RuangVektorUmum
(bagian1)
BahankuliahIF2123 AljabarLinier dan Geometri
Oleh: Rinaldi Munir
Program StudiTeknik Informatika
STEI-ITB
Seri bahankuliahAlgeo#14
1

Sumber:
Howard Anton & Chris Rores, Elementary Linear Algebra, 10
th
Edition
2

Pengantar
•Studitentangvektorpada awalnyadimulaidenganmenampilkanvektorsebagai
ruasgarisdengantandapanah( ).
•Vektor-vektordi ruangR
2
dan R
3
dinyatakansebagai2-tupel atau3-tupel (yaitu
(w
1, w
2) atau(w
1, w
2, w
3)) dan dapatdigambarkansecaravisual sebagairuasgaris
pada sistemkoordinatkartesian.
•Selanjutnya, pengertianvektordiperluaskeruangR
n
, dan sebuahvektor
dinyatakansebagain-tupel, namunpenggambaransecaravisual menjaditidak
mungkinlagi.
•Konsepvektordi ruangR
n
dapatdiperluassehinggaberbagaiobjekmatematika
dapatdiperlakukansebagaivektorasalkanmemenuhisejumlahaksioma.
3

RuangVektor
•Yang dimaksuddenganruangvektor(vector space) adalahhimpunanobjek-objek
yang dilengkapidenganduaoperasidi dalamhimpunantersebut, yaitu:
1. operasipenjumlahanobjek-objek
2. operasiperkalianobjekdenganskalar
•R
3
adalahcontohsebuahruangvektor. Himpunanobjeknyaadalahvektor-vektor
yang dinyatakansebagaiv= (v
1, v
2, v
3). Di dalamR
3
didefinisikanoperasi
penjumlahanduabuahvektor, u+ v, dan perkalianskalarkvsepertiyang sudah
dipelajarisebelumnya.
•Namun, kitadapatmemperlakukanhimpunanlain sebagairuangvektorasalkan
memenuhipersyaratanyang dijelaskanpada slideberikut.
4

RuangVektor
Sebuahhimpunanobjek-objekVyang dilengkapidenganoperasipenjumlahan(+)
dan operasiperkaliandenganskalardapatdisebutsebagairuangvektordan
semuaobjekdi dalamVdisebutvektor, apabilamemenuhi6 aksiomaberikutini:
1.Tertutup(closure)
Operasipenjumlahandan perkalianskalarselalumenghasilkanvektordi dalamV.
Jadi, untuksemuau, vVdan skalark, maka
u+ vV
kuV
5

2.Komutatif
Untuksemuau, vV, makau+ v= v+ u
3.Asosiatif
Untuksemuau, v, wV, makau+ (v+ w) = (u+ v) + w
4.Identitas
UntuksemuauV, terdapatelemenidentitas(vektor) 0dan skalar1
sedemikiansehingga
u+ 0= 0+ u = u
1u= u
6

5.Balikan(inverse) ataunegatif
UntuksetiapuV, terdapat–uV sedemikiansehingga
u+ (–u) = (–u) + u= 0
6.Distributif
Untuksemuau, v, wV dan k, mskalar, maka
k(u+ v)= ku+ kv
(k+ m)w= kw+ mw
k(mu)= (km)u
7

•Enam(6) aksiomatersebutdapatdirangkummenjadi10 poinsebagai
berikut:
8

Cara menunjukkanapakahsebuahhimpunan
denganduaoperasimerupakanruangvektor
1.IdentifikasihimpunanV denganobjek-objekdi dalamnyayang akan
menjadivektor
2.Identifikasioperasipenjumlahandan perkalianskalardi dalamV
3.Periksaaksioma1 (tertutupterhadapoperasipenjumlahandan
tertutupterhadapoperasiperkalianskalar)
4.Periksaapakahlima aksiomalainnyadipenuhi
9

