Ordinary Differential Equations –ODE
PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA
https://istiarto.staff.ugm.ac.idUniversitas Gadjah Mada
Departemen Teknik Sipil dan Lingkungan
Prodi Teknik Sipil (Program Sarjana)

https://istiarto.staff.ugm.ac.idPersamaan Diferensial Biasa
2
qAcuan
qChapra, S.C., Canale R.P., 1990, Numerical Methods for Engineers, 2nd
Ed., McGraw-Hill Book Co., New York.
nChapter 19 dan 20, hlm. 576-640.

https://istiarto.staff.ugm.ac.idPersamaan Diferensial
3
FU= −c v
FD= mg
qBenda bermassa mjatuh bebas dengan
kecepatan v
m
FF
m
F
a
UD+
==
Hukum Newton II
c= drag coefficient(kg/s)
g= gravitational acceleration(m/s2)
persamaan diferensial
suku diferensial laju perubahan (rate of change)
v
m
c
g
t
v
-=
d
d
t
v
d
d

https://istiarto.staff.ugm.ac.idPersamaan Diferensial
4
FU= −c v
FD= mg
qSebuah benda jatuh bebas
qJika pada saat awal benda dalam keadaan diam:
syarat awal (initial condition)
()00==tv
v
m
c
g
t
v
-=
d
d
()
()
[ ]
tmc
e
c
gm
tv
-
-=1

https://istiarto.staff.ugm.ac.idPersamaan Diferensial
qPersamaan diferensial
qvvariabel tak bebas (dependent variable)
qtvariabel bebas (independent variable)
qPersamaan diferensial biasa
(ordinary differential equations, ODE)
qhanya terdiri dari satu variabel bebas àt
qPersamaan diferensial parsial
(partial differential equations, PDE)
qterdiri dari dua atau lebih variabel bebas àt, x
v
m
c
g
t
v
-=
d
d
v
m
c
g
t
v
-=
d
d
0
2
2
=
¶
¶
-
¶
¶
x
C
D
t
C
5

https://istiarto.staff.ugm.ac.idPersamaan Diferensial
qPersamaan diferensial
qtingkat (order) tertinggi suku derivatif
qPersamaan diferensial tingkat-1
qsuku derivatif bertingkat-1
qPersamaan diferensial tingkat-2
qsuku derivatif bertingkat-2
v
m
c
g
t
v
-=
d
d
0
d
d
d
d
2
2
=++ kx
t
x
c
t
x
m
6

https://istiarto.staff.ugm.ac.idPersamaan Diferensial Biasa
qBeberapa contoh ODE di bidang engineering
qHukum Newton II ttg gerak
qHukum Fourier ttg panas
qHukum Fick ttg difusi
m
F
t
v
=
d
d
x
T
k
d
d
flux Heat -=
x
C
D
d
d
flux Mass -=
7

https://istiarto.staff.ugm.ac.idPersamaan Diferensial Biasa
8
15.81045.0
234
++-+-= xxxxy
5.820122
d
d
23
+-+-= xxx
x
y
diketahui
fungsi polinomial tingkat 4
diperoleh ODE
di-diferensial-kan

https://istiarto.staff.ugm.ac.idPersamaan Diferensial Biasa
0
1
2
3
4
5
01234
-8
-4
0
4
8
01234
9

y=−0.5x
4
+4x
3
−10x
2
+8.5x+1

dy
dx
=−2x
3
+12x
2
−20x+8.5
XX
x
y
d
d
Y

https://istiarto.staff.ugm.ac.idPersamaan Diferensial Biasa
10
5.820122
d
d
23
+-+-= xxx
x
y
diketahui: ODE
fungsi asal
di-integral-kan
( )
Cxxxxy
xxxxy
++-+-=
+-+-=ò
5.81045.0
d5.820122
234
23
Cdisebut konstanta integrasi

