Vol. 11, No. 2, 139-148, Januari 2015
Penerapan Aproksimasi Fejer dalam Membuktikan
Teorema Weierstrass
NaimahAris
1
, Jusmawati M
2
,Islamiyah Abbas
3
,
Abstrak
Dalam tulisan ini dibahas pembuktian teorema aproksimasi Weierstrass dengan menggunakan teorema
Fejer. Teorema aproksimasi Weierstrass menyatakan bahwa suatu fungsi yang kontinu pada suatu
interval tutup dapat dihampiri oleh suatu polinomial. Oleh Fejer, teorema ini dibuktikan dengan
menunjukkan bahwa suatu fungsi ( ) yang kontinu pada interval tutup [– ] dengan ( )
( )dapat dihampiri oleh suatu polinomial rata-rata
( ) dan ditunjukkan bahwa
( )
( ) konvergen seragam pada [– ].
Kata Kunci:aproksimasi Weierstrass, approksimasi Fejer.
Abstract
This thesis discussed about proving Weierstrass approximation theorem by using Fejer theorem. The
approximation theorem states that a continuous function on a closed interval can be approached by a
polynomial. By Fejer, this theorem is proved by showing that a continuous function ( )on a closed
interval [– ]with ( ) ( )can be approached by a polynomial average
( )then is proved
that
( ) ( ) converges uniformly on [– ].
Keywords: Weierstrass approximation theorem, Fejer theorem.
1. Pendahuluan
Dalam aplikasi-aplikasi matematika, umumnya menggunakan fungsi-fungsi yang jauh
lebih rumit dari fungsi standar. Beberapa dari fungsi-fungsi tersebut tidak dapat diekspresikan
dalam bentuk standar, dan beberapa lagi hanya diketahui secara implisit atau melalui grafiknya.
Untuk kasus-kasus seperti itu digunakan suatu pendekatan/aproksimasi terhadap fungsi tersebut.
1
Salah satu bentuk aproksimasi diberikan oleh Karl Wilhelm Theodor Weierstrass (1885)
yang dikenal teorema Weierstrass yang menyatakan bahwa suatu fungsi yang kontinu pada suatu
interval tutup dapat dihampiri oleh polinomial ( ). Pembuktian teorema aproksimasi
Weierstrass yang paling terkenal adalah pendekatan konstruktif melalui polinomial Bernstein oleh
Sergei Bernstein pada tahun 1911 yaitu, jika adalah sebuah fungsi kontinu bernilai real pada
, -, maka barisan polinomial Bernstein
( ) ∑(
)
( )
.
/
untuk setiap konvergen seragam ke .Pembuktian teorema aproksimasi Weierstrass juga
dilakukan oleh Fejer dan Marshall Stone.Dalam tulisan ini, pembahasan difokuskan pada
pembuktian teorema Weierstrass dengan menggunakan teorema Fejer. Permasalahan yang akan
dibahas dibatasi pada fungsi trigonometri yang kontinu dan terbatas pada interval [– ] dimana
fungsi-fungsinya bernilai real yang terdefinisi pada semua domain dan periodik dengan periode
serta terintegralkan Riemann pada [– ].
1
Prodi Matematika,Jurusan Matematika,Universitas Hasanuddin,email: : [email protected]
1,2,3
Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin Makassar, Jl. Perintis Kemerdekaan Km.10
Makassar
140
NaimahAris, Jusmawati M,Islamiyah Abbas,
2
Prodi Matematika, Jurusan Matematika, Universitas Hasanuddin, email: [email protected]
3
Prodi Matematika, Jurusan Matematika, Universitas Hasanuddin, email:
[email protected]
2. Tinjauan Pustaka
Terkait dengan permasalahan yang akan diselesaikan, kajian pustaka yang penting untuk
dipahami adalah teori mengenai Fungsi Integral Riemann, dan Deret Fourier.
