InstitutTeknologiSepuluhNopember
Surabaya
PERS. DIFERENSIAL
AuliaSitiAisjah
TeknikFisikaITS
Pengantar
Materi
ContohSoal
Latihan
Asesmen
Ringkasan
PersamaanDiferensial
Definisi:Persamaandiferensialmengandungfungsiyang belumdiketahui
Besertaturunannya.32+=x
dx
dy 03
2
2
=++ ay
dx
dy
dx
yd 36
4
3
3
=+
+ y
dx
dy
dx
yd
Contoh:.
yvariabel dependentdan xvariabel
independent, dan contoh di atas merupakan
kelas Persamaan Diferensial Biasa.
1
.
2
.
3
.
PersamaanDiferensialBiasa
Persamaan Diferensial Parsial
Contoh:0
2
2
2
2
=
+
y
u
x
u 0
4
4
4
4
=
+
t
u
x
u t
u
t
u
x
u
−
=
2
2
2
2
uvariabel dependent dan independent, dan contoh di atas
merupakan persamaan diferensial parsial.
uvariabel dependent dan x dan tvariabel-variabelindependent
1.
2.
3.
Orde dari Persamaan Diferensial
Ordedaripersamaandiferensialadalahordedariturunantertinggi.
PersamaanDiferensial32+=x
dx
dy 093
2
2
=++ y
dx
dy
dx
yd 36
4
3
3
=+
+ y
dx
dy
dx
yd
1
2
3
ORDE
Derajat Turunan
Persamaan Diferensial Derajat Turunan03
2
2
=++ ay
dx
dy
dx
yd 36
4
3
3
=+
+ y
dx
dy
dx
yd 03
53
2
2
=+
+
dx
dy
dx
yd
2
3
2
Derajatturunanadalahturunantertinggipersamaandiferensial.
PersamaanDiferensialLinier
Persamaandiferensialadalahlinier, jika
1.variabeldependent tunggal(tidakadaperkalianantaravariabeldependent),
2. koefisientidakbergantungdarivariabeldependent.
Example:36
4
3
3
=+
+ y
dx
dy
dx
yd
non -linier karena dalam term keduaterdapat perkalian..093
2
2
=++ y
dx
dy
dx
yd
Contoh:
linier.
1.
2.
Example:3
2
2
2
x
dx
dy
y
dx
yd
x =+
non –liniear karena dalam term kedua, koefisien bergantung y.
3.
Example:
non –linier karena sbb; y
dx
dy
sin= −+−=
!3
sin
3
y
yy adalah non –linier
4.
PersamaanDiferensialOrde1
2.Bentuk diferensial:() 01 =−+ ydxdyx
..0),,( =
dx
dy
yxf ),(yxf
dx
dy
=
3.Bentuk umum:
atau
1. Bentuk turunan:() () ()xgyxa
dx
dy
xa =+
01
Persamaandiferensialbiasaorde1
Persamaandiferensialbiasaorde2
Persamaandiferensialbiasaorde-n
1. Dengankoefisienkonstan.()xgya
dx
dy
a
dx
yd
a
dx
yd
a
dx
yd
a
n
n
nn
n
n =+++++
−
−
− 012
2
21
1
1 ....
2. Dengankoefisienvariabel() () () () () ()xgyxa
dx
dy
xa
dx
yd
xa
dx
yd
xa
dx
dy
xa
n
n
nn =+++++
−
− 012
2
2
1
1 ......
PenyelesaianPDsecara
Analitis
y=3x+c, adalahpenyelesaiandaripersamaandiferensialorde1
denganc
1konstantasembarang. Nilai c
1bergantungdarikondisi
batassehinggasolusitersebutmerupakansolusiumum.3=
dx
dy
Contoh
Contoh() ()= = − +sin cosy x y x C = + = + + = + + +
23
1 1 2
6 e 3 e e
x x x
y x y x C y x C x C
Amati bahwa penyelesaian dari orde 1 mempunyai 1 parameter, sementara pada
orde 2 mempunyai 2 parameter.
