaan-persamaan parameter untuk garis. Dengan demikian diperolehlah
persamaan-persamaan parameter berikut.
x=x1+xst= 6 + 2t
y=y1+yst=t:
Kurva parametrik untuk garisy=
1
2
x+ 3 dapat dilihat Gambar.
(a)t2[3;0](b)t2[0;1](c)t2[3;1]
Gambar 7.7: Kurva parametrik garisy=
1
2
x+ 3 dengan domaintyang berbeda
7.4 Persamaan Parametrik Untuk Irisan Kerucut
Kurva parametrik juga dapat menggambar semua fungsi implisit, terutama irisan ke-
rucut. Persamaan implisit lingkaranx
2
+y
2
=r
2
dapat diubah menjadi persamaan-
Geometri Analitik 79 Nanda Arista Rizki, M.Si.

persamaan parametrik
x=rcos(t)
y=rsin(t);
untuk 0t2. Selanjutnya persamaan-persamaan parametrik dari persamaan
lingkaranx
2
+y
2
+ 2gx+ 2fy+c= 0 dide nisikan sebagai
x=g+rcos(t)
y=f+rsin(t);
denganr=
p
g
2
+f
2
cmerupakan radius lingkaran. Kurva parametrik untuk
lingkaran dengan persamaan-persamaan parametrik
x= 1 + 3 cos(t)
y= 2 + 3 sin(t);
dapat dilihat pada Gambar.
(a)t2[0;3=2](b)t2[0;2]
Gambar 7.8: Kurva parametrik dari persamaan lingkaranx
2
+y
2
2x4y4 = 0
Persamaan-persamaan parametrik untuk parabolay
2
= 4axadalah
x=at
2
y= 2at:
Geometri Analitik 80 Nanda Arista Rizki, M.Si.

Kemudian persamaan-persamaan parametrik untuk parabolax
2
=4ayadalah
x= 2at
y=at
2
:
Untuk parabola tak standar (yh)
2
= 4a(xk), persamaan-persamaan parame-
triknya adalah
x=h+at
2
y=k+ 2at:
Persamaan-persamaan parametrik untuk elips sangat mirip dengan lingkaran.
Jika panjang sumbu mayor adalah sama dengan panjang sumbu minor, maka suatu
elips dapat dikatakan lingkaran. Oleh karena itu, kurva persamaan elips
x
2
a
2+
y
2
b
2= 1
dapat dibentuk dari persamaan-persamaan berikut
x=acos(t)
y=bsin(t):
Untuk elips
(xh)
2
a
2+
(yk)
2
b
2= 1, maka persamaan-persamaan parametriknya adalah
x=h+acos(t)
y=k+bsin(t):
Persamaan-persamaan parametrik untuk hiperbola
(xh)
2
a
2
(yk)
2
b
2= 1 adalah
sebagai berikut
x=hacosh(t)
y=kbsinh(t):
7.5 Latihan
1.
x=t
2
+tdany= 2t1, dengan1t1!
Geometri Analitik 81 Nanda Arista Rizki, M.Si.

2.
x= 2 cos(t) dany= sin(2t), untuk 0t2!
3.
titikA(2;0) danB(2;2)!
4.
metrik untuk lingkaran:x=
2rt
1+t
2dany=
r(1t
2
)
1+t
2, untukt2(1;1) danr >0!
Clue:t= tan().
5. x+ 1)
2
= 4(y1)!
6. x= 2 cos(t)
dany= sin(t), untuk 0t2!
7.
x= 1 + cos(t) dany= 1 + 2 sin(t) di titik

1 +
p
3
2
;2

!
Geometri Analitik 82 Nanda Arista Rizki, M.Si.

Daftar Pustaka
[1] Fundamentals of Mathematics: Coordinate Geometry,
2nd ed. Delhi: Pearson.
[2] Modern Calculus and Analytic Geometry. New
York: MacMillan Company.
[3] Fifty Famous Curves, Lots of Calculus Questions,
And a Few Answers. Bloomsburg: Department of Mathematics, Computer Sci-
ence, and Statistics, Bloomsburg University.
83