2.1 Integral Riemann
Definisi 2.1
Fungsi , - disebut terintegralkan Riemann di , - jika terdapat bilangan
sehingga terdapat
di , - sedemikian sehingga jika ̇ adalah
partisi bertanda dari , - dengan ‖ ̇‖
, maka| ( ̇) |
Teorema 2.1
Jika *
( )+ adalah barisan fungsi yang terintegral Riemann dan *
( )+ konvergen
seragam ke ( ), maka ( ) terintegral Riemann.
Teorema 2.2
Misalkan positif dan monoton turun pada * +. Deret ∑
konvergen jika dan
hanya jika integral tak wajar∫ ( )
∫ ( )
ada. Dalam hal ∑
konvergen, jumlah parsial
∑
dan jumlah ∑
memenuhi
∫ ( )
∫ ( )
2.2 Deret Fourier
Definisi 2.2
Misal [– ], deret Fourier dari diberikan oleh
( )
∑(
)
Dengan koefisien-koefisien Fourier berikut
∫ ( )
∫ ( )
∫ ( )
Definisi 2.3
Misalkan , ) . Perluasan periodik (dengan periode ) dari ke
diperoleh dengan mendefinisikan ( ) ( ), dimana sedemikian sehingga
, ).
141
NaimahAris, Jusmawati M,Islamiyah Abbas,
Definisi 2.4
Misalkan , -. Deret sinus Fourier dari diberikan oleh ( ) ∑
dimana
∫ ( )
adalah koefisien sinus Fourier dari . Dengan
cara yang sama, deret cosinus Fourier dari , - diberikan oleh
( )
∑
dimana
∫ ( )
∫ ( )
adalah
koefisien cosinus Fourier dari .
Teorema 2.3
Misalkan *
+ dan *
+ adalah barisan dari bilangan real yang memenuhi
a) Jumlahan parsial
∑
membentuk barisan terbatas,
b)
, dan
c)
, maka ∑
konvergen.
Teorema 2.4
Misalkan *
+ adalah barisan dari bilangan real yang memenuhi
dan
Maka
a) ∑
konvergen untuk setiap , dan
b) ∑
konvergen untuk setiap , kecuali pada , .
Definisi 2.5
Deret yang berbentuk
∑(
)
dimana
dan
adalah
bilangan real disebut deret trigonometri.
Teorema 2.5
Jika deret trigonometri
∑(
)
konvergen seragam pada
[– ], maka deret tersebut adalah deret Fourier dari fungsi bernilai real yang kontinu
pada [– ].
Teorema 2.6
Misalkan
, - untuk setiap , dan misalkan bahwa barisan *
+ konvergen
seragam ke pada , -. Maka , - dan ∫ ( )
∫
( )
Teorema 2.7
Jika periodik dengan periode dan terintegralkan Riemann pada , -, maka
terintegralkan Riemann pada , - untuk setiap , dan ∫ ( )
∫ ( )
Definisi 2.6
Barisan *
+ dari fungsi non negatif yang terintegralkan Riemann pada , - yang
memenuhi
) ∫
( )
dan
)
∫
( )
* | |+
disebut identitas aproksimasi pada , -.
142
NaimahAris, Jusmawati M,Islamiyah Abbas,
Teorema 2.8
Misalkan *
+ sifat aproksimasi pada , -, dan misalkan fungsi periodik pada
periode 2 bernilai real yang terbatas di dengan , -.
Untuk , , didefinisikan
( ) ∫ ( )
( )
Jika kontinu di , maka
( ) ( )
Selanjutnya, jika kontinu pada , -, maka
( ) ( ) seragam pada .
3. Hasil dan Pembahasan
Aproksimasi Weierstrass adalah suatu bentuk aproksimasi terhadap suatu fungsi kontinu
pada suatu interval tutup oleh suatu fungsi polinomial.
Teorema 3.1
Jika , - kontinu, maka untuk setiap , maka terdapat polinomial ( ),
sedemikian sehingga | ( ) ( )| , -
Pada teorema yang diberikan oleh Fejer, diberikan secara eksplisit versi trigonometri dari
teorema Weierstrass. Fungsi-fungsi yang memegang peranan penting dalam pembuktian teorema
Fejer adalah fungsi yang dikenal sebagai Kernel Fejer yang merupakan suatu fungsi yang
dibangun dari Dirichlet Kernel.
Misalkan adalah suatu fungsi bernilai real yang terdefinisi pada [– ] dan diperluas
pada domain dimana periodik dengan periode . Selanjutnya diasumsikan bahwa
, -.
Teorema 3.2
Misalkan , -. Maka untuk setiap dan berlaku
( )
∫ ( )
( )
dimana
adalah Dirichlet kernel diberikan oleh
( )
∑
{
(
)
Bukti :
Berdasarkan definisi koefisien-koefisien Fourier
dan
, diperoleh
( )
∑(
)
∫ ( )
[
∑ ( )
] (1)
Misalkan
( )
∑
, maka dengan menggunakan persamaan (1), diperoleh
( )
∫ ( )
[
∑ ( )
]
∫ ( )
( )
Selanjutnya, sisa mengambil fungsi
( ).
- Untuk , , diperoleh
143
NaimahAris, Jusmawati M,Islamiyah Abbas,
( )
∑
- Untuk , dengan identitas dari Teorema 2.5, diperoleh
( )
(
)
(
)
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa jika , - maka barisan *
+ akan konvergen
ke suatu fungsi pada , -. Untuk membuktikan kekonvergenan dalam rata-rata dari deret
Fourier, didefinisikan rata-rata aritmetika dari jumlahan parsial
. Untuk setiap , diberikan
( )
( )
( )
( )
( )
Teorema 3.3
Jika limit dari *
+ ada, maka
Bukti :
Misalkan barisan *
+ konvergen ke , sehingga
Selanjutnya, terdapat bilangan asli sedemikian sehingga untuk setiap ,
|
|
Persamaan (2) dapat dituliskan
( )
∑
( )
Misalkan . Dengan manipulasi aljabar, persamaan (3) dapat dituliskan
∑(
)
∑(
)
Dengan mengaplikasikan ketidaksamaan segitiga pada kedua penjumlahan dan karena
, maka penjumlahan sisi kanan lebih kecil dari ( )
. Sehingga diperoleh
|
| |
∑(
)
∑(
)
|
( )
karena konstan dan misalkan semakin besar hingga penjumlahan sisi kiri lebih kecil dari
,
diperoleh
|
|
untuk setiap . Jadi,
konvergen ke .
Lemma 3.1
Untuk , misalkan
( )
∑(
)
Maka
)
( )
∑(
)(
)
144
NaimahAris, Jusmawati M,Islamiyah Abbas,
dan
) ∫, ( )
( )-
∫, ( )
( )-
Teorema 3.4
Misalkan , -. Maka untuk setiap dan ,
( )
∫ ( )
( )
dimana
adalah kernel Fejer, diberikan oleh
( )
∑
( )
{
( )
[
( )
]
Bukti:
Dengan Teorema 3.2,
( )
∫ ( )
( )
dimana
adalah Dirichlet Kernel. Oleh karena itu,
( )
∫ ( )
( )
dimana
( )
∑
( )
Jika , , maka
( )
, dan jadi
( )
∑(
)
( )
Jika , , maka
( )
( )
∑ (
)
( )
∑
(
)
Dengan sifat
, ( ) ( )-,
∑
(
)
∑( ( ) )
( )
Oleh karena itu, untuk ,
145
NaimahAris, Jusmawati M,Islamiyah Abbas,
( )
( )
[
( )
]
Teorema 3.5
a)
periodik pada periode dengan
( )
( ).
b)
( ) untuk setiap .
c)
∫
( )
.
d) Untuk ,
( ) seragam untuk setiap , | | .
Bukti :
a) Diketahui
( )
( )
*
( )
+
. Karena
(
( )
( )) ( )
( )
dan
( )
subtitusikan hasil ini ke
diperoleh
( )
( )
[
( )
]
( )
[
( )
]
( )
Selanjutnya,
( )
( )
[
( )
( )
( )
]
( )
[
( )
]
( )
diperoleh
( )
( ).