https://istiarto.staff.ugm.ac.idPersamaan Diferensial Biasa
-8
-4
0
4
8
01234
-4
0
4
8
01234
11
Cxxxxy ++-+-= 5.81045.0
234
5.820122
d
d
23
+-+-= xxx
x
y
XX
x
y
d
d
Y
C= 3
2
1
0
−1
−2

https://istiarto.staff.ugm.ac.idPersamaan Diferensial Biasa
12
Cxxxxy ++-+-= 5.81045.0
234
qHasil dari integrasi adalah sejumlah tak berhingga polinomial.
qPenyelesaian yang unique(tunggal, satu-satunya) diperoleh dengan
menerapkan suatu syarat, yaitu pada titik awal x= 0, y= 1 àini disebut
dengan istilah syarat awal (initial condition).
qSyarat awal tersebut menghasilkan C= 1.
15.81045.0
234
++-+-= xxxxy

https://istiarto.staff.ugm.ac.idPersamaan Diferensial Biasa
13
qSyarat awal (initial condition)
qmencerminkan keadaan sebenarnya, memiliki arti fisik
qpada persamaan diferensial tingkat n, maka dibutuhkan sejumlah n
syarat awal
qSyarat batas (boundary conditions)
qsyarat yang harus dipenuhi tidak hanya di satu titik di awal saja, namun
juga di titik-titik lain atau di beberapa nilai variabel bebas yang lain

https://istiarto.staff.ugm.ac.idPersamaan Diferensial Biasa
14
qMetode penyelesaian ODE
qMetode Euler
qMetode Heun
qMetode Euler Modifikasi (Metode Poligon)
qMetode Runge-Kutta

https://istiarto.staff.ugm.ac.id
Metode Euler
Penyelesaian ODE15
http://istiarto.staff.ugm.ac.id

https://istiarto.staff.ugm.ac.idMetode Satu Langkah
qDikenalpula sebagaimetode satu
langkah(one-step method)
qPersamaan
qnew value = old value+ slopex step size
qDalambahasamatematika
qjadi, slopeataugradienφdipakaiuntuk
meng-ekstrapolasi-kan nilailama yike
nilaibaruyi+1dalamselangh
hyy
ii
f+=
+1
1616
xixi+1
step size= h
x
y
hyy
ii
f+=
+1
slope= φ

https://istiarto.staff.ugm.ac.idMetode Satu Langkah
qSemua metode satu langkah dapat
dinyatakan dalam persamaan tsb.
qPerbedaan antara satu metode dengan
metode yang lain dalam metode satu
langkah ini adalah perbedaan dalam
menetapkan atau memperkirakan slopeφ.
qSalah satu metode satu langkah adalah
Metode Euler.
hyy
ii
f+=
+1
17
xixi+1
step size= h
x
y
slope= φ
hyy
ii
f+=
+1

https://istiarto.staff.ugm.ac.idMetode Euler
18
qDalam Metode Euler, slope di xidiperkirakan
dengan derivatif pertama di titik (xi,yi).
qMetode Euler dikenal pula dengan nama
Metode Euler-Cauchy.
qJadi nilai ybaru diperkirakan berdasarkan
slope, sama dengan derivatif pertama di titik x,
untuk mengekstrapolasikan nilai ylama secara
linear dalam selang hke nilai ybaru.
()hyxfyy
iiii
,
1
+=
+
()
ii
yx
ii
x
y
yxf
,d
d
,==f

https://istiarto.staff.ugm.ac.idMetode Euler
19
qPakailah Metode Euler untuk mengintegralkan ODE di bawah ini, dari x= 0
s.d. x= 4 dengan selang langkah h= 0.5
() 5.820122
d
d
,
23
+-+-== xxx
x
y
yxf
qSyarat awal yang diterapkan pada ODE tsb adalah bahwa di titik x= 0,
y= 1
qIngat, penyelesaian eksak ODE di atas adalah
15.81045.0
234
++-+-= xxxxy