Kelas-Kelas Penyelesaian 9 ' 4 0yy x+= ( )+ = + = 11
9 ' 4 9 ( ) '( ) 4yy x dx C y x y x dx xdx C + = =
22
1
Ini menghasilkan dengan .
4 9 18
Cyx
CC
Contoh
Solusi
Solusi berada pada kelas elips. + = + = + =
2
2 2 2 2
1 1 1
9
9 2 2 9 4 2
2
y
ydy x C x C y x C
Amati bahwa pada setiap titik (x
0,y
0),
ada solusi unik dari persamaan di atas
dimana kurvanya melewati titik yang
ditentukan tersebut.
Penyelesaian berasal dari21cxcy += 0
2
2
=
dx
yd
1.Untukkelasgarislurus
persamaan diferensialnya adalah
.
2.Untukkelas-kelaskurva2
2
x
cey=
persamaandiferensialnyaadalahxy
dx
dy
= A.
B.xx
ececy
3
2
2
1
−
+=
persamaan diferensialnya adalah06
2
2
=−+ y
dx
dy
dx
yd
Aplikasidi dalamIlmuFisika
1. Gerak jatuh bebasg
dt
sd
−=
2
2
dimana s adalah jarak atau tinggi dan g percepatan gravitasi.
2. Gerak pegasky
dt
yd
m −=
2
2
Dimana y adalah posisi, m adalah massa dan
k konstanta pegas
3. RLC –circuit, Hukum kedua KirchoffEq
cdt
dq
R
dt
qd
L =++
1
2
2
q muatan kapacitor,
L induktansi,
c kapasitansi.
R resistansi
E tegangan
Aplikasi
dy
y
dt
=
1.Newton’s Law of Cooling( )
sTT
dt
dT
−=
dimana dt
dT
adalah laju pendinginan,sTT−
adalah perbedaan suhu antara liquid ‘T’
dan lingkungan Ts
2. Pertumbuhan dan peluruhan
y adalah kuantitas pada saat ini
Tugas1 –mingguke9:
CP:MampumenjelaskanbeberapaaplikasibentukPDdalampermasalahan
bidangsainsdan Teknik
1.Searching dalambidangkeilmuanTeknik Fisika, untukaplikasidari
beberapamodel PD, denganmelaluiwww.sciencedirectatauyang lain,
yang menunjukkansumberterpercayabahwaPD diaplikasikan, minimal 5
buahjurnal.
2.TuliskanulangbentukPDyangadadidalam5 jurnaltersebut, dan
identifikasimasing-masingdariPD, merupakanbentukPD linier / non liner
dan berapaordePD.
3.Tugasdiketikdidalamword,beriidentitasAnda.
4.Uploadtugas,palinglambat5April2019jam24.00dishare.its.ac.id
terimakasih
InstitutTeknologiSepuluhNopember
Surabaya
PERS. DIFERENSIAL
Aulia Siti Aisjah
Teknik FisikaITS
Pengantar
Materi
ContohSoal
Latihan
Asesmen
Ringkasan
Metode Numerik
PenyelsaianPD
Persamaan Diferensial Separable
Persamaan diferensial separabledapat didefinisikan
sebagai perkalian antara fungsixdanfungsiy.()()
dy
g x h y
dx
=
Contoh:2
2
dy
xy
dx
=
Kalikan kedua sisi dengan dxdanbagi
kedua sisi dengan y
2
untuk memisahkan
variable-variabelnya(Syaraty
2
bukan
nol)2
2
dy
x dx
y
= 2
2 y dy x dx
−
= ()0hy
2
2
dy
xy
dx
= 2
2
dy
x dx
y
= 2
2 y dy x dx
−
= 2
2 y dy x dx
−
= 12
12
y C x C
−
− + = + 21
xC
y
− = + 2
1
y
xC
−=
+ 2
1
y
xC
=−
+ → Gabungan
konstanta
integrasi
Cxy
xdxydy
y
x
dx
dy
+=
==
22 Solusi Umum Persamaan Diferensial
Contoh
Gambar disamping adalah visualisasi
dari solusi persamaan diferensial di
atas. Garis lurus
y= xand y= -x
adalah solusi khusus. Solusi yang
unik melalui setiap titik yang
berbeda. Adapun solusi khusus
melalui satu titik yang sama (origin).
