Jurnal Barekeng
Vol. 5 No. 1 Hal. 47 – 51 (2011)
APROKSIMASI DISTRIBUSI WAKTU HIDUP YANG AKAN DATANG
(Aproximations of the Future Lifetime Distribution)
THOMAS PENTURY
1
, RUDY WOLTER MATAKUPAN
2
, LEXY JANZEN SINAY
3
1
Guru Besar Jurusan Matematika FMIPA UNPATTI
2,3
Staf Jurusan Matematika FMIPA UNPATTI
Jl. Ir. M. Putuhena, Kampus Unpatti, Poka-Ambon
e-mail: [email protected], [email protected], [email protected]
ABSTRACT
This paper give an analitical technique to approximate future lifetime distributions.
Approximations of the future lifetime distribution based on the shifted Jacobi polynomials, and
it yielded the sequences of a exponentials combination. The results of approximations of the
future lifetime distribution in this cases study based on Makeham’s Law. It is very accurate in
the case study.
Keywords: approximations, future lifetime distribution, shifted Jacobi polynomials,
exponentials combination, Makeham’s law
PENDAHULUAN
Dalam matematika dan statistika, bentuk
eksponensial sangat penting dalam penerapannya. Secara
khusus, bentuk eksponensial digunakan dalam
membentuk fungsi-fungsi khusus untuk menentukan suatu
distribusi peluang. Salah satu distribusi peluang yang
menggunakan bentuk eksponensial adalah distribusi
eksponensial. Distribusi ini memberikan suatu kemudahan
dalam berbagai penghitungan.
Penulisan ini memberikan suatu cara untuk
mengaproksimasi distribusi peluang dari suatu kombinasi
eksponensial. Dengan demikian, masalah yang
dikemukakan dalam penulisan ini adalah mengkonstruksi
suatu bentuk aproksimasi distribusi waktu hidup yang
akan datang (future lifetime) ke dalam bentuk kombinasi
eksponensial dan kemudian memperlihatkan keakuratan
dari hasil-hasil aproksimasi tersebut secara numerik.
TINJAUAN PUSTAKA
Pada umumnya bentuk dari kombinasi eksponensial
merupakan suatu bentuk kombinasi dari fungsi kepadatan
peluang distribusi eksponensial. Secara numerik bentuk
kombinasi eksponesial tersebut memiliki kemudahan
untuk diterapkan. Hal ini dikarenakan distribusi
eksponensial memberikan suatu penghitungan yang
sangat sederhana, sehingga mudah untuk dapat
diaplikasikan ke berbagai bidang seperti teori resiko, teori
antrian, teori keuangan, teori aktuaria, dan lain-lain. Salah
satu sifat penting dari kombinasi eksponensial adalah
suatu bentuk yang dense dalam himpunan distribusi
peluang atas 0, .
Bentuk kombinasi eksponensial dari aproksimasi
distribusi peluang dapat dibentuk dengan berbagai
metode. Suatu metode aproksimasi distribusi peluang
dengan menggunakan sifat-sifat dari polinomial Jacobi
merupakan sesuatu bentuk yang konstruktif untuk
mengaproksimasi distribusi peluang. Hasil yang diperoleh
dari aproksimasi distribusi peluang ini merupakan suatu
fungsi distribusi yang terdiri atas barisan-barisan yang
berbentuk kombinasi eksponensial, yang mana barisan-
barisan tersebut merupakan barisan-barisan yang
konvergen. (Dufresne, 2006)
Selain ulasan beberapa pustaka mengenai penulisan
ini, pada bagian ini akan diberikan beberapa simbol dan
teori-teori dasar yang akan digunakan dalam pembahasan.
Berikut ini akan diberikan definisi dari beberapa fungsi
khusus. Sebelumnya, simbol Pochhammer untuk suatu
bilangan a dinotasikan dengan
n
a , didefinisikan seperti
berikut,
0
1a
, 11
n
a a a a n , 1,2,n .
Dengan demikian, fungsi hipergeometri Gauss yang
dinotasikan dengan
21
, , ;F , dapat didefinisikan
seperti berikut,
48
Pentury | Matakupan | Sinay
Barekeng Vol. 5 No.1 Hal 47 – 51 (2011)
21
, , ;
c
F a b c z
b c b
1
11
0
11
a c bb
zt t t dt
0
!
n
nn
n n
ab z
cn
dengan 1z , Re Re 0cb .
