KALKULUS
KUANTUM
Subiono, Kistosil Fahim dan Mahmud Yunus2024
Nemanasi Sains

KalkulusKuantum
Subiono, Kistosil Fahim dan Mahmud Yunus

KalkulusKuantum
Penulis:
Subiono— Email:[email protected]
Kistosil Fahim— Email:[email protected]
Mahmud Yunus— Email:[email protected]
Alamat:Departemen Matematika
Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Sukolilo Surabaya, 60111
Indonesia
ISBN:978-623-09-9112-7
Editor:
Imam Mukhlash
Penyunting:
Aminatu Zuhriah
Desain Sampul dan Tata Letak:
Achmet Usman Ali
Penerbit:
CV. Nemanasi Sains
Redaksi dan Distributor Tunggal:
CV. Nemanasi Sains
Perum Bumi Wonorejo Asri 1/25 Blok B2 No. 15,
Desa/Kelurahan Wonorejo, Kec. Rungkut,
Kota Surabaya, Provinsi Jawa Timur, Kode Pos 60296
Indonesia
Cetakan Pertama, Maret 2024
120 halaman, 21×29,7 cm
Copyright©CV. Nemanasi Sains, 2024
Hak cipta dilindungi undang-undang
Dilarang memperbanyak maupun mengedarkan buku ini dalam bentuk
dan dengan cara apapun tanpa izin tertulis dari penerbit maupun penulis.
.

KataPengantar
AlhamdulIllahiRabbilalamin, segala puji hanyalah milikMu ya Allah yang telah membe-
rikan "kebebasan bertanggung jawab" kepada manusia semasahidupnya untuk suatu
kebaikan dalam melaksanakan amanatMu di hamparan bumi yang dihuni beragam
manusia. Sholawatdan Salam kepadaMu ya Nabi Muhammad beserta para keluarganya
dan para pengikutnya sampai nanti di hari akhir.
Buku ini disusun dengan maksud memperkenalkan konsep baru tentang "Kalkulus
Kuantum" untuk menyongsong era kuantum. Sehingga kami penulis berharap pembaca
mempunyai pemaham yang bertambah selain kalkulkulus klasik. Selain itu juga buku
ini disajikan sebagai suatu bahan rujukan tentang kalkuluskuantum sebab topik-topik
yang dibahas relatif baru.
Sederhananya, kalkulus kuantum adalah kalkulus klasik biasa tanpa konsep limit.
Ini mendefinisikan kalkulus-qdan kalkulus-h. Di sini seolah-olah singkatan dari kon-
stanta Planck, sedangkanqsingkatan dari kuantum. Pelopor kalkulus-qdalam teori
aproksimasi adalah mantan Profesor Alexandru Lupas, yang pertama kali memperke-
nalkan analog polinomial Bernstein. Sepuluh tahun kemudian Phillips memperke-
nalkan generalisasi lain pada polinomial Bernstein berdasarkan bilangan bulat-q. Os-
trovska mempelajari polinomialq-Bernstein. Setelah itu beberapa peneliti mengestimasi
sifat aproksimasi dari beberapa operator. Buku ini merupakan upaya untuk menyusun
dan menyajikan beberapa yang mendasar tentang kalkulus-qserta beberapa hasil dan
sifat-sifat analoginya dengan kalkulus klasik.
Penulis pada kesempatan ini menyampaikan keaktifan para pembaca dalam meng-
kaji buku ini untuk menyampaikan kritik dan saran guna perbaikan buku ini, sehingga
pada versi yang mendatang "mutu buku" yang baik bisa dicapai. Kritik dan saran
ini sangat penting karena selain alasan yang telah disebutkan tadi, penulis percaya
bahwa dalam sajian buku ini masih kurang dari sempurnah bahkan mungkin ada suatu
kesalahan dalam sajian buku ini baik dalam bentuk redaksional, pengetikan dan materi
yang menyebabkan menjadi suatu bacaan kurang begitu bagus.
iii

iv
Kalkulus Kuantum, 2024, Penulis: Subiono, Kistosil Fahim,Mahmud Yunus

DaftarIsi
Kata Pengantar iii
1 Kalkulus Kuantum 1
1.1 Pendahuluan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Derivatif-qdan derivatif-h. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Rumus umum Taylor untuk Polinomial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Analog-qdari (x−a)
n
dan derivatif-qdari Binomial. . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Rumus Taylor-quntuk Polinomial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6 Rumus Binomial Gauss dan Rumus Binomial Nonkomutatif. . . . . . . . 17
1.7 Sifat-Sifat Koefisien Binomial-q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.8 Koefisien Binomial-qdan Aljabar Linier atas Lapangan Berhingga. . . . . 23
1.9 Rumus Taylor-quntuk Deret Pangkat Formal dan Rumus Binomial Heine28
1.10 Dua Persamaan Euler dan Dua Fungsi Eksponensial-q. . . . . . . . . . . . 29
2 Fungsi-Fungsi Khusus Pada Kalkulus Kuantum 35
2.1 Fungsi Trigonometri-q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 Persamaan Produk Rangkap Tiga Jacobi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3 Fungsi Partisi Klasik dan Rumus Produk Euler. . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4 Fungsi Hipergeometrik-qdan Rumus Heine. . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.5 Lebih lanjut tentang Rumus Heine dan Binomial Umum. . . . . . . . . . 46
3 Formula Produk Ramanujan 51
3.1 Rumus Eksplisit untuk Jumlah dari Dua dan Empat bilanganKuadrat. . 56
3.2 Rumus Eksplisit untuk Jumlah Dua dan Empat Bilangan Segitiga. . . . . 60
4 Antiderivatif-q 63
4.1 Integral Jackson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2 Teorema Dasar Kalkulus-qdan Integral Bagian. . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.3 Fungsi Gamma-qdan Beta-q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.4 Permasalahan Benda Jatuh dalam Kalkulus Kuantum. . . . . . . . . . . . 77
v

vi DAFTAR ISI
4.4.1 Penyelesaian Analitik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.4.2 Simulasi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5 Derivatif-hdan Integral-h 81
5.1 Polinomial Bernoulli dan Bilangan Bernoulli. . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.2 Jumlah dari Pangkat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.3 Formula Euler-Maclaurin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6 Kalkulus Kuantum Simetri 99
A Daftar Derivatif-q 105
Daftar Pustaka 107
Indeks 110
Bio Data Penulis 111
Kalkulus Kuantum, 2024, Penulis: Subiono, Kistosil Fahim,Mahmud Yunus

Nemanasi Sains
Buku "Kalkulus Kuantum " disajikan untuk menyongsong era kuantum. Sehingga
kami penulis berharap pembacamempunyai pemahamyang bertambah selain kalkulus
klasik. Selain itu juga buku ini disajikan sebagai suatu bahan rujukan tentang kalkulus
kuantum sebab topik-topik yang dibahas relatif baru.
Kalkulus Kuantum adalah buku teks yang bagus untuk mahasiswa tingkat sarjana
yang ingin mempelajari tentang analogi kalkulus kuantum dengan kalkulus klasik.
Buku ini ditulis dengan jelas dan mudah dipahami. Selain itu, kalkulus kuantum yang
dikenal sebagai kalkulus tanpa batas, bertujuan memberi pembaca wawasan dasar
tentang kalkulus-q atau yang setara. Menurut kami sebagai penulis, dalam beberapa
tahun terakhir minat terhadap subjek ini telah menyebar. Hal ini dikarenakan analisis-q
telah membuktikan manfaatnya di berbagai bidang dan saat ini memiliki aplikasi yang
luas di bidang-bidang penting seperti ilmu komputer dan fisika partikel.
Selanjutnya pada teori aproksimasi, penerapan kalkulus-q merupakan area yang
baru diterapkan dalam 25 tahun terakhir. Analog-q pertama dari polinomial Bernstein
diperkenalkan oleh Alexandru Lupas pada 1987. Sederhananya, kalkulus kuantum
adalah kalkulus klasik biasa tanpa konsep limit. Ini mendefinisikan kalkulus-q dan
kalkulus-h. Di sini seolah-olah singkatan dari konstanta Planck, sedangkan q singkatan
dari kuantum. Pelopor kalkulus-q dalam teori aproksimasi adalah mantan Profesor
Alexandru Lupas, yang pertama kali memperkenalkan analog polinomial Bernstein.
Sepuluh tahun kemudian Phillips memperkenalkan generalisasi lain pada polinomial
Bernstein berdasarkan bilangan bulat-q. Ostrovska mempelajari polinomial q-Bernstein.
Setelah itu beberapa peneliti mengestimasi sifat aproksimasi dari beberapa operator.
Buku ini merupakan upaya untuk menyusun dan menyajikan beberapa yang mendasar
tentang kalkulus-q serta beberapa hasil dan sifat-sifat analoginya dengan kalkulus
klasik.
KALKULUSKUANTUM