https://istiarto.staff.ugm.ac.idMetode Euler
20
qSelang ke-1, dari x0= 0 s.d. x1= x0+ h= 0.5
()()() () 5.85.802001202,
23
00
=+-+-=yxf
()
()25.55.05.81
,
0001
=+=
+= hyxfyy
()()() ()
21875.3
15.05.85.0105.045.05.0
234
1
=
++-+-=y
qNilai y1sesungguhnya dari penyelesaian eksak
qError, yaitu selisih antara nilai y1sesungguhnya dan estimasi
03125.225.521875.3 -=-=
t
E
atau
%6321875.303125.2 =-=e
t

https://istiarto.staff.ugm.ac.idMetode Euler
ixiyi(eksak)yi(Euler)et
0011
10.53.218755.25-63%
2135.875-96%
31.52.218755.125-131%
4224.5-125%
52.52.718754.75-75%
6345.875-47%
73.54.718757.125-51%
8437-133%
0
2
4
6
8
01234
21
X
Y
Euler
Eksak

https://istiarto.staff.ugm.ac.idMetode Euler
22
qErroratau kesalahan terdiri dari dua aspek
qTruncation or discretization errors(kesalahan pemotongan) yang
disebabkan oleh teknik penyelesaian dalam mengestimasikan nilai y.
nlocal truncation error, yaitu kesalahan pada satu langkah
npropagated truncation error, yaitu kesalahan-kesalahan pada langkah-
langkah terdahulu
qRound-off errorsyang disebabkan oleh keterbatasan jumlah digit dalam
hitungan atau jumlah digit dalam alat hitung (kalkulator, komputer).

https://istiarto.staff.ugm.ac.idMetode Euler
23
qDeret Taylor
()
x
y
yxfy
d
d
,==¢
()
n
n
n
ii Rh
n
y
h
y
hyyy +++
¢¢
+¢+=
+
!
...
2
2
1
()
()
()
1
1
1
!1
,
+
+
+
+
x
=-=
n
n
nii h
n
y
Rxxh
ξadalah sembarang titik di antara xidan xi+1.
Deret Taylor dapat pula dituliskan dalam bentuk lain sbb.
()
()
()
()
()
1
1
2
1
!
,
...
2
,
,
+
-
+ +++
¢
++=
nnii
n
ii
iiii hOh
n
yxf
h
yxf
hyxfyy
O(hn+1) menyatakan bahwa local truncation error adalah proporsional terhadap selang
jarak dipangkatkan (n+1).

https://istiarto.staff.ugm.ac.idMetode Euler
24
()
()
()
()
()
1
1
2
1
!
,
...
2
,
,
+
-
+ +++
¢
++=
nnii
n
ii
iiii hOh
n
yxf
h
yxf
hyxfyy
EulerError, Et
qtrue local truncation error of the Euler Method (Et)
quntuk selang hkecil, errormengecil seiring dengan
peningkatan tingkat
qerrorEtdapat didekati dengan Ea
()
2
2
,
h
yxf
EE
ii
at
¢
=» ()
2
hOE
a
=
atau
Deret Taylor

https://istiarto.staff.ugm.ac.idMetode Euler
25
() 5.820122,
23
+-+-= xxxyxf
qHitunglah erroryang terjadi (Et) pada penyelesaian ODE tersebut;
hitunglah komponen errorsetiap suku pada persamaan Et.
qSelesaikan ODE tersebut dengan memakai h= 0.25;
bandingkan dengan penyelesaian sebelumnya;
bandingkan juga erroryang terjadi.
qBaca buku acuan pada hlm 580-584 untuk membantu Sdr dalam membuat
diskusi hasil hitungan Sdr.

https://istiarto.staff.ugm.ac.idMetode Euler
26
qErrorpada Metode Euler dapat dihitung dengan memanfaatkan Deret Taylor
qKeterbatasan
qDeret Taylor hanya memberikan perkiraan/estimasi local truncation error, yaitu erroryang
timbul pada satu langkah hitungan Metode Euler, bukan propagated truncation error.
qHanya mudah dipakai apabila ODE berupa fungsi polinomial sederhana yang mudah
untuk di-diferensial-kan, fi(xi,yi) mudah dicari.
qPerbaikan Metode Euler, memperkecil error
qPakailah selang hkecil.
qMetode Euler tidak memiliki errorapabila ODE berupa fungsi linear.

https://istiarto.staff.ugm.ac.id
Metode Heun
Penyelesaian ODE27
http://istiarto.staff.ugm.ac.id

https://istiarto.staff.ugm.ac.idMetode Heun
28
xixi+1
step size= h
x
y
slope= φi
2
slope
0
1+
f+f
=
ii
slope= φ0i+1
Slopedi selang antara xidan di xi+1ditetapkan
sebagai nilai rata-rata slopedi awal dan di akhir
selang, yaitu di xidan di xi+1
()
iii
yxfy ,=¢
()hyxfyy
iiii
,
0
1
+=
+
Euler àsebagai prediktor
( )
0
111
,
+++
=¢
iii
yxfy
()( )
2
,,
2
0
111 +++
+
=
¢+¢
=¢
iiiiii
yxfyxfyy
y
()( )
h
yxfyxf
yy
iiii
ii
2
,,
0
11
1
++
+
+
+=
àsebagai korektor

https://istiarto.staff.ugm.ac.idMetode Heun
29
qPakailah Metode Heun untuk mengintegralkan ODE di bawah ini, dari x= 0
s.d. x= 4 dengan selang langkah h= 1
ye
x
y
y
x
5.04
d
d
8.0
-==¢
qSyarat awal yang diterapkan pada ODE tsb adalah bahwa pada x= 0,
y= 2
qPenyelesaian eksak ODE tsb yang diperoleh dari kalkulus adalah:
( )
xxx
eeey
5.05.08.0
2
3.1
4
--
+-=

https://istiarto.staff.ugm.ac.idMetode Heun
30
qSelang ke-1, dari x0= 0 s.d. x1= x0+ h= 1:
()()
()
[]()325.042,0,
08.0
00
=-== efyxf
() ()5132,
000
0
1
=+=+= hyxfyy
slopedi titik ujung awal, (x0,y0)
prediktor y1
slopedi titik ujung akhir, (x1,y1)
()()
()
[]()4021637.655.045,1,
18.00
11
=-== efyxf
sloperata-rata selang ke-1
70108185.4
2
4021637.63
=
+
=¢y
()7010819.6170108185.42
01
=+=¢+= hyyy
korektor y1

https://istiarto.staff.ugm.ac.idMetode Heun
31
ixiyi (eksak)f(xi,yi)awalyi (prediktor)f(xi,yi)akhirf(xi,yi)reratayi (korektor)εt
0023---------2---
116.19465.55165.00006.40224.70116.7011-8%
2214.843911.652212.252713.68589.618716.3198-10%
3333.677225.493127.972030.106720.879537.1992-10%
4475.3390---62.692366.784046.138583.3378-11%

https://istiarto.staff.ugm.ac.idMetode Heun
32
0
30
60
90
01234
Y
X
Eksak
Heun

https://istiarto.staff.ugm.ac.idMetode Heun
33
qMetode Heun dapat diterapkan secara iteratif pada saat
menghitung slope di ujung akhir selang dan nilai yi+1
korektor
qnilai yi+1korektor pertama dihitung berdasarkan nilai yi+1prediktor
qnilai yi+1korektor tersebut dipakai sebaga nilai yi+1prediktor
qhitung kembali nilai yi+1korektor yang baru
qulangi kedua langkah terakhir tersebut beberapa kali
qPerlu dicatat bahwa
qerrorbelum tentu selalu berkurang pada setiap langkah iterasi
qiterasi tidak selalu konvergen
()( )
h
yxfyxf
yy
iiii
ii
2
,,
0
11
1
++
+
+
+=
()( )
h
yxfyxf
yy
iiii
ii
2
,,
0
11
1
++
+
+
+=

