12
BAB II
KAJIAN TEORI
A. Perkembangan Matematika dalam Peradaban Islam
Secara filosofis, matematika merupakan suatu disiplin ilmu yang
paling awal dikenal oleh umat manusia.
19
Matematika merupakan ilmu yang
menggunakan angka sebagai simbol untuk mempermudah menyelesaikan
masalah perhitungan dan pengukuran. Dalam bahasa Banhart, matematika
diartikan sebagai suatu ilmu yang berhubungan dengan jumlah-jumlah dan
diekspresikan dalam bentuk angka dan simbol.
20
Adanya angka yang
mewakili suatu jumlah bilangan tertentu, dapat dimudahkan dalam
menyelesaikan masalah kehidupannya. Abdulalim menyatakan bahwa setiap
kehidupan merupakan proses matematis, sehingga tidak mungkin ada hari
yang terlewatkan tanpa ada penggunaan matematika di dalamnya.
Matematika yang dikenal sebagai ibu dari segala ilmu pengetahuan
memiliki sejarah perkembangan yang begitu panjang mulai dari peradaban
Babylonia pada kurang lebih 4000 tahun yang lalu
21
hingga pada saat ini.
Banyak sekali ilmuwan besar yang terlahir untuk memperluas jangkauan ilmu
matematika, termasuk ilmuwan-ilmuwan muslim seperti al-Khawarizmi,
19
Steven G. Krantz. 2006. An Episodic History of Mathematics. St. Louis. h.iii.
20
Muqowim. 2012. Genealogi Intelektual Saintis Muslim.Kementerian Agama RI : Jakarta. h.113.
21
Luke Hodgkin. 2005. A History of Mathematics. Oxford University Press : New York. h.14.
13
Omar Khayyam, dan Sharaf al-Din al-Tusi.
22
Ketiga ilmuwan tersebut adalah
ilmuwan muslim yang berperan dalam memproklamirkan teori-teori dalam
matematika. Dengan adanya cendekiawan-cendekiawan muslim, terbukti
bahwa peradaban Islam turut serta memberikan kontribusinya dalam
mengembangkan keilmuan matematika.
Dalam konteks peradaban Islam, perkembangan matematika
setidaknya dipengaruhi oleh lima hal.
23
Pertama, dorongan normatif yang
bersumber dari Al-Qur‟an tentang perlunya mengoptimalkan nalar untuk
merenungkan ayat-ayat Tuhan. Allah berfirman dalam Q.S. Ali Imran ayat
190-191 sebagai berikut:
Artinya: “Sesungguhnya dalam penciptaan langit dan bumi, dan silih
bergantinya malam dan siang terdapat tanda-tanda bagi orang-orang yang
berakal. (yaitu) Orang-orang yang mengingat Allah sambil berdiri atau duduk
atau dalam keadan berbaring dan mereka memikirkan tentang penciptaan
22
Victor J. Katz. 2006. Stages in the History of Algebra with Implications for Teaching.
Educational Studies in Mathematics, 66. h.190-192.
23
Muqowim. 2012. Genealogi Intelektual Saintis Muslim.Kementerian Agama RI : Jakarta. h.152.
14
langit dan bumi (seraya berkata): „Ya Tuhan kami, tiadalah Engkau
menciptakan ini dengan sia-sia, Maha Suci Engkau, Maka peliharalah kami
dari siksa neraka‟.” Kedua, adanya tantangan realitas yang mengharuskan
saintis muslim untuk mengembangkan matematika sebagai ilmu yang akan
terus dibutuhkan dan bermanfaat dalam kehidupan sehari-hari, terutama
dalam urusan agama. Ketiga, adanya ilmu matematika sebagai hasil
peradaban pra-Islam dirasa perlu untuk dikembangkan lebih lanjut seiring
dengan semakin meluasnya wilayah kekuasaan Islam. Keempat, adanya
dorongan etos keilmuan dari saintis muslim. Kelima, adanya dukungan politik
dari penguasa, seperti pada masa keemasan Abbasiyyah dan Umayyah.
Perkembangan sains matematika dalam Islam dimulai sejak
diturunkannya Al-Qur‟an sebagai kitab suci. Allah melalui Al-Qur‟an
memberikan anjuran kepada makhluk-Nya untuk mempelajari matematika
guna mempermudahnya dalam menjalani aktivitas kehidupan, utamanya
dalam beribadah. Allah SWT berfirman dalam Q.S. Al-Ghashiyah ayat 17-21:
15
Artinya: “Maka apakah mereka tidak memperhatikan unta bagaimana dia
diciptakan? dan langit, bagaimana ia ditinggikan? dan gunung-gunung,
bagaimana ia ditegakkan? dan bumi bagaimana ia dihamparkan? maka berilah
peringatan, karena sesungguhnya kamu hanyalah orang yang memberi
peringatan.” Dengan melakukan pengamatan terhadap langit sekaligus benda-
benda langit misalnya bulan, seperti yang diperintahkan oleh Allah dalam
ayat di atas, maka seseorang akan dapat menentukan waktu shalat,
menentukan waktu imsak dan waktu diperbolehkannya berbuka puasa.
Kajian matematika secara ilmiah dimulai sejak umat Islam
bersentuhan dengan beberapa karya bidang matematika yang dihasilkan oleh
peradaban lain setelah ditaklukannya wilayah peradaban tersebut oleh umat
Islam, misalnya Alexandria dan Baghdad. Alexandria yang pada saat itu
dikenal sebagai wilayah pusat perkembangan matematika, ditaklukkan oleh
umat Islam pada tahun 641 Masehi.
24
Baghdad sebagai pusat pemerintahan
Abbasiyyah di bawah pimpinan al-Mansur, Harun al-Rasyid, dan al-Ma‟mun,
selanjutnya dijadikan sebagai pusat ilmu pengetahuan, sehingga di kota
tersebut segala aktivitas ilmiah seperti tukar menukar ilmu antar ilmuwan
melalui karya dan terjemahan dilakukan.
25
Cendekiawan muslim yang pertama kali melakukan kajian
matematika secara ilmiah adalah al-Khawarizmi. Al-Khawarizmi yang
24
Ibid. h.133.
25
Ibid.
16
memiliki nama lengkap Abu Ja‟far Muhammad ibn Musa al-Khawarizmi
dilahirkan di kota Baghdad, Iraq. Dari namanya dapat diketahui bahwa al-
Khawarizmi berasal dari Khawarizm, suatu daerah di sebelah selatan Laut
Aral, Asia Tengah. Sebelum menyumbangkan pemikirannya di bidang
aljabar, al-Khawarizmi banyak membantu al-Ma‟mun (putra dari Harun al-
Rasyid) untuk menerjemahkan buku-buku matematika yang berasal dari
Yunani, India, dan negara-negara pusat peradaban lain sebelum hadirnya
Islam.
Al-Khawarizmi menyumbangkan banyak karya yang luar biasa. Salah
satu diantara karyanya yang termasyhur adalah Hisab al-Jabr wa’I-
Muqabalah.
26
Isi dari karyanya tersebut adalah solusi analitis tentang
persamaan linear dan kuadrat. Hal inilah yang mendasari al-Khawrizmi
disebut sebagai pendiri ilmu aljabar, suatu ilmu yang mengajarkan bagaimana
menyatakan suatu jumlah yang belum diketahui kuantitasnya.
27
Menurut Victor J. Katz, berkembangnya aljabar sejak pertama kali
digunakan hingga sekarang ini dikelompokkan dalam tiga tahapan
berdasarkan ekspresi ide-ide yang digunakan. Ketiga tahapan tersebut
diantaranya: (1) tahap teoritis (rhetorical stage); (2) tahap penyingkatan
(syncopated stage); dan (3) tahap simbolik (symbolic stage). Tahap teoritis
merupakan tahap dimana seluruh pernyataan dan pendapat mengenai teori
26
Ibid. h.137.
27
Euler dalam Katz. 2006. Stages in the History of Algebra with Implications for Teaching.
Educational Studies in Mathematics, 66. h.185.
17
aljabar dinyatakan dalam bentuk kata atau kalimat. Pada tahap penyingkatan,
beberapa ketetapan aljabar dinyatakan dalam bentuk singkatan-singkatan.
Sedangkan pada tahap simbolik, seluruh bilangan, operasi, dan relasinya
dinyatakan dalam simbol-simbol yang telah disepakati.
Sama halnya dengan tahapan perkembangan berdasarkan ekspresi
gagasan yang digunakan, perkembangan konsep aljabar melewati empat
tahapan hingga yang kita kenal seperti pada saat ini. Tahapan-tahapan
perkembangan konsep tersebut adalah:
28
Tahapan geometri (geometric stage),
dimana sebagian besar konsep aljabar berupa permasalahan geometri; Tahap
penyelesaian persamaan statis (static equation solving), yakni tahap
menemukan bilangan yang memenuhi relasi tertentu; Tahap fungsi dinamis
(dynamic function stage), dimana isyarat atau tanda menjadi fokus penekanan
gagasan; dan yang terakhir yakni tahap abstrak (abstract stage), dimana
tujuan terpentingnya adalah membentuk struktur. Keempat tahapan tersebut
memiliki keterkaitan satu dengan yang lainnya, meski keempatnya hadir
secara bertahap.
Aljabar sebenarnya telah mulai dikenal oleh manusia sejak munculnya
peradaban bangsa Babylonia pada 4000 tahun yang lalu.
29
Zaman
digunakannya aljabar dalam peradaban bangsa Babylonia ini merupakan
tahap teoritis (rhetorical stage) yang mendasari perkembangan aljabar
28
Victor J. Katz. 2006. Stages in the History of Algebra with Implications for Teaching.
Educational Studies in Mathematics, 66. h.186.
29
Ibid. h.186.
18
selanjutnya. Bukti keberadaan aljabar pada masa peradaban Babylonia adalah
dari ditemukannya lembaran terbuat dari tanah liat yang memuat daftar
permasalahan kuadrat untuk menentukan panjang dan lebar suatu lahan yang
berbentuk persegi panjang.
30
Permasalahan kuadrat yang ada dalam lembaran
tanah liat tersebut seluruhnya berupa kalimat, tanpa ada simbol aljabar seperti
yang ada pada saat ini.
Dalam menyelesaikan masalah aljabar, bangsa Babylonia
menggunakan teknik penyelesaian geometri cut and paste. Teknik
penyelesaian cut and paste merupakan sebuah teknik penyelesaian masalah
yang menggunakan ide geometri.
31
Ide geometri yang digunakan oleh bangsa
Babylonia dikenal dengan aljabar awal, yakni awal digunakannya proses
penyelesaian masalah dengan manipulasi data yang sesungguhnya
berdasarkan aturan yang telah ditetapkan.
32
Contoh yang dapat diambil dari
lembaran tanah liat bangsa Babylonia adalah sebagai berikut
33
: Jumlah dari
panjang dan lebar suatu persegi panjang adalah
. Sedangkan luas persegi
panjang tersebut adalah
. Maka untuk menentukan panjang dan lebar dari
persegi panjang, bangsa Babylonia membagi
menjadi dua, sehingga
didapatkan
. Selanjutnya
dikuadratkan sehingga didapatkan
. Dari
30
Ibid. h.187.
31
Ibid.
32
Ibid. h.188.
33
Ibid. h.187.