Contoh-contohRuangVektor
1.R
n
(termasukR
2
dan R
3
) adalahruangvektor
•V = R
n
= himpunanobjekberbentuku = (u
1, u
2, …, u
n), u
iR
•Operasipenjumlahandan perkalianskalardidefinisikansbb:
•Closure: operasipenjumlahandan perkalianskalarmenghasilkan
vektordengann-tupeldi R
n
.
•Lima aksiomalainnya: komutatif, identitas, asosiatif, distributif, balikan,
juga dipenuhioleh R
n
(periksa!)
u+ v= (u
1+ v
1, u
2+ v
2, …, u
n+ v
n)
ku= (ku
1, ku
2, …, ku
n)
10

2. Ruangvektormatriks2 x 2
•V = himpunanmatriksberukuran2 x 2 denganelemen-elemenbilanganriil
•Operasipenjumlahandan perkalianskalardidefinisikansbb:
•Closure: operasipenjumlahandan perkalianskalarmenghasilkanmatriksyang
berukuran2 x 2 juga
•Aksioma-aksiomalain juga dipenuhi, misalnya
-komutatif
-elemenidentitasadalah sehingga
11

-kemudian,
-balikanataunegatif: terdapat sehingga
-periksabahwaaksiomaasosiatifdan distributifjuga dipenuhi, yaitujika
u, v, dan wadalahmatriks2 x 2, maka
dan jikakdan madalahskalarmaka
u+ (v+ w) = (u+ v) + w
k(u+ v)= ku+ kv
(k+ m)w= kw+ mw
k(mu)= (km)u
12

3.Ruangvektorfungsi-fungsibernilaibilanganriil
•V = himpunansemuafungsibernilaibilanganrill untuksetiapx di dalam
selang(-, ). ElemenhimpunanV adalahfungsiberbentukf(x)
•Operasipenjumlahandan perkalianskalardidefinisikansbb: jikaf = f(x)
dan g = g(x), maka
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
(kf)(x) = kf(x)
•Closure: operasipenjumlahanduabuahfungsidan perkalianskalarfungsi
menghasilkanfungsilain yang juga di dalamV yang terdefenisiuntukx di
dalam(-, )
•Aksioma-aksiomalain juga dipenuhi, misalnya
-komutatif: (f + g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g + f)(x)
-elemenidentitasadalah0 sehinggaf(x) + 0 = 0 + f(x) = f(x)
-negatiffungsiadalah–f(x) sehinggaf(x) + (–f(x)) = 0 = (–f(x)) + f(x)
13

4.Ruangvektorpolinom
•V = himpunansemuapolinomberbentukp(x) = a
0+ a
1x + a
2x
2
+ … + a
nx
n
untuksetiapx di dalamselang(-, ).
•Operasipenjumlahandan perkalianskalardidefinisikansbb: jikap= p(x)=
a
0+ a
1x + a
2x
2
+ … + a
nx
n
dan q= q(x) = b
0+ b
1x + b
2x
2
+ … + b
nx
n
maka
p+ q= (a
0+ b
0) + (a
1+ b
1)x + (a
2+ b
2)x
2
+ … + (a
n+ b
n)x
n
kp= ka
0+ ka
1x + ka
2x
2
+ … + ka
nx
n
•Closure: operasipenjumlahanduabuahpolinomdan perkalianskalar
polinommenghasilkanpolinomlain yang juga di dalamV yang terdefenisi
untukx di dalam(-, )
•Aksioma-aksiomalain juga dipenuhi, misalnya
-komutatif: p(x) + q(x) = q(x) + p(x)
-elemenidentitasadalah0 sehinggap(x) + 0 = 0 + p(x) = p(x)
-negatifpolinomadalah–p(x) = –a
0–a
1x –a
2x
2
–… –a
nx
n
sehinggap(x) + (–p(x)) = 0 = (–p(x)) + p(x)
14

Contohyang bukanruangvektor
MisalkanV = R
2
= himpunanobjekberbentuku = (u
1, u
2), u
iR. Didefinisikan
operasipenjumlahandan perkalianskalardi dalamV sbb:
u+ v= (u
1+ v
1, u
2+ v
2)
ku= (ku
1, 0)
Contoh: misalkanu= (3, 4), v= (5, 2) maka
u+ v= (3 + 5, 4 + 2) = (8, 6)
8u= (8 3, 0) = (24, 0)
•Aksiomaclosuredipenuhioleh ruangvektorini
•Namunruangvektorgagalmemenuhiaksiomaidentitas, sebab
1u = (1u
1, 0) = (u
1, 0) u
15