https://istiarto.staff.ugm.ac.idMetode Heun
34
qIterasi kedua pada selang ke-1, dari x0= 0 s.d. x1= x0+ h= 1
prediktory1= korektor y1(lama)
slopedi titik ujung akhir, (x1,y1)
()( )
()
[]( )
5516228.5
7010819.65.04
7010819.6,1,
18.0
0
11
=
-=
=
e
fyxf
sloperata-rata selang ke-1
2758114.4
2
5516228.53
=
+
=¢y
()2758114.6127581145.42
01
=+=¢+= hyyy
korektor y1
()7010819.6
old1
0
1 ==yy
qIterasi di atas dapat dilakukan beberapa kali

https://istiarto.staff.ugm.ac.id
Metode Poligon
(Modified Euler Method)
Penyelesaian ODE35
http://istiarto.staff.ugm.ac.id

https://istiarto.staff.ugm.ac.idMetode Poligon
36
xixi+1
step size= h
x
y
slope= φislope= φi+½
Slopedi selang antara xidan di xi+1ditetapkan
sebagai nilai slopedi titik tengah selang, yaitu di
xi+½:
()
iii
yxfy ,=¢
()
2
,
2
1
h
yxfyy
iiii
+=
+
slopedi titik awal
( )
2
1
2
1
2
1 ,
+++
=¢
iii
yxfy
( )hyxfyy
iiii
2
1
2
1,
1 +++ +=
slope= φi+½
xi+½
ekstrapolasi ke titik tengah
slopedi titik tengah
ekstrapolasi ke titik akhir

https://istiarto.staff.ugm.ac.idMetode Poligon
37
qPakailah Metode Poligon untuk mengintegralkan ODE di bawah ini, dari x= 0
s.d. x= 4 dengan selang langkah h= 1
ye
x
y
y
x
5.04
d
d
8.0
-==¢
qSyarat awal yang diterapkan pada ODE tsb adalah bahwa pada x= 0,
y= 2
qIngat penyelesaian eksak ODE tsb yang diperoleh dari kalkulus adalah:
( )
xxx
eeey
5.05.08.0
2
3.1
4
--
+-=

https://istiarto.staff.ugm.ac.idMetode Poligon
38
qSelang ke-1, dari x0= 0 sd x1= x0+ h= 1
()()
()
[]()325.042,0,
08.0
00
=-== efyxf
() ()5.32132
2
,
000
2
1 =+=+=
h
yxfyy
slopedi titik ujung awal, (x0,y0)
titik tengah y½
slopedi titik tengah, (x½,y½)
()( )
()
[ ]()2173.45.35.045.3,5.0,
5.08.0
2
1
2
1 =-== efyxf
ekstrapolasikan y0ke y1
() ()2173.612173.42,
2
1
2
101 =+=+= hyxfyy

https://istiarto.staff.ugm.ac.idMetode Poligon
39
ixiyi (eksak)f(xi,yi)xi +½yi +½f(xi +½,yi +½)yi εt
0023---------2---
116.19465.79350.53.50004.21736.2173-0.4%
2214.843912.34181.59.11418.723414.9407-0.7%
3333.677227.12212.521.111619.000433.9412-0.8%
4475.3390---3.547.502242.027575.9686-0.8%

https://istiarto.staff.ugm.ac.idMetode Poligon
40
0
30
60
90
01234
Y
X
Eksak
Poligon

https://istiarto.staff.ugm.ac.id
Metode Runge-Kutta
Penyelesaian ODE41
http://istiarto.staff.ugm.ac.id

https://istiarto.staff.ugm.ac.idMetode Runge-Kutta
42
qMetode Euler
qkurang teliti
qketelitian lebih baik diperoleh dengan cara memakai pias kecil atau
memakai suku-suku derivatif berorde lebih tinggi dalam Deret Taylor
qMetode Runge-Kutta
qlebih teliti daripada Metode Euler
qtanpa memerlukan suku derivatif

https://istiarto.staff.ugm.ac.idMetode Runge-Kutta
43
qBentuk umum penyelesaian ODE dengan Metode Runge-Kutta adalah
( )hhyxyy
iiii
,,
1
f+=
+
qFungsi φdapat dituliskan dalam bentuk umum sbb.
( )hyx
ii
,,f
adalah increment functionyang dapat
diinterpretasikan sebagai slopeatau gradien
fungsi ydi selang antara xis.d. xi+1
nn
kakaka +++=f ...
2211
aadalah konstanta dan kadalah:
()
( )
( )
( )hkqhkqhkqyhpxfk
hkqhkqyhpxfk
hkqyhpxfk
yxfk
nnnnninin
ii
ii
ii
11,122,111,11
22212123
11112
1
...,
,
,
,
------
+++++=
+++=
++=
=
setiapksaling terhubung dengan
kyang lain àk1muncul pada
pers k2dan k2muncul pada pers
k3dst.

https://istiarto.staff.ugm.ac.idMetode Runge-Kutta
44
qTerdapat beberapa jenis Metode Runge-Kutta yang dibedakan dari jumlah
suku pada persamaan untuk menghitung φ
qRK tingkat-1 (first-orderRK): n= 1
qRK tingkat-2 (second-orderRK):n= 2
qRK tingkat-3 (third-orderRK):n= 3
qRK tingkat-4 (fourth-orderRK):n= 4
qOrder of magnitudekesalahan penyelesaian Metode RK tingkat n
qlocal truncation error= O(hn+1)
qglobal truncation error= O(hn)
( )
( )
nnii
iiii
kakakahyx
hhyxyy
+++=f
f+=
+
...,,
,,
2211
1

https://istiarto.staff.ugm.ac.idSecond-order Runge-Kutta Method
45
( )hkakayy
ii 22111
++=
+
()
( )hkqyhpxfk
yxfk
ii
ii
11112
1
,
,
++=
=
a1, a2, p1, q11unknownsàperlu 4 persamaan
qDeret Taylor
() ()
2
,,
2
1
h
yxfhyxfyy
iiiiii
¢++=
+
()
x
y
y
f
x
f
yxf
ii
d
d
,
¶
¶
+
¶
¶
=¢
()
2d
d
,
2
1
h
x
y
y
x
x
f
hyxfyy
iiii ÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
+
¶
¶
++=
+
qBentuk umum persamaan penyelesaian ODE dengan 2nd-orderRK

https://istiarto.staff.ugm.ac.idSecond-order Runge-Kutta Method
46
( )() ()
2
111111112 ,, hO
y
f
hkq
x
f
hpyxfhkqyhpxfk
iiii +
¶
¶
+
¶
¶
+=++=
qBentuk di atas diterapkan pada persamaan k2
( )() ...,, +
¶
¶
+
¶
¶
+=++
y
g
s
x
g
ryxgsyrxg
!!
y
i+1
=y
i
+a
1
hfx
i
,y
i
()
+a
2
hfx
i
,y
i
()
+a
2
p
1
h
2∂f
∂x
+a
2
q
11
h
2
fx
i
,y
i
()∂f
∂x
+Oh
3
()
=y
i
+a
1
fx
i
,y
i
()
+a
2
fx
i
,y
i
()
⎡
⎣
⎤
⎦
h+a
2
p
1
∂f
∂x
+a
2
q
11
fx
i
,y
i
()
∂f
∂x
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
h
2
+Oh
3
()
qIngat, Deret Taylor untuk fungsi yang memiliki 2 variabel
qBentuk umum penyelesaian ODE metode 2nd-orderRK menjadi:

https://istiarto.staff.ugm.ac.idSecond-order Runge-Kutta Method
47
()()[ ] () ()
32
11212211 ,,, hOh
x
f
yxfqa
x
f
pahyxfayxfayy
iiiiiiii +
ú
û
ù
ê
ë
é
¶
¶
+
¶
¶
+++=
+
qBandingkan persamaan di atas dengan persamaan semula
qAgar kedua persamaan di atas ekuivalen, maka
()
2d
d
,
2
1
h
x
y
y
x
x
f
hyxfyy
iiii ÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
+
¶
¶
++=
+
2
1
112
2
1
12
21
1
=
=
=+
qa
pa
aa
qKarena hanya ada 3 persamaan untuk 4 unknowns, maka nilai
salah satu variabel harus ditetapkan.
qMisalkan nilai a2ditetapkan, maka a1, p1, dan q11dapat dihitung.