19
luas yang didapat kemudian dikurangkan dengan luas awal yakni
,
sehingga akar dari hasil pengurangannya adalah
. Berdasarkan
perhitungan tersebut didapatkan panjang
, dan lebarnya adalah
.
Dari apa yang dilakukan oleh masyarakat Babylonia tersebut,
selanjutnya aljabar dikembangkan oleh cendekiawan muslim, seperti al-
Khawarzmi, Omar Khayyam, dan al-Tusi. Ketiga cendekiawan tersebut
berperan dalam meletakkan dasar-dasar aljabar dan penyelesaiannya. Al-
Khawarizmi seperti yang sedikit telah dibahas sebelumnya, ia menemukan
teori persamaan kuadrat sekaligus penyelesaiannya. Selanjutnya dari
pekerjaan al-Khawarizmi tersebut, Omar Khayyam dan al-Tusi berhasil
menemukan teori persamaan polinomial dan penyelesaiannya. Ilmu aljabar
yang dikembangkan oleh al-Khawarizmi serta rekan-rekannya selanjutnya
dikembangkan oleh bangsa Eropa menjadi aljabar abstrak seperti yang
dikenal pada saat ini.
1. Al-Khawarizmi
Aljabar yang sesungguhnya diperkenalkan oleh Mohammad Ibn
Musa al-Khawarizmi pada sekitar abad ke-8.
34
Al-Khawarizmi lahir pada
34
Ibid. h.190.
20
tahun 800 M dan meniggal dunia kurang lebih pada tahun 847 M.
35
Keluarganya memberikan nama al-Khawarizmi, sebab ia dilahirkan di
daerah Khawarizm atau Khorezm, yakni sebuah daerah yang terletak di
antara delta sungai Amu Dar‟ya dan Laut Aral di Asia Tengah.
Al-Khawarizmi menggunakan istilah kuadrat bilangan yang
belum diketahui jumlahnya (
), akar kuadrat bilangan yang belum
diketahui jumlahnya sebanyak suatu bilangan
36
(bx), dan suatu bilangan
yang berkedudukan sebagai konstanta dalam persamaan aljabarnya (c).
37
Istilah aljabar sendiri diambil dari judul buku yang ditulisnya di Baghdad
pada sekitar tahun 825 M, yakni Hisab al-Jabr wa’I-Muqabalah. Dalam
bukunya, al-Khawarizmi mendefinisikan jabr sebagai transposisi dari
satu sisi sebuah persamaan ke sisi yang lain
38
untuk menyeimbangkan
persamaan dengan menambahkan bilangan dengan kuantitas yang sama
pada kedua sisi persamaan.
39
Misalnya mentransformasikan
menjadi
. Sedangkan muqabalah diartikan
sebagai simplifikasi dari bentuk persamaan aljabar yang dihasilkan.
40
Misalnya yakni mereduksi
menjadi
.
35
Elizabeth Rogers. 2008. Islamic Mathematics. Universitas Illonis : Urbana. h.5.
36
Luke Hodgkin. 2005. A History of Mathematics. Oxford University Press : New York. h.101.
37
Ibid. h.110.
38
Muqowim. 2012. Genealogi Intelektual Saintis Muslim.Kementerian Agama RI : Jakarta. h.138.
39
Steven G. Krantz. 2006. An Episodic History of Mathematics. St. Louis. h.94.
40
Ibid.
21
Pada bagian pertama bukunya, al-Khawarizmi menuliskan solusi
suatu persamaan linear dan persamaan kuadrat. Al-Khawarizmi
mengklasifikasikan persamaan dalam enam tipe, dimana tiga di antaranya
adalah macam-macam persamaan kuadrat sekaligus langkah-langkah
penyelesaiannya.
41
Ketiga tipe persamaan kuadrat tersebut yakni:
42
(1)
squares and roots equal to numbers (
); (2) squares and
numbers equal to roots (
); dan (3) roots and numbers equal
to squares (
).
Dalam menyelesaikan ketiga persamaan kuadratnya, al-
Khawarizmi menggunakan teknik aljabar dan teknik geometri.
43
Misalnya dalam menentukan penyelesaian dari tipe persamaan kuadrat
berbentuk
. Al-Khawarizmi menentukan nilai x dengan
cara:
44
(1) menentukan nilai setengah dari b sehingga menjadi: (
); (2)
mengkuadratkan nilai dari setengah b tersebut sehingga menjadi: (
)
;
(3) mengurangkan (
)
dengan konstanta c sehingga menjadi: (
)
; (4) menentukan akar kuadrat dari (
)
, sehingga menjadi:
√(
)
; dan (5) menambahkan atau mengurangkan (
) yang telah
41
Ibid.
42
Steven G. Krantz. 2006. An Episodic History of Mathematics. St. Louis. h.97-98.
43
Ibid. h.98.
44
Ibid.
22
ditemukan sebelumnya dengan √(
)
, sehingga menjadi:
√(
)
atau
√(
)
. Namun perlu diketahui bahwa pada
saat itu, al-Khawarizmi (ummnya bangsa Arab) belum mengenal
bilangan negatif,
45
sehingga seluruh penyelesaian yang ditemukan pasti
berakar postif. Keseluruhan tipe persamaan kuadrat beserta langkah-
langkahnya oleh al-Khawarizmi masih ditulis dalam bahasa verbal tanpa
ada simbol yang digunakan, seperti yang dilakukan oleh bangsa
Babylonia (dalam hal ini penulis menerjemahkan sendiri apa yang
dimasksudkan al-Khawarizmi secara simbolik agar dapat lebih mudah
dipahamioleh pembaca).
Dalam menuliskan langkah-langkah penyelesaian persamaan
kuadratnya, al-Khawarizmi memberikan alasan menggunakan teknik
geometri cut and paste layaknya bangsa Babylonia. Namun ada beberapa
langkah dari teknik tersebut yang tidak digunakan. Al-Khawarizmi hanya
menggunakan langkah yang memang dianggap perlu untuk digunakan.
Misalnya:
46
Untuk menyelesaikan persamaan
, al-
Khawarizmi menggambarkan sebuah persegi dengan panjang sisi x,
kemudian menambahkan 4 buah persegi panjang yang ekuivalen dengan
panjang 2,5 dan lebar x sebagai berikut:
45
Ibid. h.101.
46
Ibid.
23
Gambar 2.1
Persegi dengan sisi x dan Persegi Panjang
Jika pada setiap ujung persegi panjang ditarik ruas garis dengan panjang
2,5, maka akan terbentuk 4 persegi seperti gambar di bawah ini.
Gambar 2.2
Persegi Baru dengan sisi
Karena diketahui
, maka luas persegi baru dengan sisi
adalah ( )
( ) .
24
Karena luas persegi baru adalah 64, maka panjang sisi persegi adalah 8
dan nilai .
Demikian salah satu cara al-Khawarizmi dalam memberikan
alasan langkah-langkah penyelesaiannya secara geometris. Hal lain yang
membedakan al-Khawarizmi dengan Bangsa Babylonia adalah
permasalahan yang ditulisnya. Al-Khawarizmi tidak hanya menentukan
panjang dan lebar suatu bangun segi empat, akan tetapi ia telah dapat
menggunakan permasalahan abstrak. Misalnya:
47
“I have divided ten into
two parts, and having multiplied each part by itself, I have put them
together, and have added to them the difference of the two parts
previously to their multiplication, and the amount of all this is fifty four”.
Permasalahan tersebut dinotasikan secara matematis menjadi (
)
( ) , kemudian direduksi menjadi
, dan diselesaikan berdasarkan algoritma yang ditulis oleh Al-
Khawarizmi.
Tipe permasalahan lain yang biasa digunakan oleh al-Khawarizmi
yakni: “Anda membagikan satu dirhem
48
kepada sekelompok orang yang
belum diketahui jumlahnya. Saat ini, anda menambahkan satu orang
dalam kelompok tersebut dan membagikan kembali satu dirhem kepada
mereka. Jumlah uang yang diterima oleh masing-masing orang setelah
47
Victor J. Katz. 2006. Stages in the History of Algebra with Implications for Teaching.
Educational Studies in Mathematics, 66. h.191.
48
Dirhem merupakan satuan mata uang yang digunakan oleh Arab pada abad pertengahan.
25
ditambahkan orang tersebut adalah 1/6 dirham kurangnya daripada
jumlah uang yang diterima oleh kelompok orang sebelumnya”.
49
Untuk
mengetahui jumlah orang yang menerima uang tersebut, kita dapat
menuliskan model matematika dalam persamaan:
(persamaan
tersebut bisa diperoleh melalui perbandingan senilai). Selanjutnya al-
Khawarizmi menggunakan algoritmanya untuk menyelesaikan
persamaan tersebut hingga ditemukan penyelesaian x=2.
Seusai menemukan teori persamaan k uadrat beserta
penyelesaiannya, al-Khawarizmi berkeinginan besar untuk dapat
menyelesaikan persamaan yang memiliki dua solusi atau lebih. Beberapa
cendekiawan muslim yang melanjutkan progress dari al-Khawarizmi
tersebut dalam adalah Omar Khayyam dan Sharaf al-Din al-Tusi. Belajar
dari sejarah perjalanan al-Khawarizmi, kedua cendekiawan muslim
tersebut mampu menemukan persamaan dengan solusi tunggal atau
ganda melalui persamaan polinomial berderajat tiga.
2. Omar Khayyam
Khayyam dalam bahasa Arab berarti pembuat tenda, nama
tersebut disematkan pada Omar Khayyam sebab ia berasal dari keluarga
yang berprofesi sebagai pembuat tenda. Omar Khayyam merupakan
49
Loc.cit. h.191.
26
seorang ahli matematika, astronomer, dan filusuf.
50
Namun
kemampuannya dalam bersyair membuat Omar Khayyam juga dikenal
sebagai seorang penyair dengan salah satu karyanya yang termasyhur
berjudul Rubaiyat. Omar Khayyam lahir pada tahun 1048 M di kota
Naishapur Persia (sekarang: Iran),
51
kota dimana ia juga menutup usianya
pada tahun 1123. Ia memiliki nama lengkap Ghiyat al-Din Abu‟l-Fath
Omar ibn Ibrahim al-Nisaburi al-Khayyami.
52
Omar Khayyam dikenal sebagai pemuda yang luar biasa cerdas.
Dalam usianya yang belum genap 25 tahun, ia telah mampu menulis
banyak buku tentang aritmatika, aljabar, dan musik.
53
O‟Connor dan
Robertson menyatakan bahwa Omar Khayyam adalah orang pertama
yang menemukan teori umum dari persamaan berderajat tiga. Omar
Khayyam mengembangkan persamaan aljabar polinomial berderajat tiga
dan menyatakan bahwa suatu persamaan berderajat tiga dapat memiliki
lebih dari solusi/penyelesaian. Ia mampu menunjukkan bagaimana
sebuah persamaan berderajat tiga memiliki dua solusi, namun masih
gagal menunjukkan persamaan berderajat tiga memiliki tiga solusi
sekaligus. Dalam bukunya yang berjudul Risala fi’l-barahin ‘ala masa’il
50
R.C. Archibald .1953. Notes on Omar Khayyam (1050-1122) and Recent Discoveries. PI MU
Epsilon Journal, vol.1, no.9. h.351.
51
David Godden. 2011. Edward Fitzgerald and Omar Khayyam. Humanism Ireland, no.116. h.18.
52
Robert Green. 2002. Omar Khayyam : Much More than a Poet. Montgomery College Student
Journal of Science and Mathematiccs, vol.1. tanpa halaman.
53
Ibid.
27
al-Jabr wa’l-Muqabala,
54
ia memperkenalkan lebih dari dua puluh jenis
persamaan kubik
55
dan memberikan dua cara alternatif dalam
menyelesaikan suatu persamaan berderajat tiga:
56
Pertama,
menggunakan pendekatan geometri melalui belahan kerucut. Ia
menentukan penyelesaian persamaan kubik melalui titik potong sebuah
parabola yang dipotong oleh sebuah lingkaran.
57
Karya Omar Khayyam
ini selanjutnya pada abak XVII menginspirasi Rene Descartes dalam
merelasikan geometri dan aljabar; dan Kedua, memperkirakan
kemungkinan solusi melalui metode Horner.
Omar Khayyam membagi persamaan menjadi dua, yakni
persamaan sederhana (persamaan binomial): (1) ; (2)
; (3)
; (4)
; (5)
; (6)
; dan persamaan
gabungan (persamaan trinomial: (7)
; (8)
; (9)
; persamaan kubik trinomial yang dikurangi dengan
persamaan kuadrat: (10)
; (11)
; (12)
; persamaan kubik trinomial: (13)
; (14)
; (15)
; (16)
; (17)
;
(18)
; persamaan tetranomial yang ditambahkan dengan
54
Jeffry A. Oaks. 2011. Al-Khayyam‟s Scientific Revision of Algebra. Suhayl, no.10. h.48.
55
Luke Hodgkin. 2005. A History of Mathematics. Oxford University Press : New York. h.116.
56
Victor J. Katz. 2006. Stages in the History of Algebra with Implications for Teaching.
Educational Studies in Mathematics, 66. h.192.
57
Robert Green. 2002. Omar Khayyam : Much More than a Poet. Montgomery College Student
Journal of Science and Mathematiccs, vol.1. tanpa halaman.
28
term ketiga sama dengan term keempat: (19)
; (20)
; (21)
; (22)
;
serta persamaan tetranomial yang ditambahkan dengan dua term sama
dengan dua term yang lain: (23)
; (24)
; dan (25)
.
Metode penyelesaian yang dijelaskan oleh Omar Khayyam jika
dideskripsikan dalam aljabar modern, maka dapat dituliskan sebagai
berikut: misalkan persamaan pangkat tiga yang diambil adalah
, untuk setiap . Dengan mendefinisikan suatu persamaan
parabola ( )
dan mengalikan persamaan kubik
dengan suatu variable x, maka persamaan tersebut menjadi
. Jika fungsi parabola tersebut dirubah menjadi fungsi
( )
,
kemudian bentuk fungsi tersebut disubstitusikan dalam persamaan
, maka akan didapatkan persamaan
.
Apabila persamaan tersbut kemudian difaktorkan menjadi (
)
(
)
, maka didapatkan suatu persamaan lingkaran yang berpusat di
titik (
) dan radiannya
. Akhirnya, akar positif dari persamaan
kubik tersebut adalah koordinat titik x dari titik potong lingkaran
tersebut, yakni:
.
29
Usaha Omar Khayyam dalam mengembangkan aljabar polinomial
berikutnya dilanjutkan oleh Sharaf al-Din al-Tusi atau yang lebih akrab
dikenal dengan nama al-Tusi. Al-Tusi mencoba menemukan kondisi-
kondisi kapan suatu persamaan pangkat tiga memiliki penyelesaian atau
tidak.
3. Al-Tusi
Satu lagi ilmuwan matematika yang menemukan konsep
persamaan aljabar polinom, yakni Sharaf al-Din al-Tusi. Dari namanya,
dapat diketahui bahwa al-Tusi terlahir di Kota Tus, Persia.
58
Sama halnya
dengan Omar Khayyam, al-Tusi juga memusatkan kajian aljabarnya pada
persamaan berderajat tiga berbentuk
. Al-Tusi mengawali
konsepnya dengan meletakkan persamaan berderajat tiga dalam bentuk
( ) .
Suatu penyelesaian persamaan menurutnya bergantung pada
fungsi pada ruas sebelah kirinya (apakah mencapai harga d atau tidak).
Untuk menentukannya, harus dicari terlebih dahulu nilai maksimum dari
fungsi tersebut. Al-Tusi menyatakan bahwa suatu fungsi akan mencapai
nilai maksimumnya ketika nilai
(dalam bukunya, al-Tusi tidak
menjelaskan bagaimana ia dapat menemukan nilai
). Suatu
58
Ibid.
30
persamaan yang nilai -nya kurang dari d, dapat dipastikan tidak
memiliki penyelesaian positif. Jika nilai x-nya sama dengan d, maka
fungsi tersebut memiliki satu penyelesaian, dan suatu fungsi yang
didapati nilai x-nya lebih dari d, fungsi tersebut memiliki dua
penyelesaian, dimana satu penyelesaian berada dalam interval 0 dan
dan satu yang lainnya di antara
dan b.
Kekurangan dari apa yang telah dilakukan al-Tusi adalah ia tidak
menuliskan dalam bukunya mengapa syarat-syarat tersebut dapat
ditemukannya. Juga sangat disayangkan lagi, sesudah al-Tusi tidak ada
cendekiawan muslim yang berkeinginan untuk menemukan alasannya
hingga saat ini. Salah satu kemungkinan sebab terjadinya hal tersebut
adalah karena al-Tusi sama sekali tidak menggunakan simbol dalam
menuliskan teorinya. Padahal suatu persamaan polinomial akan sangat
sulit dipelajari apabila tidak ada simbol yang digunakan dalam
menyatakan persamaan yang dimaksudkan.
Demikian teori-teori aljabar yang ditemukan oleh al-Khawarizmi,
Omar Khayyam, dan al-Tusi sebagai bukti keikutsertaan cendekiawan
muslim dalam perkembangan matematika. Apa yang mereka temukan
merupakan salah satu pijakan bagi perkembangan matematika modern,
khususnya aljabar modern (aljabar abstrak) yang kita kenal pada saat ini.
Namun sayangnya perkembangan matematika menuju aljabar abstrak
31
tidak lagi dipelopori oleh cendekiawan muslim, akan tetapi oleh orang-
orang Eropa yang banyak mengadopsi ilmu-ilmu aljabar dari
cendekiawan muslim di tanah Arab. Hal ini menandai awal dari
berkembangnya matematika di Eropa dan sebaliknya kemunduran (tidak
berkembangnya) matematika di negara-negara Islam, khususnya di
Timur Tengah.
4. Mengalirnya Matematika Hasil Peradaban Islam ke Eropa
Seiring dengan semakin meluasnya daerah kekuasaan Islam di
berbagai penjuru dunia, membuat matematika semakin berkembang di
tangan cendekiawan muslim. Namun semenjak abad XI, umat Islam
mendapatkan serangan dari berbagai sudut oleh pihak-pihak yang ingin
merebut kembali daerah-daerah kekuasaannya.
59
Di sebelah Timur Laut
Tengah, umat Islam mendapatkan serangan dari tentara Salib dalam
kurun waktu dua abad. Di Andalusia, umat Islam diusir oleh umat
Kristen di bawah pimpinan Ferdinan I. Di wilayah Timur, kekuasaan
khalifah Abbasiyah direbut oleh sultan Buwaihi dan kemudian oleh Bani
Saljuk. Kemunduran Islam pun semakin lengkap seiring dengan
datangnya Hulago
60
yang menyapu bersih Baghdad dari daratan bumi.
59
Musyrifah Sunanto. 2011. Sejarah Islam Klasik : Perkembangan Ilmu Pengetahuan Islam.
Kencana : Jakarta. h.222.
60
Hulago merupakan bangsa Mongol yang menghancurkan Baghdad pada masa pemerintahan
khalifah Abbasiyah.
32
Kota Toledo merupakan kota di Andalusia yang pertama kali
direbut oleh umat Kristen pada tahun 1085 M.
61
Akibat dari perebutan
kekuasaan tersebut ilmuwan-ilmuwan matematika beserta pusat sekolah
tinggi dan pusat ilmu pengetahuan seperti matematika beserta segala
isinya yang terdiri dari perpustakaan jatuh ke tangan Kristen di bawah
pimpinan Raja Alfonso dan Castillia. Namun, kedua raja tersebut
ternyata belum mengerti Bahasa Arab, sehingga mereka tidak dapat
mempergunakan berbagai peninggalan kaum muslim termasuk buku-
buku matematika yang ditulis dalam bahasa Arab.
Penduduk asli Andalusia yang menjadi intelektual, guru, dan ahli
matematika kemudian ditugaskan untuk tetap menjalankan tugasnya,
dengan catatan mereka harus berpindah keyakinan menjadi Kristiani.
Mereka dibebani untuk menerjemahkan buku-buku matematika dan
buku-buku pengetahuan hasil peninggalan peradaban Islam yang lainnya
dalam bahasa yang dapat dipahami oleh orang-orang Eropa. Guru-guru
asli yang berdiam di Andalusia diperintahkan untuk tetap menjalankan
kewajibannya mengajar di sekolah-sekolah dan perguruan tinggi. Melalui
jalan inilah berbondong-bondong masyarakat Eropa datang ke Baghdad
untuk dapat belajar berbagai ilmu di sana.
62
61
Ibid. h.223.
62
Ibid. h.225.
33
Untuk lebih mempermudah penyerapan ilmu-ilmu pengetahuan
(khususnya matematika) dari umat Islam, di Toledo didirikan Sekolah
Tinggi Terjemah. Penerjemah-penerjemah yang berasal dari Baghdad
akhirnya banyak yang dipindahkan ke Toledo untuk membantu
melancarkan apa yang telah direncanakan. Penerjemahan buku
matematika ke dalam bahasa Latin dipimpin oleh Gerard Cremona.
63
Buku-buku matematika yang diterjemahkan merupakan sisa dari
peristiwa pembakaran perpustakaan Kordova yang menyimpan banyak
buku pengetahuan hasil temuan cendekiawan muslim oleh umat Kristen.
Demikianlah upaya-upaya yang dilakukan oleh bangsa Eropa, sehingga
Toledo dijadikan sebagai pusat perkembangan ilmu pengetahuan yang
berasal dari umat Islam ke Eropa.
Teori aljabar yang ditemukan oleh cendekiawan muslim mulai
ditransmisikan ke Eropa pada abad XI dan XII. Banyak jalan yang
membuat aljabar sampai ke Eropa, dimana salah satunya melalui usaha
Leonardo Pisano (Fibonacci) dan Abraham bar Hiyya yang memimpin
penerjemahan buku yang ditulis oleh al-Khawarizmi, bersama dengan
rekannya yang lain, yakni Robert Chester dan Gerard Cremona.
64
63
Ibid. h.226.
64
Victor J. Katz. 2006. Stages in the History of Algebra with Implications for Teaching.
Educational Studies in Mathematics, 66. h.193.
34
Sementara itu, penyerangan yang dipimpin oleh Frederick II pada
akhirnya mendapatkan kemenangan pada tahun 1220 M.
65
Frederick
kemudian mendirikan sebuah Universitas pertama di Eropa pada tahun
1224 M, yang dinamainya Universitas Napels. Beberapa buku
matematika peninggalan kebudayaan Islam yang telah diterjemahkan ke
dalam bahasa Latin kemudian dijadikan sebagai daftar pelajaran di
Universitas tersebut.
Dengan masuknya ilmu pengetahuan hasil cendekiawan Muslim
di Universitas Napels, Eropa mengalami masa renaissance.
66
Ditambah
lagi dengan hadirnya alumnus pertama asal Eropa yang belajar di
Perguruan Tinggi Toledo bernama Abelard Bath yang kemudian menjadi
ahli matematika Inggris. Ia membawa pengaruh Toledo ke Inggris
dengan mendirikan Universitas Oxford dan Universitas Cambridge di
sana.
67
Universitas Oxford dan Universitas Cambridge selanjutnya
berkembang pesat menjadi perguruan tinggi yang begitu maju seperti saat
ini.
Sementara di Timur Tengah yang menjadi wilayah bermukimnya
sebagian besar umat Islam, matematika mengalami kemunduran di sana.
Sejak perang salib, pembakaran perpustakaan Kordova, dan perebutan
65
Loc.cit. h.231.
66
Renaissance Eropa merupakan masa perubahan cara berpikir, bekerja, dan kesungguhan dalam
melakukan riset dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan di Eropa.
67
Ibid. h.232.
35
kekuasaan oleh Eropa, negara Islam menjadi tertinggal dalam hal ilmu
pengetahuan. Akibatnya, kebodohan melanda Timur Tengah dan
kemiskinan pun tidak dapat dihindari.
68
Kemiskinan yang terjadi
menyebabkan Timur Tengah tidak dapat memberikan fasilitas yang
terbaik untuk mendukung riset pengembangan ilmu pengetahuan
layaknya di Eropa.
Pada abad ke-18, negara-negara Islam mulai bangkit dari
keterpurukannya setelah Mesir dikuasai bangsa Barat.
69
Umat Islam
mulai sadar bahwa Eropa telah memulai peradaban barunya guna
menyambut modernisasi. Berawal dari peristiwa tersebut, negara Islam
mulai membuka kontak dengan negara-negara Barat. Ide-ide baru yang
ada di Eropa mulai diadopsi. Namun liberalisme yang dianut oleh Barat
mulai menimbulkan kekhawatiran akan rusaknya akidah umat, sehingga
akses ilmu pengetahuan dibatasi dalam ruang tertentu. Eropa merupakan
negara Barat yang menjunjung tinggi kebebasan individual, dimana
setiap orang berhak melakukan apapun sesuai dengan keinginannya.
70
Islam dan umat Islam dibidik oleh liberalisme Barat, sebab Islam
memiliki potensi sumber daya manusia dan sumber daya alamnya yang
melimpah, serta memiliki potensi ideologis yang jika semua potensi ini
68
Makhmud Syafe‟i. 2010. Perkembangan Modern Dunia Islam. Yasindo Multi Aspek dan Value
Press Bandang : Subang. Tanpa Halaman.
69
Ibid.
70
Emma Lucya Fitrianty. 2012. Liberalisme Mengancam Keluarga Muslim .
(http://muslimdaily.net/opini/opini-17/liberalisme-mengancam-keluarga-
muslim.html#.UdwgGNgrkyo. Diakses pada 9 Juli 2013).
36
disatukan akan mampu menandingi sistem peradaban Barat.
71
Hal itulah
yang menyebabkan matematika di negara-negara Islam khususnya Timur
Tengah kurang berkembang jika dibandingkan dengan negara-negara lain
di Eropa.
Berdasarkan runtutan historical view perkembangan matematika,
khususnya aljabar di negara-negara Islam, dapat diketahui bahwa
matematika menjadi kurang berkembang setelah kurang lebih 3 abad
berjaya disebabkan oleh: (1) peristiwa terbakarnya perpustakaan Kordova
yang menjadi tempat diletakkannya hasil pemikiran cendekiawan-
cendekiawan muslim dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan, termasuk
matematika. Sementara buku-buku yang ada belum sempat dikopi atau
diperbanyak. Sehingga, generasi muslim tidak memiliki pedoman dalam
mengembangkan matematika; (2) kemiskinan yang terjadi setelah
peperangan umat Islam dan Kristen, sehingga negara tidak sanggup
memberikan fasilitas kepada warga negaranya untuk melakukan riset-
riset yang dapat membantu perkembangan matematika; dan (3)
kekhawatiran umat Islam akan terkontaminasi dengan aliran liberal jika
terlalu sering mengadakan kontak dengan bangsa Barat. Padahal dengan
banyak melakukan kontak sosial dalam bidang akademik akan dapat
meningkatkan motivasi untuk bersaing mengembangkan matematika.
71
Ibid.
37
Akibat kurang berkembangnya matematika di negara Islam
khususnya di Timur Tengah, kiranya perlu dilakukan suatu upaya untuk
mengembalikan kembali masa keemasan Islam seperti pada masa al-
Khawarizmi. Upaya awal yakni dengan mengambil pelajaran apa yang
telah terjadi berdasarkan tinjauan sejarah dan kemudian melakukan real
action-nya. Penulis dalam hal ini akan membahas peletakan genetic
moment sejarah dalam aktivitas pembelajaran matematika untuk
menunjukkan langkah nyata mencapai keinginan tersebut, dengan
terlebih dahulu mengkaji penyebab kejayaan matematika di Eropa pada
saat ini.
B. Perkembangan Matematika di Eropa
Pada abad V hingga XI Eropa Barat mengalami masa kegelapan
dalam hal ilmu pengetahuan, termasuk matematika. Kegelapan yang terjadi
dikarenakan banyaknya negara-negara di Eropa Timur yang dikuasai oleh
Islam sejak diutusnya Muhammad menjadi nabi dan rasul di muka bumi.
Masa kegelapan ilmu pengetahuan menjadikan Eropa Barat tertimpa
kebodohan. Tidak ada lagi ilmuwan penyelamat ilmu pengetahuan, kecuali
hanya pendeta-pendeta umat kristiani.
72
72
Mc Graw Hill. 2006. The History of Mathematics : an Introduction. A division of the Mc Graw
Hill companies : United States of America. h.271.
38
Pada abad XI umat Kristiani yang berasal dari Eropa mencoba keluar
dari kemelut kegelapannya dengan merebut kembali wilayah-wilayah bagian
Eropa yang telah dikuasi oleh umat Islam. Setelah wilayah-wilayah tersebut
dapat ditaklukkan, bangsa Eropa mulai melakukan penerjemahan buku-buku
matematika berbahasa Arab yang ditulis oleh cendekiawan muslim dalam
bahasa Latin. Penerjemahan dilakukan di bawah pimpinan Gerard Cremona
dengan mempekerjakan guru, sarjana, dan penduduk asli Arab. Seiring
dengan adanya penerjemahan buku-buku matematika Islam, warga negara
Eropa banyak berdatangan ke sekolah-sekolah di Baghdad untuk mempelajari
matematika yang telah dikembangkan oleh ilmuwan muslim di sana.
Meski bangsa Eropa sadar bahwa mereka telah menerjemahkan buku-
buku matematika hasil pemikiran cendekiawan muslim, namun mereka
berpendapat bahwa cendekiawan muslim tidak memberikan kontribusi secara
nyata terhadap perkembangan matematika.
73
Menurut bangsa Eropa,
cendekiawan muslim hanya mengambil apa yang telah ditulis oleh umat
Hindu pada abad-abad sebelumnya. Masyarakat Eropa menyebutkan bahwa
Umat Hindu telah mengembangkan beberapa obyek kajian yang juga
dikembangkan oleh umat Islam seperti sistem bilangan dan aritmatika.
Pada Abad XII, terjemahan buku-buku matematika dari Arab sampai
di Eropa. Sampainya buku-buku matematika di tanah Eropa mengiringi
jatuhnya perkembangan matematika cendekiawan muslim. Eropa benar-benar
73
Ibid. h.276.
39
berada dalam puncak kejayaannya pada masa renaissance, yakni pada abad
XIV. Renaissance Eropa pertama kali terjadi di Italia. Renaissance Eropa
berarti lahirnya kembali ilmuwan-ilmuwan
74
dalam bidang ilmu pengetahuan,
kesusasteraan dan seni, serta penghormatannya pada budaya klasik, atau
disebut juga dengan masa transisi dari kebudayaan feudalis dan gerejawi
menuju budaya sekular dan nasionalis.
75
Terdapat dua alasan mengapa Italia menjadi negara Eropa yang
pertama kali mengalami Renaissance. Kedua alasan itu adalah:
76
(1) Italia
merupakan satu-satunya negara yang tidak mengalami dampak buruk akibat
peperangan melawan umat Islam; dan (2) perekonomian negara Italia tidak
terhubung langsung dengan negara-negara lain yang pada abad pertengahan
dikuasai oleh umat Islam, sehingga dapat dikatakan bahwa perekonomian
Italia tetap stabil. Dengan adanya dua alasan tersebut, maka Italia dapat
menjadi tempat berkembangnya ilmu pengetahuan sekaligus memberikan
dukungan finansial kepada ilmuwan-ilmuwan yang ingin mengembangkan
ilmu pengetahuan bagi Eropa.
Renaissance di Eropa terjadi karena adanya dua faktor. Kedua faktor
tersebut yakni:
77
(1) jatuhnya konstantinopel di tangan Turki pada tahun
1453; dan (2) ditemukannya mesin cetak tipe metalik oleh Johann Gutenberg
74
Mc Graw Hill. 2006. The History of Mathematics : an Introduction. A division of the Mc Graw
Hill companies : United States of America. h.304.
75
Ibid. h.305.
76
Ibid.
77
Ibid.
40
pada tahun 1450, sehingga penggandaan buku teks yang berisi bahan belajar
dapat semakin mudah dilakukan. Situasi dan kondisi yang menguntungkan itu
mendesak bangsa Eropa untuk melahirkan kembali bibit-bibit ilmu
pengetahuan yang sebelumnya dikuasai oleh umat Islam di tanah Eropa.
Sejak Renaissance Eropa terjadi, riset ilmu pengetahuan menjadi
suatu kewajiban yang harus dilakukan oleh warga negarnya agar dapat
dijadikan aset bagi generasi selanjutnya dalam menempuh kehidupan di masa
mendatang.
78
Setiap warga negara Eropa mendapatkan kesempatan yang
sama untuk melakukan suatu penelitian dalam upaya mengembangkan ilmu
pengetahuan
79
termasuk matematika.
Dalam rangka mewujudkan impian tersebut, Eropa menyediakan
perpustakaan yang berisikan banyak ilmu pengetahuan
80
guna menunjang
riset yang akan dilakukan oleh warga negaranya. Eropa juga menyediakan
MRI scanner (sejenis social network) yang dapat digunakan untuk melihat
berbagai pengetahuan baru yang muncul di berbagai belahan dunia.
81
Dalam
hal edukasi, Eropa memberikan pelatihan pendidikan yang berkualitas bagi
warga negaranya agar dapat berpartisipasi dalam berbagai bidang penelitian
dan pengembangan teknologi.
82
Melihat kesungguhan dari bangsa Eropa
78
European Commission. 2009. European Research Area : Preparing Europe for a New
Renaissance. European Community : Belgium. h.6.
79
Ibid. h.7.
80
Ibid. h.8.
81
Ibid.
82
Ibid. h.9.
41
untuk mengembangkan ilmu pengetahuan, maka wajar jika Eropa pada saat
ini menjadi kiblat ilmu pengetahuan, termasuk matematika.
Salah satu ilmuwan matematika asal Eropa yang termasyhur namnya
adalah Leonardo Pisano (1180)
83
atau yang lebih dikenal dengan Fibonacci.
84
Leonardo Pisano merupakan ilmuwan yang memproklamirkan dirinya
sebagai orang yang pertama kali mengembangkan aljabar di Eropa setelah
sekian lama matematika berkembang pesat di Timur Tengah. Dalam bukunya,
Fibonacci menuliskan bilangan Hindu-Arab, penyelesaian persamaan aljabar,
kegunaan bilangan negatif, dan memperkenalkan simbol pecahan dalam
bentuk bar
. Selebihnya, Fibonacci begitu dikenal sebagai orang yang
memperkenalkan pola bilangan Fibonacci melalui kasus perkembangbiakan
kelinci milik ayahnya.
Pada tahun 1323, Nicole Oresme (ahli matematika asal Perancis) yang
pada saat itu mengajar di Universitas Paris, juga memiliki andil besar dalam
perkembangan aljabar, utamanya dalam memperkenalkan fungsi eksponen
dan aturan dalam menyelesaikannya.
85
Selain berperan dalam perkembangan
aljabar, Oresme juga menunjukkan keterkaitan antara kecepatan dan waktu
dalam suatu grafik, dimana keterkaitan tersebut menunjukkan gambaran
geometris suatu fungsi aljabar.
83
Mc Graw Hill. 2006. The History of Mathematics : an Introduction. A division of the Mc Graw
Hill companies : United States of America. h.280.
84
Fibonacci merupakan singkatan dari Fillius Bonaccio, yang berarti anak dari Bonaccio.
85
David dan Elise Price. 2012. Renaissance Math. Artikel disampaikan dalam konferensi
AMAYTC pada 8 November 2012 di Tarrant County SE. h.2.
42
Pada tahun 1460, ahli matematika Italia mulai mengembangkan
simbol operasi aljabar seperti p dan m untuk menyatakan plus dan minus yang
kemudian dikembangkan oleh ilmuwan Jerman (Johann Widman)
86
menjadi
(+) untuk plus dan (-) untuk minus.
87
Adapun persamaan aljabar yang pada
umumnya diselesaikan oleh ilmuwan matematika di Italia adalah persamaan
berderajat tiga dan empat. Teknik penyelesaian yang mereka gunakan hampir
sama dengan teknik penyelesaian persamaan yang ditemukan oleh al-
Khawarizmi pada abad IX.
Pada abad XVIII, Lagrange mencoba untuk menemukan kekurangan
teknik penyelesaian persamaan pangkat tiga dan pangkat empat yang pernah
dikemukakan oleh Fibonacci. Menurut Lagrange, penyelesaian dari Fibonacci
tidak dapat digunakan pada persamaan berderajat lima dan seterusnya. Untuk
menutup kekurangan dari Fibonacci, Lagrange memperkenalkan gagasan
permutasi untuk menemukan solusinya.
88
Ide Lagrange kemudian pada abad
ke-19 dilanjutkan oleh Abel. Abel menyimpulkan bahwa suatu persamaan
berderajat lima tidak memiliki solusi aljabar secara umum.
89
Sesudah Abel, muncullah Galois yang mengembangkan suatu metode
untuk menemukan syarat kondisi suatu persamaan polinomial agar dapat
diselesaikan. Metode Galois disebut dengan metode grup. Dengan
86
Ibid.
87
Mc Graw Hill. 2006. The History of Mathematics : an Introduction. A division of the Mc Graw
Hill companies : United States of America. h.317.
88
Victor J. Katz. 2006. Stages in the History of Algebra with Implications for Teaching.
Educational Studies in Mathematics, 66. h.196.
89
Ibid.
43
ditemukannya metode grup oleh Galois, maka aljabar mulai keluar dari
jalurnya yang berusaha menemukan penyelesaian suatu persamaan, dan lebih
berkonsentrasi dalam mencari struktur umum dalam berbagai objek
matematika, dimana objek itu dinamakan dengan tetapan aksioma.
90
Dalam tulisan ini akan dibahas tiga ilmuwan matematika yang
memiliki keterkaitan dengan persamaan aljabar yang dikembangkan oleh al-
Khawarizmi, Omar Khayyam, dan al-Tusi, yakni Leonardo Pisano
(Fibonacci), Nicolo Tartaglia dan Girolamo Cardano, serta Bombelli.
Keempat ilmuwan spesialisasi aljabar asal Eropa tersebut mengembangkan
persamaan aljabar dengan ciri khasnya masing-masing.
1. Leonardo Pisano
Leonardo Pisano dilahirkan di Pisa pada tahun 1175. Ia memiliki
beberapa nama yang berbeda, di antaranya Leonardo Fibonacci
(Fibonacci) dan Leonardo Bigollo
91
. Ia menjalani pendidikannya di Afrika
Utara, dimana ayahnya dulu bekerja sebagai pegawai bea cukai. Seperti
yang diketahui pada saat ini, nama Fibonacci banyak dikenal dalam
sebuah pola bilangan yakni 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … dst. Bilangan tersebut
dikenal dengan nama bilangan Fibonacci.
90
Ibid. h.197
91
Dalam dialek Tuscan, Bigollo berarti pelupa atau orang bodoh.
44
Sumber inspirasi pola bilangan 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … dari
Fibonacci adalah kelinci milik ayahnya. Ketika Fibonacci sedang melihat
kelinci sedang bermain di halaman rumahnya, ia berpikir bahwa jika
seekor kelinci betina melahirkan sepasang kelinci, maka jumlah kelinci
yang dimiliki ayahnya akan menjadi tiga ekor. Apabila seekor dari salah
satu kelinci tersebut kembali melahirkan sepasang kelinci, sedangkan
pasangan yang lainnya hanya melahirkan seekor kelinci, maka jumlah
induk dan keturunannya menjadi lima ekor (induk pertama tidak
diikutsertakan dalam penjumlahan). Begitu pula seterusnya apabila dua
dari tiga ekor kelinci tersebut melahirkan sepasang kelinci, sedangkan
satu yang lain hanya melahirkan seekor kelinci. Maka jumlah keluarga
kecil kelinci tersebut akan berjumlah delapan ekor kelinci, dan seterusnya.
Dari pengamatannya tersebut, maka terbenuk suatu pola bilangan yang
saat ini dikenal dengan pola bilangan Fibonacci.
Ketika Fibonacci masih muda, ia banyak melakukan ekspedisi ke
negara-negara di berbagai belahan dunia. Tujuan dari ekspedisinya adalah
mempelajari sistem aritmatika yang digunakan dalam perdagangan di
negara-negara yang dikunjunginya, dan kemudian kembali ke Pisa (Italia)
pada tahun 1202 untuk menuliskan hasil ekspedisinya pada sebuah buku
yang berjudul Algebra et Almuchabala atau yang lebih dikenal dengan
judul Liber Abaci (buku menghitung). Buku tersebut berisi tentang sistem
bilangan Hindu-Arab.
45
Menurut Fibonacci, pada awalnya sistem bilangan berasal dari
India, yakni pada kisaran abad ke-3. Sistem bilangan itu selanjutnya
dibawa ke Baghdad pada abad ke-8 dan tiba di Eropa dengan dibawa oleh
Moorish Spain. Asal keberadaan dari sistem bilangan itu membuat
Fibonacci menyebut sistem bilangan yang dituisnya dengan nama sistem
bilangan Hindu-Arab.
92
Selain menulis buku tentang bilangan, pada tahun 1225 Fibonacci
menulis buku aljabar yang berjudul Liber Quadratorum (buku mengenai
persamaan kuadrat). Liber Quadratorum yang ditulisnya dipersembahkan
secara khusus pada Kaisar Frederick II dan John Palermo yang telah
banyak berjasa dalam mengasah kemampuannya dalam bidang
matematika. Salah satu permasalahan yang diberikan oleh John Palermo
pada Fibonacci adalah menentukan kuadrat suatu bilangan yang apabila
ditambah atau dikurangi lima, maka masing-masing hasilnya adalah
(49/12)
2
dan (31/12)
2
.
93
Dalam menentukan solusi dari permasalahan tersebut, Fibonacci
masih menggunakan cara dan teknik yang tidak berbeda dengan solusi
yang dituliskan oleh cendekiawan muslim. Fibonacci hanya
mengkomunikasikan apa yang telah ada di zaman keemasan Islam dalam
bahasa latin. Hal yang membuat berbeda adalah ketika cendekiawan
92
Mc Graw Hill. 2006. The History of Mathematics : an Introduction. A division of the Mc Graw
Hill companies : United States of America. h.281
93
Ibid. h.282.
46
muslim masih menuliskan keseluruhan teori-teori aljabar dalam bentuk
kata-kata tanpa ada simbol sama sekali, maka Fibonacci telah
menggunakan singkatan-singkatan seperti c (cossa) untuk menyatakan
sesuatu, ce (censo) untuk menyatakan kuadrat, cu (cube) untuk
menyatakan pangkat tiga, dan R (Radice) untuk menyatakan akar dalam
menjelaskan solusi persamaan aljabarnya.
Demikianlah kontribusi Leonardo Pisano (Fibonacci) dalam
mengembangkan matematika, khususnya aljabar di Eropa. Meski ia tidak
memiliki solusi persamaan aljabar yang berbeda dari cendekiawan
muslim, namun Leonardo Pisano telah menyumbangkan pemikirannya
dalam menyingkat suatu istilah untuk mempermudah menuliskan
permasalahan aljabar. Penyingkatan tersebut yang selanjutnya
dikembangkan oleh cendekiawan-cendekiawan Eropa dalam aljabar
abstrak seperti pada saat ini.
2. Nicolo Tartaglia dan Girolamo Cardano
Nicolo Tartaglia merupakan ilmuwan aljabar yang lahir di
Brescia, Italia bagian Utara pada tahun 1500 dan wafat pada tahun 1557.
Tartaglia
94
memiliki nama asli Fontana. Nama Tartaglia diberikan karena
ia pernah mendapatkan serangan pedang dari seseorang hingga mengenai
94
Tartaglia berarti seseorang yang cara bicaranya gagap.
47
mulut dan wajahnya ketika usianya masih muda. Karena sabetan pedang
tersebut cukup keras, akhirnya cara bicara Tartaglia menjadi gagap.
Tartaglia berasal dari keluarga yang sangat miskin. Ibunya adalah
seorang janda. Namun dengan semangat yang sangat kuat, membuat
ibunya terus mengumpulkan sedikit demi sedikit uang untuk membeli
keperluan sehari-harinya agar tetap dapat memberikan pendidikan kepada
putranya hingga dapat belajar menulis dan membaca. Namun ketika
pembelajaran yang diikuti Tartaglia masih sampai pada pengenalan huruf
K, ternyata uang pendidikan dari ibunya telah habis. Hal ini membuat
Tartaglia tidak dapat lagi belajar pada ahli tulis tersebut. Namun karena
keinginannya yang sangat besar untuk dapat membaca dan menulis,
Tartaglia memutuskan untuk melakukan tindakan yang tidak patut untuk
dilakukannya. Ia mencuri buku catatan dari gurunya untuk dipelajarinya
secara otodidak. Adapun sebagai papan medianya dalam belajar, Tartaglia
menggunakan batu nisan yang ada pada pemakaman umum di sekitar
tempat tinggalnya.
Apa yang ia lakukan sejak kecil berlanjut hingga ia memasuki
usia remajanya. Tartaglia melengkapi kemampuannya dalam bidang
matematika berkat usaha belajarnya sendiri tanpa bantuan orang lain.
Hingga pada akhirnya ia dipercaya untuk menjadi tenaga pengajar di
Universitas Venis Italia.
48
Pada tahun 1530 Tartaglia menerima dua buah permasalahan dari
salah seorang temannya. Permasalahan tersebut adalah sebagai berikut:
95
(1) temukan suatu bilangan yang pangkat tiganya jika ditambahkan
dengan tiga kali kuadratnya sama dengan lima; dan (2) temukan tiga buah
bilangan yang bilangan pertamanya adalah lebih banyak dua dari bilangan
pertamanya dan bilangan ketiganya juga lebih banyak dua dari bilangan
keduanya, sehingga hasil kali ketiga bilangan tersebut adalah 1000. Ia
terus berusaha menemukan solusi dari kedua permasalahan di atas,
sehingga pada tahun 1535 ia berhasil menemukan solusi tersebut. Namun
sayangnya ia tidak ingin mempublikasikan hasilnya, hingga seorang
pemuda bernama Girolamo Cardano berusaha meyakinkan Tartaglia agar
ia bersedia menceritakan solusi yang ia temukan. Meski pada awalnya
Tartaglia menolak, namun pada akhirnya usaha Cardano tersebut
membuahkan hasil. Cardano diberikan izin untuk mempelajari metode
penyelesaian dari Tartaglio, meski teks yang diberikan kepada Cardano
adalah teks yang masih tidak jelas. Cardano berjanji dengan sungguh-
sungguh bahwa ia tidak akan mempublikasikan hasil penemuan tersebut
sebelum Tartaglia sendiri yang mempublikasikannya.
95
Mc Graw Hill. 2006. The History of Mathematics : an Introduction. A division of the Mc Graw
Hill companies : United States of America. h.321
49
Girolamo Cardano memiliki nama asli Hieronymus Cardano.
96
Ia
juga dikenal dengan nama Jerome Cardas dalam versi Inggrisnya.
97
Cardano lahir pada tahun 1501 M dan tutup usia pada tahun 1576 M.
Ayahnya bernama Fazio Cardano dan ibunya bernama Chiara Micheria.
Fazio Cardano adalah seorang pengacara di Italia. Namun ia banyak
mengetahui ilmu matematika, khususnya di bidang geometri. Hal ini
disebabkan karena ia kerap melakukan diskusi seputar matematika dengan
seorang pakar matematika di bidang geometri, yakni Leonardo da Vinci.
Ketertarikannya pada matematika membuat Fazio dipercaya untuk
mengajar geometri di Universitas Pavia dan Yayasan Pitti, Milan.
Keahlian yang dimiliki oleh Fazio kemudian diturunkan kepada putranya,
yakni Girolamo Cardano.
Girolamo Cardano merupakan seorang ahli aljabar yang
menemukan solusi suatu persamaan polinomial berderajat dua, tiga, dan
empat.
98
Metode penyelesaian yang digunakan oleh Cardano
(penyelesaian Cardano ini diadopsi dari penyelesaian Tartaglio) dalam
persamaan berderajat tiga
adalah dengan mereduksi
persamaan berderajat tiga tersebut dalam persamaan berderajat dua.
99
Reduksi tersebut dilakukan dengan cara memanipulasi variabel yang akan
96
Steven G. Krantz. 2006. An Episodic History of Mathematics. St. Louis. h.124.
97
Ibid.
98
Pada sub ini, hanya akan dibahas mengenai persamaan aljabar berderajat tiga. Hal ini bertujuan
untuk menyelaraskan perkembangan aljabar yang ditemukan antara Fibonacci dan Omar Khayyam
serta al-Tusi.
99
Loc.cit. h.136.
50
ditentukan penyelesaiannya menjadi u-v=x dan uv=(c/3)
3
. Setelah
terbentuk suatu persamaan kuadrat, penyelesaian persamaan dapat
dilakukan dengan menggunakan metode yang telah dituliskan oleh al-
Khawarizmi dalam bukunya.
Misalnya dalam menyelesaikan suatu persamaan
.
Dengan terlebih dahulu memisalkan 2 menjadi uv (2 diperoleh dari 6/3),
maka didapatkan persamaan baru sebagai berikut:
( ) . Jika
x dalam persamaan kemudian dimisalkan dengan , maka persamaan
menjadi: ( )
( )( ) . Apabila direduksi, maka akan
dihasilkan suatu persamaan
. Dari persamaan tersebut, dapat
dituliskan persamaan
. Sedangkan dari permisalan awal
bahwa , maka didapat dan
. Jika nilai
disubstitusikan ke
, maka
. Ketika
kemudian dimisalkan dengan , maka persamaan menjadi .
Dengan mengalikan persamaan dengan pada kedua ruasnya, akan
didapatkan
. Sehingga,
. Apabila
persamaan diselesaikan dengan menggunakan teknik penyelesaian al-
Khawarizmi, maka akan didapatkan penyelesaian
√ .
Dengan mensubstitusikan nilai dalam permisalan
, maka
akan didapatkan
√ . Sehingga, nilai
51
√ √
√ √
atau √ √
√ √
.
Demikianlah hasil karya Tartaglia dan Cardano dalam
perkembangan aljabar. Keduanya memberikan titik terang bahwa suatu
persamaan kubik dapat ditentukan solusinya dengan cara mereduksi
persamaan kubik menjadi persamaan kuadrat. Teknik reduksi tersebut
dapat dijadikan sebagai salah satu inspirasi alternatif penyelesaian dalam
mendapatkan solusi suatu persamaan aljabar dalam derajat yang lebih
tinggi.
3. Rafael Bombelli
Rafael Bombelli dilahirkan pada tahun 1526 dan menutup usia
pada tahun 1573. Bombelli merupakan putra dari seorang pedagang wol,
sedangkan Bombelli sendiri adalah seorang insinyur dan arsitek, sehingga
wajar apabila Bombelli tidak pernah menjalani studi formalnya untuk
mempelajari matematika di perguruan tinggi. Tidak ada alasan yang
menjelaskan mengapa ia berbuat demikian, namun Jayawardene
menyatakan bahwa Bombelli adalah orang yang sangat gemar belajar
100
,
sehingga wajar apabila ia menjadi ahli aljabar tanpa harus menjalani studi
formal. Hingga suatu saat ia diminta oleh salah seorang lulusan
100
Roy Wagner. The Geometry of the Unknown Bombelli’s Algebra Linear. h.231.
52
Universitas Roma untuk bekerja sama dalam menerjemahkan karya tulis
dari Diophantus.
Bombelli berargumen bahwa orang sebelum dirinya yang benar-
benar melakukan kajian terhadap aljabar dengan sangat dalam adalah
Cardano. Hanya saja menurut Bombelli, Cardano tidak dapat menjelaskan
teorinya dengan jelas.
101
Untuk menyempurnakan apa yang telah ditulis
oleh Cardano dalam bukunya yang berjudul Ars Magna, Bombelli
memutuskan untuk menulis sebuah buku risalat aljabar berjudul
L’Algebra secara sistematis. Karyanya selesai pada tahun 1572 (satu
tahun sebelum akhirnya ia meninggal dunia) dalam bentuk permasalahan
abstrak.
Pada tahun 1560 Bombelli menjadi seorang ahli aljabar pertama
yang dengan berani memproklamirkan bahwa suatu persamaan dengan
akar negatif tetap memiliki penyelesaian. Kemampuan Bombelli dalam
mengoperasikan bilangan imaginer, membantunya menunjukkan
kelemahan dari formula aljabar dari Cardano yang hanya dapat
menunjukkan penyelesaian dalam bentuk akar bilangan real. Bombelli
mengasumsikan suatu bilangan imaginer sama seperti bilangan real pada
umumnya dengan menunjukkan bahwa jumlah dari dua buah bilangan
101
Mc Graw Hill. 2006. The History of Mathematics : an Introduction. A division of the Mc Graw
Hill companies : United States of America. h.327.
53
imaginer dapat menghasilkan suatu bilangan real
102
( (
)
dan ( )
, untuk a, b anggota bilangan real dan i bilangan
imaginer √ ).
Misalnya dalam suatu persamaan kubik
. Dengan
menggunakan metode penyelesaian Cardano dan Tartaglia, persamaan
kubik tersebut akan menghasilkan nilai √ √
√ √ √
dan √ √
√ √ √
(u dan v
merupakan bilangan kompleks yang mengandung bilangan imaginer √
dan bilangan real 2 serta √ ). Sehingga akan didapatkan penyelesaian
√ √ √
√ √ √
. Berdasarkan teori
Bombelli yang menyatakan bahwa ( )
dan
( )
, maka diperoleh ( √ ) ( √ ) .
Begitulah keberanian Bombelli dalam memperkenalkan akar
negatif pada suatu persamaan aljabar yang oleh cendekiawan sebelumnya
tidak pernah dilakukan, meski dalam bentuk yang sangat sederhana.
Karena karyanya itu, saat ini biangan imaginer dikenal untuk melengkapi
sistem bilangan kompleks yang terdiri dari bilangan real dan imaginer.
Demikian paparan mengenai empat cendekiawan muslim asal Eropa
yang mengembangkan aljabar lebih lanjut dan tentunya lebih sempurna dari
102
Ibid.
54
apa yang telah ditemukan oleh cendekiawan-cendekiawan sebelumnya. Dari
keempat ilmuwan tersebut selanjutnya di Eropa terus bermunculan ahli
aljabar baru seperti Emmy Noether (1882-1935) yang mulai mengembangkan
aljabar abstrak tingkat analisis, yakni grup dan ring.
Melalui runtutan historis di atas dapat diketahui bahwa penyebab dari
berkembangnya aljabar di Eropa adalah karena kesungguhan dari bangsa
Eropa untuk benar-benar mengembangkan ilmu pengetahuan setelah
renaissance. Kesungguhan tersebut kemudian semakin berkembang dengan
adanya apresiasi dari pemerintah Eropa yang senantiasa memberikan
dukungan kepada warga negaranya baik berupa dukungan moril, finansial,
dan fasilitas untuk mengembangkan ilmu pengetahuan. Kedua faktor tersebut
menjadi hal yang patut untuk dijadikan pelajaran bagi bangsa-bangsa lain
khususnya umat Islam agar ilmu pengetahuan khususnya matematika menjadi
berkembang dan kembali berjaya di tangan umat Islam.
C. Peletakan Genetic Moment Sejarah dalam Pembelajaran Matematika
Dalam suatu pembelajaran, konsep matematika pada umumnya
disajikan kepada siswa dalam bentuk jadi dengan teknik dan aplikasi yang
disajikan secara sistematis dan logis,
103
tanpa ada pengantar darimana dan
mengapa konsep dapat ditemukan. Kultur pembelajaran yang demikian
103
Bradshaw, Cartney, dan Mann. 2010. Using History in Mathematics Teaching – Some Open
Education Resources for the Future. Artikel disajikan dalam Konferensi CETL-MSOR. h.23.
55
tentunya sangat disayangkan, sebab matematika merupakan subjek kajian
yang memiliki sejarah panjang dan menakjubkan.