Subruang
•JikaVadalahsebuahruangvektor, makasub-himpunanWdariVdisebut
subruang(subspace) jikaWsendiriadalahruangvektordi bawahoperasi
penjumlahandan perkalianscalar
Contoh: V= R
3
, W= sebuahbidangyang melaluititikasal(0, 0, 0)
•Teorema: JikaW adalahhimpunanyang berisisatuataulebihvektordi dalam
ruangvektorV, makaW adalahsubruangdariV jikadan hanyajikakondisiberikut
terpenuhi:
1. Jikau dan vadalahvektordi W, makau + vmenghasilkanvektordi W
2. Jikakadalahskalardan uadalahvektodi W, makakuadalahvektordi W
16

Contoh-contohsubruang
1.Himpunantitik-titiksepanjanggarisyang melaluititikasaldi R
2
atau
di R
3
yang dilengkapidenganoperasipenjumlahandan perkalian
skalaradalahsubruangdariR
2
atauR
3
.
17

2.Himpunantitik-titikpada bidangyang melaluititikasaldi R
3
yang
dilengkapidenganoperasipenjumlahandan perkalianskalaradalah
subruangdariR
3
.
18

Contohyang bukansubruang
•Himpunantitik-titikdi dalamkuadran1 pada bidangkartesiantidakmembentuk
subruangkarenatidaktertutuppada operasipenjumlahandan perkalianskalar.
Contoh: v= (1, 1) adalahvektordi W tetapi(–1)v= (–1, –1) terletakdi luarW
19

Kombinasilinier
•Jikawadalahvektordi V, makawdapatdinyatakansebagaikombinasi
linier darivektor-vektorv
1, v
2, …., v
rapabilawdapatdinyatakan
sebagai
w= k
1v
1 + k
2v
2 + …. + k
rv
r
yang dalamhalinik
1, k
2, …, k
radalahskalar.
Contoh1: Misalkanv
1 = (3, 2, –1), v
2 = (2, –4 , 3), maka
w= 2v
1 + 3v
2 = 2(3, 2, –1) + 3(2, –4 , 3) = (12, –8, 7)
20

Contoh 2: Nyatakanvektor(5, 9, 5) sebagaikombinasilinier dariu= (2, 1, 4),
v= (1, –1 , 3) dan w= (3, 2, 5)
Penyelesaian:
k
1
2
1
4
+ k
2
1
−1
3
+k
3
3
2
5
=
5
9
5
Diperolehsistempersamaanlinier (SPL):
2k
1+ k
2+ 3k
3= 5
k
1–k
2+ 2k
3= 9
4k
1+ 3k
2+ 5k
3= 5
SelesaikanSPL di atasdenganmetodeeliminasiGauss, diperoleh:
k
1= 3, k
2= –4, k
3= 2
21

Teorema: JikaS = {w
1, w
2, …, w
r} adalahhimpunanvektor-vektordi
ruangvektorV, maka
(a)HimpunanW yang berisisemuakombinasilinier vektor-vektordi
dalamS adalahsubruangdariV
(b)HimpunanW tersebutadalahsubruang“terkecil” dariV yang
mengandungvektor-vektordi dalamS denganpengertianbahwa
sembarangsubruanglain yang mengandungvektor-vektortersebut
juga mengandungW.
22

Himpunanmembangun(spanning set)
•Jikav
1, v
2, …, v
radalahvektor-vektordi dalamruangvektorV dan subruangdari
V dibentukdarikombinasilinier v
1, v
2, …, v
rmakahimpunanS = {v
1, v
2, …, v
r}
dikatakanmembangun(span) subruangtersebut.
•S = {v
1, v
2, …, v
r} disebuthimpunanmerentangatauhimpunanmembangun
(spanning set).
•S membangunsubruangmakakitamenyatakannyasebagai
span{v
1, v
2, …, v
r} atauspan(S).
•JikaS = {v
1, v
2, …, v
r} membangunV makasembarangvektoru= (u
1, u
2, …, u
r)
di Vdapatdinyatakansebagaikombinasilinier u= k
1v
1+ k
2v
2+ … + k
rv
r
23

24

Contoh3: Vektor-vektorsatuanstandard i= (1, 0, 0), j= (0, 1, 0), dan
k= (0, 0, 1) membangunR
3
karenasetiapvektorv= (v
1, v
2, v
3) di R
3
dapatdinyatakansebagaikombinasiliner v= v
1i+ v
2j + v
3k.Kita
dapatmenyatakanR
3
= span{i, j, k}.
Contoh4: Polinom1, x, x
2
, …, x
n
membangunruangvektorP
n, karena
setiappolinompdi dalamP
ndapatditulissebagai
p= a
0+ a
1x + a
2x
2
+ … + a
nx
n
yang merupakankombinasilinier dari1, x, x
2
, …, x
n
. Kita dapat
menyatakanbahwaP
n= span{1, x, x
2
, …, x
n
}
25

Contoh 5: Tentukanapakahv
1 = (2, –1 , 3), v
2= (4, 1, 2) dan v
3 = (8, –1 , 8) membangunR
3
?
Penyelesaian: Kita harusmenentukanapakahsembarangvektoru= (u
1, u
2, u
3) di R
3
dapat
dinyatakansebagaikombinasilinier u= k
1v
1+ k
2v
2+ k
3v
3
(u
1, u
2, u
3) = k
1(2, –1 , 3) + k
2(4, 1, 2) + k
3(8, –1 , 8)
DiperolehSPL:
2k
1+ 4k
2+ 8k
3= u
1
–k
1+ k
2–k
3= u
2
3k
1+ 2k
2+ 8k
3= u
3
ApakahSPL di atasdapatdipecahkan? PerhatikanmatrikskoefisienSPL, yaitu
det(A) = 2
1−1
28
−4
−1−1
38
+8
−11
32
= 20 + 20 –40 = 0
Karena det(A) = 0, makaSPL tersebuttidakkonsisten, artinyatidakterdapatk
1, k
2dan k
3yang
memenuhi. Oleh karenaituutidakdapatdinyatakansebagaikombinasiliner u= k
1v
1+ k
2v
2+
k
3v
3. Dengankata lain v
1, v
2,danv
3tidakmembangunR
3
.
A =
248
−11−1
328
26

Kebebasanlinier (linear independence)
•MisalkanV adalahruangvektor. HimpunanS = {v
1, v
2, …, v
r} dikatakanbebas
linier(linear independence) jikadan hanyajikakombinasilinier
k
1v
1 + k
2v
2 + …. + k
rv
r= 0
memilikihanyasatusolusi yaitu
k
1= 0, k
2= 0, …, k
r= 0
Solusi inidisebutsolusi trivial.
•Sebaliknya, S = {v
1, v
2, …, v
r} dikatakantidakbebaslinier ataukebergantungan
linier (linear dependence) jikadan hanyajikakombinasilinier
k
1v
1 + k
2v
2 + …. + k
rv
r= 0
memilikisolusi non-trivial, yaitumemilikisolusi lain selaink
1= 0, k
2= 0, …, k
r= 0
27

Pengertianlain bebaslinier dan tidakbebaslinier adalahsbb:
SebuahhimpunanS yang memilikiduaataulebihvektordikatakan:
(a)tidakbebaslinier (linear dependence) jikadan hanyajikasedikitnya
satuvektordi dalamS adalahkombinasilinier darivektor-vektor
lainnya.
(b)bebaslinier (linear independence) jikatidakadavektordi dalamS
yang dinyatakansebagaikombinasilinier darivektor-vektorlainnya.
28

Contoh6: MisalkanS = {v
1, v
2, v
3 } denganv
1 = (1, 2 , 3), v
2= (2, 1, 5) dan v
3 = (4, 5,
11). Kita dapatmemverifikasibahwa
2v
1 + v
2–v
3 = 0 →v
3 = 2v
1 + v
2
Karena v
3 = 2v
1 + v
2makaituberartiv
3merupakankombinasilinier darivektor-
vektorlainnya. Dengankata lain, v
3bergantungpada vektor-vektorlainnyadi dalam
S, sehinggahimpunanS = {v
1, v
2, v
3 } dikatakantidakbebaslinier.
Contoh7: Polinomp
1= 1 –x, p
2= 5 + 3x –2x
2
, dan p
3= 1 + 3x –x
2
membentuk
himpunanyang tidakbebaslinier karena3p
1–p
2+ 2p
3= 0 →p
2= 3p
3+ 2p
3, yang
berartip
2merupakankombinasilinier daripolinom-polinomlainnya.
29