Berikut akan diberikan ulasan singkat tentang
distribusi waktu hidup yang didasarkan atas hukum
Makeham. Misal X adalah variabel random kontinu yang
mengikuti usia hidup seseorang (dari kelahiran sampai
kematian). Untuk usia hidup x, diberikan percepatan
mortalitas yang didasarkan atas hukum Makeham seperti
berikut ,
x
x A Bc x
.
Bentuk ini sering disebut sebagai hazard rate atau failure
rate.
Kemudian berdasarkan hukum Makeham, maka
dapat diperoleh fungsi survival dari distribusi Makeham
seperti berikut,
00
exp exp
xx
y
S x y dy A Bc dy
0
1
exp
log
x
y
c
Ay B
c
1
exp
log
x
c
Ax B
c
exp 1
x
Ax m c
, dengan log
B
m
c
.
HASIL DAN PEMBAHASAN
1. Distribusi Waktu Hidup Yang Akan Datang
Misal variabel random X memiliki distribusi waktu
hidup. Dengan demikian, x adalah usia hidup dari
seseorang yang dinotasikan dengan x . Waktu hidup
yang akan datang (future lifetime) dari x adalah Xx
yang dinotasikan dengan Tx atau x
T , atau untuk lebih
simpel cukup ditulis dengan notasi T; merupakan variabel
random yang bergantung pada x . Berikut akan
diberikan cdf dari T, yaitu ,F t T t t
P
.
Bentuk cdf dari T yang diberikan pada persamaan
(2) merupakan peluang x meninggal dalam jangka
waktu t tahun. Bentuk ini sering dinotasikan dengan tx
q .
Dengan demikian, peluang x untuk hidup selama t
tahun adalah 1,
t x t x
p q T t t
P
.
Karena tx
q adalah suatu cdf untuk variabel random
T, maka tx
p merupakan ccdf dari T, yang dapat ditulis
sebagai
T
Ft .
Perhatikan bahwa
T
Ft merupakan peluang x
dapat hidup mencapai xt tahun, sehingga dapat
diperoleh hubungan antara fungsi survival Sx dan ccdf
T
Ft
seperti berikut:
T
F t T tP X x t X x P
X x t X x P
S x t
Sx
, untuk setiap ,xt
2. Kombinasi Eksponensial dari Aproksimasi
Distribusi Peluang
a. Kombinasi Eksponensial
Berikut ini, akan diberikan bentuk umum dari suatu
kombinasi ekponensial dengan mendefinisikan sebuah
fungsi yang berbentuk
0
1
j
n
t
jj t
j
f t a e
1
dimana j
a , j
adalah konstan. Fungsi ini adalah
fungsi densitas peluang (pdf) jika
(a) 1
1
n
j
j
a
;
(b) 0
j
, untuk setiap j;
(c) 0fx , untuk setiap 0x .
Kondisi (a) dan (b) menyatakan bahwa fungsi f
terintegral untuk 1 atas , namun tidak untuk kondisi
(c). Jika 0
j
a untuk semua j, maka persamaan (4)
disebut sebuah mixture of exponentials atau disebut juga
sebagai distribusi hiper-eksponensial.
Teorema 1 memperlihatkan kekonvergenan dari
barisan variabel random yang mana pdf dari variabel
random tersebut merupakan suatu kombinasi
eksponensial. Bukti dari Teorema 1 dapat di lihat di Sinay
(2010).
Teorema 1.
(a) Misal T variabel random non negatif. Maka terdapat
suatu barisan variabel random
n
T masing-masing
dengan suatu pdf yang diberikan oleh suatu
kombinasi eksponensial dan sedemikian sehingga n
T
konvergen dalam distribusi ke T.
(b) Jika distribusi T tidak mempunyai atom, maka
0
lim sup 0
n
TT
n
t
F t F t
(3)
(2)
(5)
(1)
(4)
49
Pentury | Matakupan | Sinay
Barekeng Vol. 5 No.1 Hal 47 – 51 (2011)
b. Polinomial Jacobi Teralihkan
Pada umumnya, bentuk polinomial Jacobi dapat
didefinisikan seperti berikut
,
21
1 1
, 1, 1; ,
!2
n
n
x
P x F n n
n
untuk0,1,n dan ,1 . Diketahui juga bahwa
polinomial Jacobi ortogonal atas interval 1, 1 , untuk
fungsi bobot 11xx
.
