Modul 1
Persamaan Diferensial: Pengertian,
Asal Mula dan Penyelesaian
Drs. Sardjono, S.U.
odul 1 ini berisi uraian tentang persamaan diferensial, yang mencakup
pengertian-pengertian dalam persamaan diferensial, asal mula
persamaan diferensial dan arti penyelesaian persamaan diferensial.
Persamaan diferensial dalam praktik dapat dijumpai dalam berbagai bidang
ilmu pengetahuan antara lain Fisika, Teknik Kimia, Ekonomi dan Biologi.
Dalam Statistika, persamaan diferensial dapat dijumpai dalam mata kuliah
Proses Stokastik.
Bagi Anda, materi dalam modul ini merupakan suatu hal yang baru,
belum pernah Anda jumpai ditingkat SLTA. Agar dapat mempelajari modul
ini dengan baik, Anda harus sudah mempunyai pengetahuan yang cukup
tentang derivatif dan integral, khususnya terampil mencari derivatif dan
integral fungsi.
Dengan mempelajari modul ini Anda dapat menjelaskan pengertian, asal
mula dan penyelesaian persamaan diferensial, mencakup:
1. menerangkan pengertian persamaan diferensial;
2. menyebutkan tingkat dan pangkat suatu persamaan diferensial yang
diberikan;
3. menuliskan persamaan diferensial dari masalah-masalah nyata yang
sederhana;
4. menuliskan persamaan diferensial dari suatu primitif;
5. mencari persamaan diferensial dari keluarga kurva pada bidang datar;
6. menyelidiki dan menentukan apakah suatu fungsi yang diberikan
merupakan penyelesaian suatu persamaan diferensial ataukah bukan;
7. mencari penyelesaian umum persamaan diferensial ()
( );
n
y G x
M
PENDAHULUAN
1.2 Matematika III
8. mencari penyelesaian khusus persamaan diferensial yang memenuhi
sifat-sifat tertentu, jika penyelesaian umum atau primitifnya diberikan.
SATS4220 /MODUL 1 1.3
Kegiatan Belajar 1
Definisi-definisi dan Contoh-contoh
Sederhana Persamaan Diferensial
ersamaan diferensial adalah persamaan yang mengandung derivatif-
derivatif. Contoh-contoh persamaan diferensial:
1) 5
dy
x
dx
2) 2
2
2
0
dy
ky
dx
3) 3xy y
4) 2 siny y y x
5) zz
zx
xy
6) 22
2
22
u u u
h
t xy
7) 2 3 2
( ) ( ) 3y y y x
8) 22
22
0
vv
xy
Jika suatu persamaan mengandung satu atau lebih derivatif-derivatif
terhadap suatu variabel tertentu, maka variabel ini disebut variabel bebas.
Suatu variabel disebut tak bebas jika derivatif dari variabel ini ada.
Dalam persamaan diferensial 2), 4) dan 7) pada contoh di atas, x adalah
variabel bebas, sedangkan y adalah variabel tak bebas.
Persamaan diferensial 1) 5
dy
x
dx dapat ditulis dalam bentuk 1
5
dx
dy x
Dalam hal ini variabel manapun, x atau y dapat dipandang sebagai variabel
bebas, dan yang lain sebagai variabel tak bebas.
P
1.4 Matematika III
Dalam persamaan diferensial 5)
zz
zx
xy
terdapat dua variabel bebas yaitu x dan y, dan dalam persamaan diferensial 6)
22
2
22
u u u
h
t xy
terdapat tiga variabel bebas yaitu t, x dan y.
Jika dalam suatu persamaan diferensial hanya terdapat satu variabel
bebas, maka derivatif yang terkandung dalam persamaan tersebut adalah
derivatif biasa. Persamaan diferensial ini disebut persamaan diferensial biasa.
Sebaliknya jika terdapat lebih dari satu variabel bebas, maka derivatif yang
terkandung dalam persamaan tersebut merupakan derivatif parsial.
Persamaan diferensial ini disebut persamaan diferensial parsial. Pada
contoh-contoh di depan, persamaan 1), 2), 3), 4) dan 7) adalah persamaan
diferensial biasa, sedangkan persamaan 5), 6) dan 8) adalah persamaan
diferensial parsial.
Tingkat atau order dari suatu persamaan diferensial adalah tingkat dari
tingkat tertinggi derivatif yang terkandung dalam persamaan diferensial
tersebut. Pada contoh di depan, persamaan 1), 3) dan 5) adalah persamaan
diferensial tingkat satu, persamaan 2), 6), 7) dan 8) adalah persamaan
diferensial tingkat dua dan persamaan 4) adalah persamaan diferensial tingkat
tiga.
Pangkat dari suatu persamaan diferensial adalah pangkat tertinggi dari
derivatif tingkat tertinggi yang terkandung dalam persamaan diferensial
tersebut. Pada contoh di depan, persamaan 7) adalah persamaan diferensial
pangkat dua, sedangkan semua persamaan yang lainnya adalah persamaan
diferensial pangkat satu.
Dalam persoalan nyata, persamaan diferensial dapat dijumpai dalam
Ilmu Fisika, Teknik, Biologi, Ekonomi, dan sebagainya. Dengan demikian
persamaan diferensial mungkin timbul sebagai masalah Fisika, mungkin
sebagai masalah Teknik dan mungkin pula sebagai masalah Biologi atau
Ekonomi. Kadang-kadang pula persamaan diferensial timbul sebagai masalah
geometri.
SATS4220 /MODUL 1 1.5
Contoh 1:
Seratus gram gula dilarutkan dalam air dengan kecepatan melarut sebanding
dengan jumlah gula yang belum terlarutkan. Tentukan persamaan diferensial
yang menyatakan kecepatan melarut setelah t menit!
Jawab:
Misalkan y adalah jumlah gula yang melarut setelah t menit. Maka kecepatan
melarut gula tersebut adalah dy
dt . Jumlah gula yang belum terlarutkan adalah
100 - y. Jadi kecepatan melarut gula tersebut memenuhi persamaan (100 )
dy
ky
dt
dengan k adalah konstan pembanding.
Contoh 2:
Populasi ikan dalam suatu kolam naik dengan kecepatan sebanding dengan
jumlah ikan dalam kolam tersebut. Tentukan persamaan diferensial yang
menyatakan naiknya jumlah ikan setelah t minggu!
Jawab:
Misalkan x adalah populasi atau jumlah ikan setelah t minggu. Maka
kecepatan naiknya jumlah ikan adalah,
dx
dt memenuhi persamaan diferensial
,
dx
kx
dt dengan k adalah konstan pembanding.
Contoh 3:
Pada suatu kurva diketahui bahwa gradien garis singgung di setiap titik (x,y)
yaitu ,
dy
dx adalah dua kali jumlah dari koordinat titik tersebut. Nyatakan
persamaan diferensial yang dipenuhi oleh kurva tersebut!
1.6 Matematika III
Jawab:
Misalkan y = f(x) adalah persamaan kurva tersebut. Disetiap titik (x,y) pada
kurva ini, gradien kurva sama dengan dy
dx dan jumlah koordinat titik tersebut
adalah x+y. Jadi kurva f memenuhi persamaan diferensial
2( ).
dy
xy
dx
Contoh 4:
Di setiap titik (x,y) pada suatu kurva y = f(x), gradien garis singgung pada
kurva tersebut adalah sama dengan kuadrat dari absis titik tersebut. Tentukan
persamaan diferensial yang dipenuhi oleh kurva f !
Jawab:
Gradien garis singgung dititik (x,y) pada kurva y = f(x) adalah dy
dx , dan
kuadrat dari absis titik tersebut adalah x
2
. Jadi kurva f memenuhi persamaan
diferensial
2
.
dy
x
dx
Contoh 5:
Pada suatu kurva diketahui bahwa gradien garis normal disetiap titik (x,y)
pada kurva tersebut adalah sama dengan lima kali absis titik tersebut.
Tentukan persamaan diferensial dari kurva ini!
Jawab:
Misalkan persamaan kurva tersebut adalah y = g(x), maka gradien garis
normal di titik (x,y) pada kurva ini adalah .
dx
dy Jadi persamaan diferensial
dari kurva tersebut adalah
SATS4220 /MODUL 1 1.7
1
5 atau
5
dx dy
x
dy dx x .
Contoh 6:
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x) dengan f(x) > 0, sumbu x, dan
dua garis tegak, yang pertama tetap dan yang kedua variabel, diketahui sama
dengan tiga kali panjang kurva tersebut diantara kedua buah garis tegak
tersebut. Tentukan persamaan diferensial dari kurva f !
Jawab:
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva f, sumbu x, garis x = a dan garis
variabel x = x adalah
( ) atau
xx
aa
f x dx y dx
sedangkan panjang kurva f diantara kedua garis tegak tersebut adalah
2
1 ( ) .
x
a
y dx
Jadi persamaan diferensial dari kurva f adalah
2
2
3 1 ( ) atau
y 3 1 ( ) .
xx
aa
y dx y dx
y
Persamaan diferensial dapat diperoleh dalam banyak cara. Suatu cara
diantaranya adalah dari primitif. Suatu primitif adalah suatu relasi antara
variabel-variabel yang mengandung sejumlah konstan sembarang.
Persamaan-persamaan:
4
;y x Cx C konstan sembarang;
2
;y Ax Bx A, B konstan sembarang;
22
( ) ( ) 1;x C y D C, D konstan sembarang;
adalah primitif-primitif. Suatu primitif dengan n konstan sembarang, seluruh
n konstan ini disebut murni jika mereka tidak dapat diganti dengan sejumlah
konstan sembarang yang lebih kecil. Konstan sembarang A dan B dalam
persamaan
1.8 Matematika III
3x
y Ae Bx
adalah murni. Demikian pula konstan sembarang C dan D dalam persamaan
2
( ) 0x C Dy
juga murni. Tetapi konstan sembarang A, B dan persamaan
2xB
y Cxe Ax
tidak murni, sebab persamaan ini dapat ditulis dengan
2x
y Dxe Ax
dimana .
B
D C e Dengan kata lain ketiga buah konstan sembarang A, B
dan C dapat diganti dengan dua buah konstan sembarang D dan A. Jadi
konstan sembarang A, B dan C dalam persamaan tersebut tidak murni. Untuk
selanjutnya yang dimaksud dengan konstan sembarang adalah konstan
sembarang murni.
Misalkan diberikan suatu primitif dengan n konstan sembarang.
Persoalannya adalah bagaimana persamaan diferensial yang memenuhi sifat-
sifat:
a. tingkat dari persamaan diferensial adalah sama dengan jumlah konstan
sembarang dalam primitif yaitu n;
b. konsisten dengan primitif, artinya dipenuhi oleh primitif tersebut;
c. bebas dari konstan sembarang.
Persamaan diferensial yang memenuhi sifat-sifat di atas ini dapat
diperoleh dengan mengeliminasi n buah konstan sembarang tersebut dari
primitif dan dari derivatif-derivatif sampai tingkat n. Dari hasil eliminasi ini
akan diperoleh persamaan diferensial yang dimaksud.
Contoh 7:
Tentukan persamaan diferensial yang konsisten dengan primitif
23xx
y Ae Be (1)
Jawab:
Karena terdapat dua konstan sembarang dalam primitif tersebut, maka kita
harus mencari lebih dahulu derivatif dari y sampai tingkat dua.
SATS4220 /MODUL 1 1.9
23
23
xx
y Ae Be (2)
23
49
xx
y Ae Be (3)
Selanjutnya A dan B dieliminasi dari persamaan (1), (2) dan (3). Eliminasi A
dari (1), (2) didapat
3
25
x
y y Be (4)
dan eliminasi A dari (2) dan (3) didapat
3
2 15
x
y y Be (5)
Akhirnya eliminasi B dari (4) dan (5) didapat
3(2 ) (2 ) 0 atau 6 0.y y y y y y y
Contoh 8:
Carilah persamaan diferensial dari primitif
2 2 2
()x A y A (6)
Jawab:
Primitif ini mengandung sebuah konstan sembarang. Dengan mengambil
derivatif terhadap x dari persamaan (6) didapat
2 2 2
()
2( ) 2 0
dd
x A y A
dx dx
x A yy
A x yy
Dengan memasukan A ke persamaan (6) didapat
2 2 2 2 2
( ) ( ) atau 2xyy 0x x yy y x yy x y
Contoh 9:
Eliminasikan B dan dari persamaan
cos( );xB ωt α ω konstan tertentu
1.10 Matematika III
Jawab:
Dari primitif ini, ambil derivatif sampai tingkat dua terhadap t, maka akan
didapat
sin ( )
dx
ωB ωt α
dt (7)
dan 2
2
2
cos( )
dx
ω B ωt α
dt (8)
Dari primitif dan persamaan (8), segera diperoleh
2
2
2
0
dx
ωx
dt
Contoh 10:
Tentukan persamaan diferensial dari primitif
2
4 0.Cxy C x
Jawab:
Ambil derivatifnya terhadap x, didapat
2
( ) 0C y xy C
karena 0, maka ( ),C C y xy masukkan hasil ini ke dalam primitif,
didapat
2
3 2 2
( ) ( ) 4 0
atau ( ) 4 0.