https://istiarto.staff.ugm.ac.idSecond-order Runge-Kutta Method
48
qJika a2ditetapkan, maka
2
1
112
2
1
12
21
1
=
=
=+
qa
pa
aa
2
111
21
2
1
1
a
qp
aa
==
-=
qKarena ada sejumlah tak berhingga nilai a2,
maka terdapat pula sejumlah tak berhingga
2nd-orderRK methods.
qSetiap versi 2nd-orderRK akan memberikan
hasil yang persis sama jika fungsi
penyelesaian ODE yang dicari adalah fungsi
kuadrat, linear, atau konstanta.

https://istiarto.staff.ugm.ac.idSecond-order Runge-Kutta Method
49
qMetode Heun dengan korektor tunggal
qMetode poligon yang diperbaiki (improved polygon method)
qMetode Ralston
1,
1112
1
12
1
2
===Þ= qpaa ( )hkkyy
ii 22
1
12
1
1
++=
+
2
1
11112
,01 ===Þ= qpaa
()
( )
12
1
,
,
hkyhxfk
yxfk
ii
ii
++=
=
( )hkkyy
ii 23
2
13
1
1
++=
+
hkyy
ii 21
+=
+
()
( )
12
1
2
1
2
1
,
,
hkyhxfk
yxfk
ii
ii
++=
=
4
3
1113
1
13
2
2
, ===Þ= qpaa
()
( )
14
3
4
3
2
1
,
,
hkyhxfk
yxfk
ii
ii
++=
=

https://istiarto.staff.ugm.ac.idSecond-order Runge-Kutta Method
50
qPakailah berbagai 2nd-order RK methodsuntuk mengintegralkan ODE di
bawah ini, dari x= 0 s.d. x= 4 dengan selang langkah h= 0.5
() 5.820122
d
d
,
23
+-+-== xxx
x
y
yxf
qSyarat awal yang diterapkan pada ODE tsb adalah bahwa di titik x= 0,
y= 1
qBandingkan hasil-hasil penyelesaian dengan berbagai metode RK tsb.

https://istiarto.staff.ugm.ac.idSecond-order Runge-Kutta Method
51
Single-corrector Heun
ixiyi(eksak)k1k2φyiεt
0018.51.254.87510.0%
10.53.218751.25-1.5-0.1253.4375-6.8%
213-1.5-1.25-1.3753.375-12.5%
31.52.21875-1.250.5-0.3752.6875-21.1%
4220.52.251.3752.5-25.0%
52.52.718752.252.52.3753.1875-17.2%
6342.5-0.251.1254.375-9.4%
73.54.71875-0.25-7.5-3.8754.9375-4.6%
843---------30.0%

https://istiarto.staff.ugm.ac.idSecond-order Runge-Kutta Method
52
Improved Polygon
ixiyi(eksak)k1k2φyiεt
0018.54.218754.2187510.0%
10.53.218751.25-0.59375-0.593753.1093753.4%
213-1.5-1.65625-1.656252.81256.3%
31.52.21875-1.25-0.46875-0.468751.98437510.6%
4220.51.468751.468751.7512.5%
52.52.718752.252.656252.656252.4843758.6%
6342.51.593751.593753.81254.7%
73.54.71875-0.25-3.21875-3.218754.6093752.3%
843---------30.0%

https://istiarto.staff.ugm.ac.idSecond-order Runge-Kutta Method
53
Second-orderRalston Runge-Kutta
ixiyi(eksak)k1k2φyiεt
0018.52.5820314.55468810.0%
10.53.218751.25-1.15234-0.351563.277344-1.8%
213-1.5-1.51172-1.507813.101563-3.4%
31.52.21875-1.250.003906-0.414062.347656-5.8%
4220.51.8945311.4296882.140625-7.0%
52.52.718752.252.6601562.5234382.855469-5.0%
6342.50.8007811.3671884.117188-2.9%
73.54.71875-0.25-5.18359-3.539064.800781-1.7%
843---------3.03125-1.0%