Kemudian bentuk polinomial Jacobi teralihkan
(shifted Jacobian polynomials) dapat diturunkan seperti
berikut:
,,
21
nn
R x P x
21
1
, 1, 1;1
!
n
n n x
n
F
0
n
j
nj
j
x
,
dimana 21
F adalah fungsi hipergeometri Gauss dan
11
1 ! !
n
n j j
j
nn
nj
nj
.
Dengan demikian, polinomial Jacobi teralihkan ortogonal
atas 0, 1 , dengan fungsi bobotnya adalah
,
1x x x
w
.
Sifat-sifat dari polinomial Jacobi teralihkan dapat
diberikan untuk suatu fungsi yang terdefinisi atas 0, 1
(termasuk semua fungsi kontinu dan terbatas)
sedemikan sehinga,
,
1x x x
w
,
1
,
0
1
1
nn
n
x x x R x dx
h
c
,
21
,
0
1
nn
h x x R x dx
11
2!
nn
n n n
c. Aproksimasi Distribusi Waktu Hidup Yang Akan
Datang
Berdasarkan teori shifted Jacobi polynomials yang
diberikan pada bagian sebelumnya, maka teori tersebut
dapat diterapkan ke dalam suatu distribusi peluang atas
dengan cara seperti berikut ini.
Misal Ft adalah cdf, dan misal 1F t F t TtP
.Ft merupakan ccdf (komplemen cdf). Ft
sering disebut juga sebagai fungsi survival. Jika 01F
dan 1F , untuk 0t . Misal T
menyatakan waktu sampai kematian dari usia hidup x,
maka
tx
F t p .
Diketahui bahwa 0r ,
1
logg x F x
r
, 01x , 00g .
Pemetaan yang terjadi dari bentuk ini merupakan
pemetaan 0, pada 0, 1 , yang mana 0t
berkorespondensi dengan 1x , dan t
berkorespondensi dengan 0x . Diketahui juga bahwa 0F
, maka dapat diperoleh sedemikian rupa
sehingga 00g .
Misal parameter-parameter , , p dan
k
b
diketahui sedemikian sehingga, dengan menerapkan
shifted Jacobi polynomials dapat diperoleh
,
0
p
kk
k
g x x b R x
, 01x .
Ekuivalen dengan
rt
F t g e
0
prt jrt
k kj
kj
e b e
0
j p rt
k kj
jk
be
.
Bentuk di atas memiliki kesamaan dengan bentuk (4), jika
j
j p r
, untuk 0,1,2,j . Jika 0p , suatu
kombinasi eksponensial dapat diperoleh dengan cara
pemotongan jumlahan dari deret di atas. Berdasarkan
bentuk dari deret yang diberikan di atas, maka konstanta
k
b
dapat ditemukan seperti berikut:
1
,
0
1
1
p
kk
k
b x g x R x x x dx
h
1,
0
1
p rt rt rt
k
k
r
e e R e F t dt
h
.
Dengan demikian, bentuk (5) merupakan kombinasi dari
bentuk
1
0
1
p j rt rt
e e F t dt
, 0, 1, ,jk
Jika 0 , maka dapat diperoleh
00
11
1
st st st
e F t dt F t d e e
ss
E
,
dengan 0s
Hal ini berarti, konstanta
k
b dapat diperoleh dengan
menggunakan transformasi Laplace dari distribusi T.
Teorema berikut ini merupakan konsekuensi
langsung dari shifted Jacobian polynomials.
Teorema 2. Misal ,1 , F kontinu atas 0,
dan diberikan fungsi beriku ini.
prt
e F t
(6)
(5)
50
Pentury | Matakupan | Sinay
Barekeng Vol. 5 No.1 Hal 47 – 51 (2011)
yang memiliki sebuah limit yang berhingga untuk t
menuju tak hingga, untuk beberapa p (hal ini selalu
benar di mana 0p ). Maka berlaku
,
0
prt rt
kk
k
F t e b R e
Untuk setiap 0,t dan konvergen seragam atas
setiap interval ,ab , untuk 0ab .
Bukti lihat Sinay (2010)
Tidak semua distribusi terkondisi dalam Teorema 2.
Hasil dalam teorema berikut tidak membutuhkan asumsi
ini.
Teorema 3. Misal ,1
dan untuk beberapa p
dan 0r
212
0
1
p rt rt
e e F t dt
(ini selalu benar jika 1
2
p
). Maka
2
,
0
0
lim
N
prt rt
kk
N
k
F t e b R e
12
10
p rt rt
e e dt
Bukti lihat Sinay (2010).