30

Contoh8: Tentukanapakahv
1 = (1, –2, 3), v
2= (5, 6, –1) dan v
3 = (3, 2, 1) membentuk
himpunanyang bebaslinier atautidakbebaslinier.
Penyelesaian: Kita harusmemeriksaapakahkombinasilinier k
1v
1+ k
2v
2+ k
3v
3= 0
memilikisolusi trivial ataunon-trivial.
k
1(1, –2, 3) + k
2(5, 6, –1) + k
3(3, 2 , 1)= 0
DiperolehSPL homogen:
k
1+ 5k
2+ 3k
3= 0
–2k
1+ 6k
2+ 2k
3= 0
3k
1–k
2+ k
3= 0
SelesaikanSPL homogendi atasdenganmetodeeliminasiGauss:
31
2320
−16100
42−10
~ …~
1000
0100
0010
OBE
Solusi: k
1= 0, k
2= 0, k
3= 0
(solusi trivial)
Karena kombinasilinier k
1v
1+ k
2v
2+ k
3v
3= 0 mempunyaisolusi trivial makadikatakan
{v
1, v
2, v
3 } adalahhimpunanyang bebaslinier.

Contoh9: Tentukanapakahv
1 = (2, –1 , 4), v
2= (3, 6, 2) dan v
3 = (1, 10, –1) membentuk
himpunanyang bebaslinier atautidakbebaslinier.
Penyelesaian: Kita harusmemeriksaapakahkombinasilinier k
1v
1+ k
2v
2+ k
3v
3= 0
memilikisolusi trivial ataunon-trivial.
k
1(2, –1 , 4) + k
2(3, 6, 2) + k
3(1, 10 , –1)= 0
DiperolehSPL homogen:
2k
1+ 3k
2+ 2k
3= 0
–k
1+ 6k
2+ 10k
3= 0
4k
1+ 2k
2–k
3= 0
SelesaikanSPL homogendi atasdenganmetodeeliminasiGauss, diperolehsolusinya:
k
1= t, k
2= –½ t, k
3= –½ t
(Solusi non-trivial. Perhatikanbahwajikat = 0, makaSPL memilikisolusi k
1= 0, k
2= 0,
k
3= 0. Namun, adabanyaksolusi yang lain selaink
1= 0, k
2= 0, k
3= 0)
32
Karena kombinasilinier k
1v
1+ k
2v
2+ k
3v
3= 0 mempunyaisolusi non trivial maka
dikatakan{{v
1, v
2, v
3 } adalahhimpunanyang tidakbebaslinier.

Catatan: Cara lain untukmemeriksaapakahSPL homogen
memilikisolusi trivial ataunon trivial adalahdenganmenghitung
determinanmatriks
Karena det(A) = 0, makaSPL homogentersebutmemilikisolusi non-
trivial.
33
2k
1+ 3k
2+ 2k
3= 0
–k
1+ 6k
2+ 10k
3= 0
4k
1+ 2k
2–k
3= 0
A=
232
−1610
42−1

Contoh10: Vektor-vektorsatuanstandard i= (1, 0, 0), j= (0, 1, 0), dan k= (0, 0, 1)
adalahvektor-vektoryang bebaslinier di R
3
. Hal iniditunjukkansebagaiberikut:
k
1i+ k
2j + k
3k = 0
atau
k
1(1, 0 , 0) + k
2(0, 1, 0) + k
3(0, 1 , 0)= 0
DiperolehSPL homogen:
k
1 = 0
k
2 = 0
k
3= 0
Jadisolusinyak
1= 0, k
2= 0, k
3= 0 (solusi trivial)
Secaraumum, vektor-vektorsatuanstandard di R
n
,
e
1= (1, 0, 0, …, 0), e
2= (0, 1, 0, …, 0), …, dan e
n= (0, 0, 0, …, 1),
membentukhimpunanyang bebaslinier di R
n
34

Bersambung
35