Sejarah matematika dan matematika merupakan satu kesatuan yang
menunjukkan bentuk asli sebuah pengetahuan.
104
Matematika merupakan
produk pegetahuan, sedangkan sejarah matematika merupakan asal
terbentuknya pengetahuan matematika. Keduanya menunjukkan keterkaitan
satu dengan lainnya, sehingga matematika dan sejarah matematika harus
dapat disuguhkan dalam suatu pembelajaran yang menunjukkan
perkembangan konsep-konsep matematika yang dipelajari.
105
Suatu
pembelajaran matematika seharusnya dapat merangkum perjalanan sejarah
didapatkanya suatu konsep, agar dapat diketahui bahwa matematika pada
hakikatnya hidup, akan terus berubah, dan bukan sekedar bagian dari suatu
hasil ketetapan.
106
Dengan mempelajari sejarah matematika, maka sesorang akan dapat
meningkatkan pengertian atau pemahaman yang mendalam dan lebih baik
tentang masa lampau dan sekarang dalam relasinya dengan masa yang akan
datang.
107
Pemberian pengetahuan akan sejarah matematika dapat
meningkatkan kesadaran akan suatu dimensi yang paling mendasar dari
104
Michael N. Fried. 2007. Didactic and History of Mathematics : Knowledge and Self
Knowledge. Educational Studies in Mathematics, 66. h.203.
105
Panasuk dan Horton. Tanpa tahun. Integrating History of Mathematics into Curriculum : What
are the Chances and Constraints. International Electronic Journal of Mathematics Education,
vol.7, no.1. h.4.
106
Ibid.
107
Erlina Wiyanarti. Tanpa tahun. Model Pembelajaran Kontekstual dalam Pengembangan
Pembelajaran Sejarah. h.2.
56
keberadaan manusia, yakni kontinuitas.
108
Kontinuitas merupakan gerakan
peralihan secara terus menerus dari masa lampau menuju masa kini dan masa
depan.
109
Pengetahuan sejarah matematika berperan dalam memaparkan
perkembangan keterampilan berpikir matematika para ilmuwan. Sehingga
pada akhirnya siswa dan pemikir matematika yang lain akan mendapatkan
inspirasi dan hikmah dari kisah-kisah pendahulunya, sehingga mampu
mendorong pola pikir rasional dan menghargai apa yang telah ditemukan oleh
para ilmuwan yang mengembangkan berbagai bidang kajian matematika.
Dalam sebuah proses pembelajaran, sejarah matematika memegang
peranan penting dalam membentuk pemahaman siswa bahwa konsep
matematika bukan sebuah sistem pengetahuan yang tetap dan final, akan
tetapi sebuah sistem yang akan terus berjalan dan berkaitan dengan cabang-
cabang ilmu pengetahuan yang lain
110
seperti fisika, ekonomi, geometri, dan
lainnya. Panasuk dan Horton menyebutkan bahwa terdapat tiga fungsi sejarah
matematika dalam sebuah proses pembelajaran.
111
Pertama, dengan
mempelajari sejarah matematika, siswa akan mendapatkan dasar dalam
memperoleh pengetahuan yang beragam serta mendalam. Kedua, dengan
108
Ibid. h.2-3.
109
Ibid. h.3.
110
Furinghetti, Somaglia, Tzanakis, dan Arcavi dalam Farmaki dan Paschos. 2007. Employing
Genetic „Moments‟ in the History of Mathematics in Classrooms Activities. Educational Studies in
Mathematics, 66. h.84-85.
111
Panasuk dan Horton. Tanpa tahun. Integrating History of Mathematics into Curriculum : What
are the Chances and Constraints. International Electronic Journal of Mathematics Education,
vol.7, no.1. h.3.
57
mempelajari sejarah matematika, siswa akan mendapatkan pengetahuan
bagaimana dan mengapa konsep dasar matematika terus berkembang
sepanjang waktu. Ketiga, dengan mempelajari sejarah matematika, akan dapat
meningkatkan ketertarikan siswa dalam mempelajari matematika. Ketiga
fungsi tersebut akan berjalan dengan optimum apabila guru dapat meletakkan
dengan benar peristiwa-peristiwa dalam sejarah (genetic moment) terkait
dengan konsep matematika yang sedang dipelajari dalam aktivitas
pembelajaran.
Peletakan genetic moment sejarah dalam aktivitas pembelajaran
merupakan integrasi sejarah matematika ke dalam praktik pembelajaran
menggunakan ide genetic, dengan menunjukkan langkah-langkah krusial
dalam membangun berbagai konsep matematika.
112
Melalui peletakan genetic
moment siswa tidak hanya dapat memberikan penghargaan pada para
cedekiawan akan hadirnya ide-ide serta konsep matematika dan
perkembangannya pada masa lalu. Namun juga yang tidak kalah penting,
dapat menginspirasi guru utuk menciptakan serangkaian aktivitas
pembelajaran dengan tujuan yang spesifik, yakni mendapatkan esensi atau
pokok pemahaman matematika siswa.
113
112
Furinghetti & Somaglia dalam Vassiliki & Theodorus. 2007. Employing Genetic „Moments‟ in
the History of Mathematis in Classroom Activities. Educational Studies in Mathematics, 66. h.84.
113
Ibid. h.104.
58
Terdapat dua tujuan dari upaya meletakkan genetic moment sejarah
matematika dalam pembelajaran di kelas.
114
Kedua tujuan tersebut yakni
untuk mengenalkan matematika lebih dalam kepada siswa, serta untuk
merefleksikan kembali apa yang telah dikembangkan oleh cendekiawan
matematika terdahulu dalam proses pembelajaran pada saat ini.
Dalam rangka menapai tujuan serta mengoptimumkan fungsi-fungsi
peletakan genetic moment sejarah dalam pembelajaran matematika, maka
seorang guru perlu mengetahui dan kemudian menerapkan tahapan-tahapan
pembelajaran yang sesuai. Tahap-tahap tersebut adalah sebagai berikut:
115
(1)
mengetahui sumber sejarah; (2) memilih topik sejarah yang sesuai; (3)
menganalisis kebutuhan kelas; (4) merencanakan aktivitas kelas, dengan
mempertimbangkan arti, tujuan, dan dasar aktivitas; (5) melaksanakan proyek
yang telah direncanaan; dan (6) mengevaluasi hasil pelaksanaan proyek.
Keenam langkah tersebut harus diperhatikan dengan baik agar pembelajaran
yang meletakkan genetic moment di dalamnya dapat berjalan dengan baik.
Terdapat banyak cara yang dapat dilakukan oleh guru dalam
meletakkan genetic moment sejarah matematika dalam pembelajaran,
116
tergantung pada gaya mengajar, keyakinan, dan pilihan mengenai topik
114
Furinghetti. (1997). History of Mathematics, Mathematics Education, School Practice: Case
Studies in Linking Different Domains. For the Learning of Mathematics, 17(1), 55 – 61. h.59.
115
Furinghetti. 2000b. The long tradition of history in mathematics teaching. In V. Katz (Ed.),
Using history to teach mathematics: An international perspective. Washington, DC: The
Mathematical Association of America.
116
Siu. 2000. Historical Support for Particular Subjects. In J. Fauvel & J. van Maanen (Eds.),
History in mathematics education: An ICMI book. Dordrecht, The Netherlands: Kluwer Academic
Publishers. h. 242.
59
sejarah yang ingin dimunculkan. Dalam membentuk pemahaman matematika
siswa, Mc Cartney berpendapat bahwa genetic moment sejarah dalam
pembelajaran matematika dapat diletakkan dalam dua tempat.
117
Kedua tempat
itu diantaranya sebagai anekdot dan konteks materi pada modul pembelajaran.
Sebagai anekdot, sejarah matematika bukan diartikan sebagai suatu bahan
belajar yang dapat direndahkan seenaknya atau dijadikan bahan tertawaan
seperti anekdot pada umumnya, akan tetapi sebagai media yang dapat
menambah ketertarikan siswa dalam mempelajari matematika. Adapun
sebagai konteks materi pada modul pembelajaran, sejarah matematika dapat
direpresentasikan melaui urutan penemuan suatu konsep kuno sebelum
munculnya konsep modern yang ada pada saat ini di dalam menyelesaikan
suatu permasalahan matematika.
Pernyataan dari Mc Cartney tersebut kemudian dipertegas oleh Fried
yang menyebutkan dua strategi penempatan sejarah matematika dalam suatu
pembelajaran.
118
Kedua strategi tersebut yakni the strategy of addition
(strategi tambahan) dan the strategy of accommodation (strategi akomodasi).
Dalam strategi tambahan, sejarah matematika bukan dijadikan sebagai bahan
utama materi ajar, akan tetapi dijadikan pendukung dalam pembelajaran
matematika dalam bentuk cerita lucu (anekdot), biografi, dan lain sebagainya.
117
Mark Mc Cartney. 2012. History of Mathematics in the Higher Education Curriculum. BSHM :
Inggris. h.5.
118
Michael N. Fried. 2008. History of Mathematics in Mathematics Education: a Saussurean
Perspective. The Montana Mathematics Enthusiast, vol.5, no.2&3. h.186.
60
Penggunaan strategi tambahan ini misalnya sebagai motivasi awal sebelum
memasuki materi atau sekedar sebagai pengetahuan baru bagi siswa mengenai
penemu suatu konsep. Sedangkan strategi akomodasi merupakan suatu strategi
yang menjadikan sejarah sebagai bahan utama materi ajar pembelajaran
melalui uraian perkembangan matematika dalam satu penjelasan mengenai
suatu teknik atau ide matematika. Dengan kata lain, strategi akomodasi
merupakan bentuk organisir dari materi pembelajaran berdasarkan urutan
skema sejarah. Dalam strategi akomodasi, konsep atau ide matematika
ditunjukkan secara hirarkis berdasarkan urutan perkembangannya. Melalui
identifikasi perkembangan suatu konsep yang sama dalam sistem representasi
yang berbeda, siswa akan dapat mencapai tingkat pemahamannya yang lebih
mendalam.
119
Selanjutnya Fauvel mengemukakan gagasan bahwa sejarah
matematika dapat berfungsi dalam dua dimensi yang berbeda, antara lain:
120
(1) sejarah matematika sebagai materi pembelajaran; (2) sejarah matematika
sebagai konteks pengantar dan materi pembelajaran; dan (3) sejarah
matematika sebagai sumber strategi pembelajaran. Dimensi sejarah pada
bagian (2) dan (3) berperan dalam memberikan implikasi positif bagi
119
Duval dan Even dalam Farmaki dan Paschos. 2007. Employing Genetic „Moments‟ in the
History of Mathematics in Classrooms Activities. Educational Studies in Mathematics, 66. h.104.
120
Sumardyono. 2004. Karakteristik Matematika dan Implikasinya terhadap Pembelajaran
Matematika. Pusat Pengembangan Penataran Guru Matematika : Yogyakarta. h.11.
61
perkembangan matematika sekolah, yakni memberikan pendidikan riset yang
lebih mendalam terhadap materi pembelajaran dan proses pembelajaran.
121
1. Sejarah Sebagai Konteks Pengantar Materi
Sebagai konteks pengantar pembelajaran, misalnya dalam materi
persamaan fungsi aljabar, guru dapat menyajikan biografi Euler sebagai
penemu lambang ( ), fungsi alfa, beta, gamma, dan teknik
penyelesaian faktor integrasi pada persamaan diferensial. Misalnya:
122
Biografi Euler di atas dapat memberikan informasi kepada pembaca
tentang identitas, karya, serta kontribusi Euler dalam bidang matematika.