Pemotongan jumlahan dari deret yang diperoleh
dengan menggunakan metode ini bukanlah fungsi
distribusi yang sebenarnya. Ini merupakan suatu
aproksimasi dari bentuk ccdf distribusi T. Fungsi yang
diperoleh dari metode ini, bisa lebih kecil dari 0 atau lebih
besar dari 1, atau fungsi tersebut mungkin saja turun pada
beberapa interval.
3. Implementasi Numerik
Hasil-hasil yang diperoleh pada bagian ini
didasarkan atas hukum Makeham seperti yang diberikan
pada persamaan (1), dengan menggunakan asumsi
parameter-parameter seperti berikut: 0.0007A
; 5
5 10B
; 0.04
10c ,
yang mengikuti Bowers et al (1997).
a. Aproksimasi Distribusi Waktu Hidup Yang Akan
Datang
Hasil aproksimasi yang diperoleh pada bagian ini
menggunakan persamaan (6), dengan menggunakan
parameter-parameter berikut = = 0, p = 0.2, r = 0.08.
Berdasarkan persamaan (3), maka dapat diperoleh
1.09648 0.0005429 0.0005429 1.09648 0.0007
xt
t
e
dengan t
. Hasil ini dapat diterapkan pada
persamaan (6) untuk usia hidup x = 30 dan x = 65, dengan 18N
. Hasil secara visual dapat dilihat pada Gambar 1.
Dengan demikian, tingkat ketelitian pada saat 18N
cukup baik (lihat Tabel 1).
Gambar 1. Distribusi waktu hidup yang akan datang
Dari Gambar 1, dapat dilihat bahwa aproksimasi
yang digunakan untuk mengaproksimasi distribusi waktu
hidup yang akan datang sangat akurat. Dengan demikian,
hasil aproksimasi sangat akurat untuk diterapkan.
Untuk melihat tingkat ketelitian dari hasil
aproksimasi dari distribusi waktu hidup yang akan datang
untuk beberapa N yang berbeda dapat dilihat pada Tabel
1, dimana tingkat ketelitian semakin baik untuk usia
hidup 65 tahun, dan untuk nilai yang semakin besar.
Tabel 1
Estimasi tingkat ketelitian
‖ ̂
‖
( ) ( )
3 0.41 0.082
5 0.3 0.043
7 0.198 0.0198
10 0.0798 0.0065
18 0.043 0.001
KESIMPULAN
Berdasarkan hasil-hasil penelitian yang diberikan
dalam penulisan ini, maka dapat disimpulkan bahwa
Bentuk aproksimasi ccdf (fungsi survival) dari distribusi
waktu hidup yang akan datang adalah
,
0
prt rt
kk
k
F t e b R e
,
yaitu dengan melakukan pemotongan terhadap jumlahan
dari deret tersebut. Misal pemotongan deret di atas dalam
S x t
Ft
Sx
(6)
51
Pentury | Matakupan | Sinay
Barekeng Vol. 5 No.1 Hal 47 – 51 (2011)
N bagian, maka hasil dari aproksimasi tersebut dapat
dinyatakan dalam bentuk
0
j
N
t
j
j
F t c e
dengan
j
j p r , 0,1, ,jN .
Dengan demikian, bentuk aproksimasi yang
dihasilkan adalah suatu bentuk kombinasi eksponensial.
Tingkat ketelitiannya semakin membaik jika N semakin
meningkat.
Hasil-hasil yang diberikan dalam penulisan ini dapat
digunakan untuk penghitungan nilai-nilai anuitas hidup
kontinu (bentuk eksak) maupun anuitas hidup stokastik.
Hal ini dikarenakan oleh hasil yang didapat secara
numerik sangat akurat.
DAFTAR PUSTAKA
Bowers, N. L. Jr., Gerber, H. U., Hickman, J. C., Jones,
D. A., dan Nesbitt, C. J., 1997, Actuarial
Mathematics. edisi kedua, Society of Actuaries,
Schaumburg, IL.
Dufresne, D., 2006, Fitting Combinations of Exponentials
to Probability Distributions, To Appear in Applied
Stochastic Models in Business and Industry.
Dufresne, D., 2007, Stochastic Life Annuities, North
American Actuarial Journal.
Sinay, L. J., 2010, Anuitas Hidup yang didasarkan atas
Kombinasi Eksponensial dari Aproksimasi
Distribusi Waktu Hidup Yang Akan Datang, Tesis
pada Program Studi S2 Matematika Fakultas MIPA,
Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta.