YAN BATARA SSiMSi
KALKULUS DASAR 1
MateriPembelajaran
KalkulusDasar1
BilanganReal, Ketidaksamaan, NilaiMutlak
Garisdangrafik
Limit
Differensial
Penerapandifferensial
BILANGAN REAL
Bilanganreal adalahbilanganyang merupakangabungandari
bilanganrasionaldanbilanganirrasional.
BilanganRaionaldanIrrasional
Pengertian Bilangan Rasional
Bilanganrasionalmerupakanbilanganyangdinyatakansebagai
perbandinganduabilanganbulatadanb,ditulisa/bdengansyaratb≠
0.
Bilanganrasionaljugamemilikibatasanyaituterdapatpadaselang(-
∞,∞).
Bilangan-bilangan rasional 4/5, 1/7, 3/8, 6/7, 5/11, …, a/b…
disebut bilangan-bilangan rasional pecahan biasa atau sering disebut
pecahan biasa
Bilangan-bilangan rasional 2 1/2, 476/3, 75/6, 23 1/8, …. C a/b
disebut bilangan-bilangan rasional pecahan sempurna atau sering
disebut pecahan campuran
Bilangan rasional dapat juga ditulis sebagai desimal dengan deret
angka yang berulang teratur. Anda dapat memperhatikan
beberapa contoh berikut :
1/8 = 0,125000 …. (0 berulang teratur)
1/3 = 0, 333333 … (3 berulang teratur )
1/4 = 0,250000 …. (0 berulang teratur )
2/3 = 0,66666 …... (6 berulang teratur)
3/7 = 0,428571428571.(428571 berulang beraturan)1/2 = 0,50000 … (0 berulang teratur )
3/2 = 0,66666 … (6 berulang teratur)
17/9 = 1,8888 ... (8 berulang teratur )
Bilangan irasional
Bilanganirasionaladalahbilanganyangtidakrasional.Bilangan
irasionaladalahbukanmerupakanbilanganbulatdanjugabukan
merupakanbilanganpecahan.
Jikabilanganirasionalditulisdalambentukdecimal,bilanganitu
tidakmempunyaipolayangberulangsecarateratur.
Contoh:
bilanganirasional√3=1,732050807yangternyatatidak
mempunyaipolaberulangsecarateratur,dantidakakanberakhir
bilangan√3merupakansalahsatucontohbilanganirasional.
Bilangan-bilangan,π,danemerupakancontoh-contohlain
bilanganirasionaldenganπ=3,14dane=2,71828
HimpunanBilanganReal
SistemBilanganReal
Himpunanbilanganreal yang dilengkapidengansifat-sifatbilangan
disebutsistembilanganreal.
Sifat-sifatbilanganreal dibagimenjadi:
SifatAljabar
SifatUrutan
Sifatkelengkapan
SifatAljabar
*Sifat kelengkapan bilangan real
Sifatkelengkapandarihimpunanbilanganreal secaragarisbesar
menyatakanbahwaterdapatcukupbanyakbilangan–bilanganreal
untukmengisigarisbilanganreal secaralengkapsehinggatidakada
setitikpuncelahdiantaranya
Contoh:
Nyatakanlahapakahmasing-masingyang berikutbenaratausalah!
a. -2 < -5
b. 1/2<3/4
Intervaladalahsuatuhimpunanbagiandarigarisbilanganreal yang
mengandungpaling sedikit2 bilanganreal yang berbedadansemua
bilanganreal yang terletakdiantarakeduanya.
Interval BilanganReal
Untuksetiapx, a, b, cR,
1.[a, b] = {x| a≤ x≤ b} disebutinterval tutup
2.[a, b) = {x| a≤ x< b} disebutinterval setengahtertutup
atauterbuka
3.(a, b] = {x| a< x≤ b} disebut interval setengah terbuka
atautertutup
4.(a, b) = {x| a< x< b} disebutinterval terbuka
Interval –interval takhingga
(–∞, b] = {x| x≤ b}
(–∞, b) = {x| x< b}
(a, ∞] = {x| x≥ a}
(a, ∞) = {x| x> a}
(–∞, ∞] = {x| xR}
Ketidaksamaan
Menyelesaikanketidaksamaandalamxberartimencariinterval atau
interval-interval daribilanganyang memenuhiketidaksamaantersebut.
Cara menyelesaikanketidaksamaan:
1. tambahkankeduasisidenganbilanganyang sama
2. kalikankeduasisidenganbilanganpositif
3. kalikankeduasisidenganbilangannegatif, tapitandaketidaksaman
berubah
Contoh:
Selesaikan ketidaksamaan berikut dan gambarkanlah kumpulan solusinya
pada garis bilangan real!
a. 4x-7<3x+5
b.
c.
d. -6<2x+3<-1
Nilai Mutlak
Definisi nilai mutlak :
Jadi|x|≥0untuksetiapbilanganrealxdan
|x|=0jikadanhanyajikax=0.
|x|dapatjugadidefinisikansebagai:
SecaraGeometri:
|x|menyatakanjarakdarixketitikasal.
|x–y|=jarakdiantaraxdany
0,
0,
xx
xx
x
2
x x
Sifat nilai mutlak
|-a| = |a|
|ab| = |a||b|
|a+ b| ≤ |a| + |b|
|x|
2
= x
2
|x| < ajika dan hanya jika -a< x< a
|x| > ajika dan hanya jika x> aatau x< -a
|x| < |y| jika dan hanya jika x
2
< y
2
aa
b b
Contoh :
Selesaikanpersamaanberikut:
|x+1|=4
|2x-1|=|x+4|
Tentukansolusidariketaksamaanberikut:
|2x-1|<7
|2x-7| >3