Kondisi Awal
•Di dalam persoalan fisis, kita perlu untuk menentukan
solusi khusus yang memenuhi kondisi awaly(x
0)=y
0.
Masalah solusi persamaan diferensial yang memenuhi
kondisi awal disebutinitial-value problem(IVP).
•Contoh:Tentukan solusi y
2
= x
2
+ Cyang memenuhi
kondisi awaly(0) = 2.
2
2
= 0
2
+ C
C = 4
y
2
= x
2
+ 4
Contoh:( )
2
2
21
xdy
x y e
dx
=+ 2
2
1
2
1
x
dy x e dx
y
=
+
xdan ydapat dipisah (separable)2
2
1
2
1
x
dy x e dx
y
=
+
2
ux= 2 du x dx= 2
1
1
u
dy e du
y
=
+
1
12
tan
u
y C e C
−
+ = + 2
1
12
tan
x
y C e C
−
+ = + 2
1
tan
x
y e C
−
=+ →
Contoh:( )
2
2
21
xdy
x y e
dx
=+ 2
1
tan
x
y e C
−
=+
Dihasilkan ysebagai fungsi implisit
darix.
Dalam kasus di atas, kita dapat
menentukanysebagai fungsi
eksplisit dari x dengan melakukan
operasi tangen pada kedua sisi.( ) ( )
2
1
tan tan tan
x
y e C
−
=+ ( )
2
tan
x
y e C=+ →
Sebuah populasi secara normal meningkat secara
proporsional terhadap jumlahnya sekarang. Contoh lain
yang meningkat atau menurun secara proporsional
dengan jumlahnya diantaranya peluruhan radioaktif dan
peningkatan uang dalam rekening bank berbunga.
Jika laju perubahannya proporsional dengan jumlah saat
ini, maka perubahannya dapat diekspresikan sbb:dy
ky
dt
= →
Hukum Pertumbuhan & Peluruhan
dy
ky
dt
= 1
dy k dt
y
= 1
dy k dt
y
= lny kt C=+ Persamaan di samping menunjukkan bahwa
perubahannya (ruas kiri)proporsional terhadap
jumlah saat ini (ruas kanan).
Bagi kedua sisi dengany.
Integralkan kedua sisi.→ lny kt C
ee
+
= C kt
y e e= C kt
y e e= kt
y Ae=
Populasi dalam kenyataannya tidaklah meningkat selamanya. Ada
faktor batasan dalam makanan maupun ruang untuk hidup (habitat)
Sehingga ada keadaan populasi maksimum, ataucarrying capacity, M.
Model yang lebih realistis adalahmodelpertumbuhan logistikdimana
laju pertumbuhan proporsional dengan ukuran populasi saat ini (y) dan
jumlah dimanay turun dari ukuran maksimum (M-y). Sehingga model
tersebut menjadi:)(yMky
dt
dy
−=
ModelPertumbuhan Logistik
Dengan solusi sebagai berikut(verify yourself):0
0
00
, dengan (0)
()
kMt
yM
y y y
y M y e
−
==
+−
MetodeNumerikdalamPeny. PD, didasarkandaripenyelesaianintegrasi
numerik. Beberapametodeyang ada:
1.IntegrasidenganmetodeTrapesium
2.IntegrasidenganmetodeSimpson 1/3; 3/8 dst
Dll
Tugas2:
Cari metodenumerikdidalampenyelesaianIntegrasisecaranumerik
selainyang disebutkandalam2 di atas, Tuliskantahapandalammetode
tersebutdalamword
Uploadtugas2, inipaling lambat12 April 2019, jam 24.00
Tugasakandipresentasikandan didiskusikanpada saatkuliahMinggu11.
terimakasih