Oleh karena itu,
periodik dengan periode .
b) Karena
( )
*
( )
+
untuk , maka
( ) untuk semua nilai .
c) Karena
∫
( )
, diperoleh
∫
( )
∑
∫
( )
d) Karena
.
/
.
/ untuk semua dan | | dan
146
NaimahAris, Jusmawati M,Islamiyah Abbas,
(( )
)
| (( )
)|
diperoleh
( )
( )
[
( )
]
( )
untuk semua nilai , dan | | . Untuk setiap , dimana , diperoleh
( )
( )
Karena
( ) sehingga
( )
Oleh karena itu,
( ) secara seragam pada | | .
Teorema 3.6
Jika adalah fungsi bernilai real pada [– ] dengan ( ) ( ), maka
( ) ( )
seragam pada [– ].
Bukti :
Diketahui adalah fungsi yang bernilai real pada yang periodik dengan periode , dari
Teorema 3.4,
( )
∫ ( )
( )
Dengan mengubah variabel diperoleh
( )
∫ ( )
( )
Karena fungsi yang memetakan ( )
( ) periodik dengan periode , diperoleh
( )
∫ ( )
( )
Selanjutnya, karena kontinu pada [– ] dengan ( ) ( ), maka diperoleh
( ) ( )
seragam pada [– ].
Akan ditunjukkan bahwa teorema aproksimasi Weierstrass versi trigonometri dapat
dibuktikan dengan menggunakan teorema Fejer sebagai berikut
147
NaimahAris, Jusmawati M,Islamiyah Abbas,
Teorema 3.7
Misalkan kontinu pada[– ]dengan ( ) ( ). Untuk setiap , terdapat
polinomial trigonometri
( )
∑(
)
sedemikian sehingga
| ( )
( )|
untuk setiap [– ].
Bukti:
Misalkan kontinupada[– ]dengan ( ) ( ). Diketahui bahwa
( ) adalah rata-rata
jumlahan parsial dari deret trigonometri dan deret tersebut juga merupakan fungsi polinomial
trigonometri, dimana
( )
∑(
)(
)
sehingga
( )
( ). Dari teorema Fejer diperoleh
( ) ( )
konvergen seragam pada [– ], yang berarti
( ) konvergen seragam ke ( ). Berdasarkan
definisi konvergen seragam, diperoleh
| ( )
( )| | ( )
( )|
untuk setiap .
4. Penutup
Berdasarkan hasil yang diperoleh dapat disimpulkan bahwa teorema aproksimasi
Weierstrass dapat dibuktikan dengan teorema Fejer, yaitu
Misalkan kontinu pada [– ] dengan ( ) ( ). Untuk setiap , terdapat polinomial
trigonometri (yang diperoleh dari teorema Fejer)
( )
∑(
)(
)
dan
( ) ( )
seragam pada [– ], sedemikian sehingga
| ( )
( )|
untuk setiap [– ].
DAFTAR PUSTAKA
[1] Manfred Stoll, 1997, Introduction to Real Analysis, Addison-Wesley, Amerika
Serikat.
[2] Robert G. Bartle and Donald R. Sherbert, 2000, Introduction to Real Analysis third
edition, John Wiley & Sons, New York.
[3] Robert Wrede dan Murray R. Spiegel, 2007, Schaum’s Outlines Teori dan Soal-soal
148
NaimahAris, Jusmawati M,Islamiyah Abbas,
Kalkulus Lanjut, Erlangga, Jakarta.
[4] William Ted Martin, E. H. Spanier, G. Springer and P. J. Davis, 1976, Principles
of
Mathematical Analysis third edition, McGraw-Hill, Inc., New York.
[5] Dilcia P´erez, Yamilet Quintana, 2008, A survey on the Weierstrass
approximation
theorem, Divulgaciones Matem´aticas, Vol. 16 No. 1, pp. 231–247