https://istiarto.staff.ugm.ac.idSecond-order Runge-Kutta Method
54
0
2
4
6
01234
Exact
Heun
Improved Polygon
Ralston
X
Y

https://istiarto.staff.ugm.ac.idThird-order Runge-Kutta Method
55
qPersamaan penyelesaian ODE 3rd-order RK methods
qCatatan
qJika derivatif berupa fungsi xsaja, maka 3rd-order RKsama dengan
persamaan Metode Simpson ⅓
( )[ ]hkkkyy
ii 3216
1
1
4+++=
+
()
( )
( )
213
12
1
2
1
2
1
2,
,
,
hkhkyhxfk
hkyhxfk
yxfk
ii
ii
ii
+-+=
++=
=

https://istiarto.staff.ugm.ac.idThird-order Runge-Kutta Method
56
Third-orderRunge-Kutta
ixiyi(eksak)k1k2k3φyiεt
0018.54.2191.254.43810.0%
10.53.218751.25-0.594-1.5-0.4383.218750.0%
213-1.5-1.656-1.25-1.56330.0%
31.52.21875-1.25-0.4690.5-0.4382.218750.0%
4220.51.4692.251.43820.0%
52.52.718752.252.6562.52.5632.718750.0%
6342.51.594-0.251.43840.0%
73.54.71875-0.25-3.219-7.5-3.4384.718750.0%
843------------30.0%

https://istiarto.staff.ugm.ac.idFourth-order Runge-Kutta Method
57
qPersamaan penyelesaian ODE 4th-order RK methods
qCatatan:
qJika derivatif berupa fungsi xsaja, maka 4th-order RKsama dengan
persamaan Metode Simpson ⅓
( )[ ]hkkkkyy
ii 43216
1
1
22 ++++=
+
()
( )
( )
( )
34
22
1
2
1
3
12
1
2
1
2
1
,
,
,
,
hkyhxfk
hkyhxfk
hkyhxfk
yxfk
ii
ii
ii
ii
++=
++=
++=
=

https://istiarto.staff.ugm.ac.idFourth-order Runge-Kutta Method
58
Fourth-orderRunge-Kutta
ixiyi(eksak)k1k2k3k4φyiεt
0018.54.2194.2191.254.4410.0%
10.53.218751.25-0.594-0.594-1.5-0.443.218750.0%
213-1.5-1.656-1.656-1.25-1.5630.0%
31.52.21875-1.25-0.469-0.4690.5-0.442.218750.0%
4220.51.4691.4692.251.4420.0%
52.52.718752.252.6562.6562.52.562.718750.0%
6342.51.5941.594-0.251.4440.0%
73.54.71875-0.25-3.219-3.219-7.5-3.444.718750.0%
843---------------30.0%

https://istiarto.staff.ugm.ac.id3rd-and 4th-order Runge-Kutta Methods
59
qPakailah 3rd-orderdan 4th-order RK methodsuntuk mengintegralkan ODE di
bawah ini, dari x= 0 s.d. x= 4 dengan selang langkah h= 0.5
() 5.820122
d
d
,
23
+-+-== xxx
x
y
yxf
§Syarat awal yang diterapkan pada ODE tsb adalah bahwa di titik x = 0,
y= 1

https://istiarto.staff.ugm.ac.id3rd-and 4th-order Runge-Kutta Methods
60
NodeExact SolutionThird-orderRKFourth-order RK
ixiyiyiεtyiεt
00110.0%10.0%
10.53.218753.218750.0%3.218750.0%
21330.0%30.0%
31.52.218752.218750.0%2.218750.0%
42220.0%20.0%
52.52.718752.718750.0%2.718750.0%
63440.0%40.0%
73.54.718754.718750.0%4.718750.0%
84330.0%30.0%

https://istiarto.staff.ugm.ac.id61