121
Van Ameron dalam Sumardyono. 2004. Karakteristik Matematika dan Implikasinya terhadap
Pembelajaran Matematika. Pusat Pengembangan Penataran Guru Matematika : Yogyakarta. h.11.
122
Sumardyono. 2004. Karakteristik Matematika dan Implikasinya terhadap Pembelajaran
Matematika. Pusat Pengembangan Penataran Guru Matematika : Yogyakarta. h.11.
Biografi Euler
Leonhard Euler yang terlahir di lahir di Basel, Swiss
adalah kepala keluarga yang penyayang dan guru yang baik.
Euler telah mulai menulis buku-buku ilmiah sejak usianya
masih 18 tahun dan mengajar di Universitas Basel, St.
Petersburg Academy of Science. Beberapa karyanya yang
termasyhur adalah buku fisika yang berjudul Mechanica
(1763-1737) dan buku Letters to a Princess of Germany
(1768-1772).
Dalam bidang matematika, Euler memperkenalkan sebagai bilangan dasar
untuk logaritma asli/natural. Euler juga memperkenalkan lambang ( ) untuk
menyatakan fungsi x dalam suatu persamaan aljabar yang sebelumnya belum pernah
diperkenalkan oleh ilmuwan lain. Pada tahun 1734, ia memperkenalkan fungsi alfa,
beta, dan gamma, serta faktor integrasi untuk menyelesaikan suatu persamaan
diferensial yang dikenal pada saat ini.
62
2. Sejarah Sebagai Konteks Materi
Salah satu tokoh yang meletakkan genetic moment sejarah sebagai
konteks dalam materi pembelajaran atau sebagai strategi akomodasi
adalah Farmaki dan Paschos. Dalam penelitiannya, Farmaki dan Paschos
meminta siswa untuk menyelesaikan satu permasalahan aljabar dengan
menggunakan tiga solusi sekaligus, yakni: (1) pendekatan aljabar
tradisional; (2) pendekatan fungsi; dan (3) pendekatan fungsi holistik
yang ditemukan oleh Oresme. Melalui ketiga pendekatan tersebut,
Farmaki dan Paschos dapat menunjukkan bahwa terdapat perkembangan
solusi dalam menyelesaikan satu permasalahan aljabar, dimana
pendekatan aljabar tradisional digunakannya untuk mewakili teknik
penyelesaian aljabar pada zaman pra-modern, pendekatan fungsi
mewakili teknik penyelesaian aljabar metode geometri pada zaman pra-
modern, dan pendekatan fungsi holistik mewakili teknik penyelesaian
aljabar metode geometri pada zaman modern. Selain itu, Farmaki dan
Paschos juga ingin menunjukkan bahwa teknik penyelesaian dengan
aljabar tradisional dapat mempermudah dalam menyelesaikan
permasalahan aljabar dengan teknik penyelesaian modern.
Tujuan desain aktivitas pembelajaran yang dibuat oleh Farmaki
dan Paschos dalam menggunakan ide genetic dalam pembelajaran
matematika adalah untuk mengidentifikasi peristiwa sejarah terkait
konsep aljabar yang terjadi selama abad XIV sebagai konsep dasar yang
63
memuat fungsi dan grafik dan membangun kembali ide krusial aljabar
dalam versi modern. Dari kedua tujuan tersebut, Farmaki dan Paschos
menarik suatu benang merah yang mengaitkan antara fungsi aljabar
dengan geometri, serta fungsi aljabar dengan konsep grafik kecepatan
dan waktu pada fisika. Berdasarkan penelitian mereka pada 58 siswa
pada usia 15 tahun tersebut, keduanya menyimpulkan bahwa dengan
menggunakan model matematika yang sama, siswa dapat menyelesaikan
permasalahan yang serupa melalui suatu transformasi penyelesaian dari
masa ke masa.
Permasalahan yang diberikan oleh Farmaki dan Paschos adalah
sebagai berikut:
123
“Seorang pengendara sepeda melakukan perjalanan
dari kota 1 ke kota 2 dengan kecepatan rata-rata berkendara 24 km/jam.
Ketika tiba di kota 2, tiba-tiba dia berputar dan kembali berkenadara
menuju kota 1 dengan kecepatan rata-rata 18 km/jam. Berapa lama waktu
yang dibutuhkan oleh pengendara pada masing-masing arah, jika total
waktu berkendara adalah 7 jam?”. Permasalahan tersebut dapat
diselesaikan dalam tiga penyelesaian sebagai berikut:
124
123
Disebutkan di Yerushalmy dan Gerald dalam Farmaki, Klaudatos, dan Paschos. Tanpa tahun.
Integrating the History of Mathematics in Educational Praxis. Department of Mathematics :
Athens. Tanpa halaman.
124
Disebutkan di Yerushalmy dan Gerald dalam Farmaki, Klaudatos, dan Paschos. Tanpa tahun.
Integrating the History of Mathematics in Educational Praxis. Department of Mathematics :
Athens. Tanpa halaman.
64
a. Pendekatan Aljabar
Tabel 2.1.
Fungsi Aljabar
Perjalanan Waktu Kecepatan Jarak
Kota A-B t 24 24 t
Kota B-A 7 – t 18 18 (7 – t)
Karena jarak dari kota A ke kota B dan kota B ke kota A
sama, maka solusi aljabar akan didapatkan melalui persamaan: 24 t =
18 (7 – t). Dari persamaan tersebut akan didapatkan solusi t = 3,
sehingga waktu perjalanan dari kota A ke kota B adalah 3 jam dan
waktu perjalanan dari kota B ke kota A adalah 4 jam.
b. Pendekatan Fungsi Aljabar (S , t)
Gambar 2.3.
Pendekatan Fungsi Aljabar
Sama halnya dengan pendekatan aljabar, karena jarak jarak
dari kota A ke kota B dan kota B ke kota A sama, maka akan
didapatkan solusi melalui persamaan f (t) = 24t = -18t (t – 7) = g (t).
Dari persamaan fungsi tersebut akan didapatkan solusi t = 3,
65
sehingga waktu perjalanan dari kota A ke kota B adalah 3 jam dan
waktu perjalanan dari kota B ke kota A adalah 4 jam.
c. Pendekatan Fungsi Holistik (U , t)
Gambar 2.4.
Pendekatan Fungsi Holistik
Berdasarkan gambar 3 di atas, jarak dari kota A ke kota B
dapat dinotasikan dengan S1 (t) = 24 t1. Sedangkan jarak dari kota B
ke kota A dapat dinotasikan dengan S2 (t) = -18 (7 - t1). Karena
jarak jarak dari kota A ke kota B dan kota B ke kota A sama, maka
akan didapatkan solusi melalui persamaan S1 (t) = 24 t1 = -18 (7 - t1)
= S2 (t). Dari persamaan fungsi holistik tersebut akan didapatkan
solusi t1 = 3, sehingga waktu perjalanan dari kota A ke kota B adalah
3 jam dan waktu perjalanan dari kota B ke kota A adalah 4 jam.
3. Sejarah Sebagai Sumber Strategi Pembelajaran
Contoh sejarah matematika sebagai sumber strategi pembelajaran
adalah penggunaan metode Fang Cheng. Metode Fang Cheng ini ditulis
66
dalam teks kuno Jianzhang Suan Shuyang kemudian diterjemahkan dalam
buku Chapters of the Mathematical Arts. Metode Fang Cheng merupakan
suatu metode yang digunakan dalam pembelajaran sistem persamaan linear
sebagai awal dalam memperkenalkan metode matriks.
Permasalahan dala metode Fang Cheng misalnya sebagi berikut:
125
“Terdapat tiga jenis jagung. Harga untuk tiga karung jenis pertama,
ditambah dua karung jenis kedua, dan sekarung jenis ketiga adalah 34.
Sedangkan satu karung jenis pertama, dua karung jenis kedua, dan tiga
karung jenis ketiga harganya 26. Berapakah harga jagung keseluruhan jika
diambil satu karung untuk masing-masing jenis?”.
Permasalahan tersebut dapat digambarkan sebagai berikut:
Gambar 2.5
Bentuk Matriks Sistem Persamaan Linear
125
Sumardyono. 2004. Karakteristik Matematika dan Implikasinya terhadap Pembelajaran
Matematika. Pusat Pengembangan Penataran Guru Matematika : Yogyakarta. h.16.
67
Penulisan matriks sistem persamaan linear di atas diatur menurut arah
kolom. Hal ini disebabkan karena tata cara masyarakat Cina yang
terkadang menuliskan sesuatu secara vertikal.
Untuk mendapatkan solusi sistem persamaan di atas, siswa diminta
untuk: (a) mengalikan bilangan pada kolom tengah dengan 3, lalu
mengurangkan hasilnya dengan 2 kali bilangan pada kolom sebelah kanan;
(b) mengalikan bilangan pada kolom kiri dengan 3, lalu mengurangkan
hasilnya dengan bilangan pada kolom sebelah kanan; dan (c) mengalikan
bilangan pada kolom kiri dengan 5, lalu mengurangkan hasilnya dengan 4
kali bilangan pada kolom. Hasil dari tiga langkah tersebut dapat
digambarkan sebagai berikut:
Gambar 2.6 Gambar 2.7
Bentuk Matriks Langkah (a) dan (b) Bentuk Matriks Langkah (c)
Berdasarkan gambar 2.7 di atas, dapat ditemukan harga dari satu
karung jagung jenis ketiga. Selanjutnya, melalui substitusi dapat diperoleh
harga satu karung jagung jenis pertama dan kedua. Metode ini disebut
68
dengan metode Fang Cheng yang kemudian disempurnakan oleh Gauss
menjadi metode Eliminasi Gauss.
4. Sejarah Sebagai Materi Pembelajaran
Sebagai materi pembelajaran, sejarah matematika dijadikan sebagai
salah satu mata pelajaran layaknya matematika. Artinya, sejarah
matematika diajarkan secara khusus pada jam pelajaran yang telah
dijadwalkan (bukan dalam jam matematika). Sebagai materi pembelajaran,
sejarah matematika harus dimasukkan dalam kurikulum layaknya mata
pelajaran lain, yang pada akhir pembelajaran harus dievaluasi.
Demikian uraian upaya meletakkan genetic moment sejarah dalam
aktivitas pembelajaran di kelas. Genetic moment sejarah matematika dapat
diletakkan sebagai konteks pengantar materi pembelajaran, sebagai konteks
materi pembelajaran, sebagai sumber strategi pembelajaran, dan sebagai
materi pembelajaran. Tentunya dalam pelaksanaan pembelajaran tersebut
guru akan menemukan beberapa permasalahan seperti kurangnya bahan
sejarah yang dapat dijadikan sumber pembelajaran dan waktu pembelajaran
yang terlalu lama apabila genetic moment sejarah dimasukkan dalam salah
satu aktivitas pembelajaran. Permasalahan tersebut akan dapat teratasi dengan
baik apabila guru memilki komitmen yang kuat untuk senantiasa berusaha
memberikan pengajaran yang terbaik bagi siswa. Sebab jika komitmen itu
69
telah ditanamkan dalam diri seorang guru, maka segala upaya akan
ditempuhnya demi kesukesesan siswa.