YAN BATARA SSiMSi
KALKULUS DASAR 1

MateriPembelajaran
KalkulusDasar1

BilanganReal, Ketidaksamaan, NilaiMutlak

Garisdangrafik

Limit

Differensial

Penerapandifferensial

BILANGAN REAL

Bilanganreal adalahbilanganyang merupakangabungandari
bilanganrasionaldanbilanganirrasional.

BilanganRaionaldanIrrasional
Pengertian Bilangan Rasional
Bilanganrasionalmerupakanbilanganyangdinyatakansebagai
perbandinganduabilanganbulatadanb,ditulisa/bdengansyaratb≠
0.
Bilanganrasionaljugamemilikibatasanyaituterdapatpadaselang(-
∞,∞).
Bilangan-bilangan rasional 4/5, 1/7, 3/8, 6/7, 5/11, …, a/b…
disebut bilangan-bilangan rasional pecahan biasa atau sering disebut
pecahan biasa
Bilangan-bilangan rasional 2 1/2, 476/3, 75/6, 23 1/8, …. C a/b
disebut bilangan-bilangan rasional pecahan sempurna atau sering
disebut pecahan campuran


Bilangan rasional dapat juga ditulis sebagai desimal dengan deret
angka yang berulang teratur. Anda dapat memperhatikan
beberapa contoh berikut :
1/8 = 0,125000 …. (0 berulang teratur)
1/3 = 0, 333333 … (3 berulang teratur )
1/4 = 0,250000 …. (0 berulang teratur )
2/3 = 0,66666 …... (6 berulang teratur)
3/7 = 0,428571428571.(428571 berulang beraturan)1/2 = 0,50000 … (0 berulang teratur )
3/2 = 0,66666 … (6 berulang teratur)
17/9 = 1,8888 ... (8 berulang teratur )

Bilangan irasional
Bilanganirasionaladalahbilanganyangtidakrasional.Bilangan
irasionaladalahbukanmerupakanbilanganbulatdanjugabukan
merupakanbilanganpecahan.
Jikabilanganirasionalditulisdalambentukdecimal,bilanganitu
tidakmempunyaipolayangberulangsecarateratur.
Contoh:
bilanganirasional√3=1,732050807yangternyatatidak
mempunyaipolaberulangsecarateratur,dantidakakanberakhir
bilangan√3merupakansalahsatucontohbilanganirasional.
Bilangan-bilangan,π,danemerupakancontoh-contohlain
bilanganirasionaldenganπ=3,14dane=2,71828

HimpunanBilanganReal

SistemBilanganReal

Himpunanbilanganreal yang dilengkapidengansifat-sifatbilangan
disebutsistembilanganreal.

Sifat-sifatbilanganreal dibagimenjadi:

SifatAljabar

SifatUrutan

Sifatkelengkapan

SifatAljabar

*Sifat kelengkapan bilangan real
Sifatkelengkapandarihimpunanbilanganreal secaragarisbesar
menyatakanbahwaterdapatcukupbanyakbilangan–bilanganreal
untukmengisigarisbilanganreal secaralengkapsehinggatidakada
setitikpuncelahdiantaranya
Contoh:
Nyatakanlahapakahmasing-masingyang berikutbenaratausalah!
a. -2 < -5
b. 1/2<3/4

Intervaladalahsuatuhimpunanbagiandarigarisbilanganreal yang
mengandungpaling sedikit2 bilanganreal yang berbedadansemua
bilanganreal yang terletakdiantarakeduanya.
Interval BilanganReal
Untuksetiapx, a, b, cR,
1.[a, b] = {x| a≤ x≤ b} disebutinterval tutup
2.[a, b) = {x| a≤ x< b} disebutinterval setengahtertutup
atauterbuka
3.(a, b] = {x| a< x≤ b} disebut interval setengah terbuka
atautertutup
4.(a, b) = {x| a< x< b} disebutinterval terbuka

Interval –interval takhingga

(–∞, b] = {x| x≤ b}

(–∞, b) = {x| x< b}

(a, ∞] = {x| x≥ a}

(a, ∞) = {x| x> a}

(–∞, ∞] = {x| xR}

Ketidaksamaan

Menyelesaikanketidaksamaandalamxberartimencariinterval atau
interval-interval daribilanganyang memenuhiketidaksamaantersebut.

Cara menyelesaikanketidaksamaan:
1. tambahkankeduasisidenganbilanganyang sama
2. kalikankeduasisidenganbilanganpositif
3. kalikankeduasisidenganbilangannegatif, tapitandaketidaksaman
berubah
Contoh:
Selesaikan ketidaksamaan berikut dan gambarkanlah kumpulan solusinya
pada garis bilangan real!
a. 4x-7<3x+5
b.
c.
d. -6<2x+3<-1

Nilai Mutlak

Definisi nilai mutlak :

Jadi|x|≥0untuksetiapbilanganrealxdan
|x|=0jikadanhanyajikax=0.

|x|dapatjugadidefinisikansebagai:

SecaraGeometri:
|x|menyatakanjarakdarixketitikasal.
|x–y|=jarakdiantaraxdany






0,
0,
xx
xx
x
2
x x

Sifat nilai mutlak

|-a| = |a|

|ab| = |a||b|

|a+ b| ≤ |a| + |b|

|x|
2
= x
2

|x| < ajika dan hanya jika -a< x< a

|x| > ajika dan hanya jika x> aatau x< -a

|x| < |y| jika dan hanya jika x
2
< y
2
 
aa
b b

Contoh :

Selesaikanpersamaanberikut:
|x+1|=4
|2x-1|=|x+4|

Tentukansolusidariketaksamaanberikut:
|2x-1|<7
|2x-7| >3