y xy xy y xy x
x y x yy
Suatu primitif dengan variabel x dan y dalam bidang datar xy akan
menyajikan keluarga kurva. Setiap kurva anggota keluarga ini akan
berkorespondensi dengan nilai tertentu dari konstan sembarang yang terdapat
dalam primitif tersebut. Sebagai contoh, persamaan
2 2 2
( ) ( ) 2x C y C C (9)
adalah persamaan lingkaran pusat (C,C) dan jari-jari 2,C jari-jari lingkaran
ini sama dengan jarak pusat lingkaran ke titik pangkal koordinat 0(0,0). Jadi
SATS4220 /MODUL 1 1.11
persamaan (9) menyajikan keluarga lingkaran-lingkaran yang pusatnya
terletak pada garis y = x dan masing-masing anggota melalui titik 0(0,0).
Gambar 1.1 di bawah ini menunjukkan gambar beberapa anggota keluarga
lingkaran tersebut.
Gambar 1.1
Jika konstan C dalam persamaan (9) dieliminasi seperti dalam mencari
persamaan diferensial dari suatu primitif, maka hasil yang diperoleh disebut
persamaan diferensial dari keluarga kurva yang disajikan oleh persamaan (9).
Dalam contoh ini,
2 2 2
( ) ( ) 2
2( ) 2( ) 0
1
dx d
x C y C C
dt dx
dy
x C y C
dx
xy
C
dy
dx
Masukkan hasil ini ke persamaan (9) akan didapat
2 2 2
2
1 1 1
x y x y x y
xy
dy dy dy
dx dx dx
1.12 Matematika III
2 2 2 2
atau ( 2 ) ( 2 ) 0
dy
x xy y x xy y
dx (10)
Jadi persamaan (10) adalah persamaan diferensial dari keluarga
lingkaran-lingkaran persamaan (9).
Perhatikan bahwa persamaan (10) akan menentukan gradien dari garis
singgung disetiap titik (x,y) pada keluarga lingkaran (9),
22
22
2
2
dy x xy y
dxx xy y
Garis singgung ini akan tegak lurus sumbu x jika dy
dx atau
jika22
2 0,x xy y
yaitu jika ( 1 2)yx (11)
atau ( 1 2)yx (12)
Jadi, disetiap titik (x,y) pada anggota keluarga kurva (9) yang terletak
pada garis lurus (11) atau (12), garis singgung pada anggota keluarga tersebut
akan tegak lurus pada sumbu x.
Gambar 1.2 di bawah ini memperlihatkan 2 anggota keluarga lingkaran (9),
garis lurus (11) dan (12) dan garis singgung lingkaran di titik yang terletak
pada garis lurus tersebut.
Gambar 1.2
SATS4220 /MODUL 1 1.13
Contoh 11:
Tentukan persamaan diferensial dari keluarga parabola-parabola yang
puncaknya dititik 0(0,0) dan sumbu simetrisnya adalah sumbu y.
Jawab:
Keluarga parabola yang puncaknya dititik 0(0,0) dan sumbu simetrisnya
sumbu y, mempunyai persamaan
2
, konstansembarangy ax a
Ambil derivatifnya terhadap x didapat
2y ax
Eliminasi a dari kedua buah persamaan ini akan didapat
2
2 0atau
2 0 atau 2 0,
x y xy
xy y x dy y dx
sebab x = 0 masih memenuhi persamaan yang terakhir ini.
Beberapa anggota keluarga dari parabola-parabola 2
y ax terlihat
dalam Gambar 1.3 berikut ini.
Gambar 1.3
1.14 Matematika III
Contoh 12:
Tentukan persamaan diferensial dari keluarga lingkaran-lingkaran yang
pusatnya terletak pada sumbu y.
Jawab:
Beberapa anggota dari keluarga lingkaran-lingkaran ini tampak dalam
Gambar 1.4 berikut ini.
Gambar 1.4
Misalkan pusat lingkaran (0,A) dan jari-jari B. Maka keluarga lingkaran-
lingkaran ini mempunyai persamaan
2 2 2
( ) ; ,x y A B A B konstan sembarang.
A dan B akan dieliminasi dengan lebih dahulu mencari derivatif sampai
tingkat dua terhadap x,
2 2( ) 0x y A y (13)
dan 2
2 2( ) 2( ) 0y y A y (14)
Eliminasi A dari persamaan (13) dan (14) akan didapat
3
( ) 0xy y y
SATS4220 /MODUL 1 1.15
Contoh 13:
Tentukan persamaan diferensial dari keluarga garis-garis lurus yang melalui
titik (-2,5).
Jawab:
Keluarga garis-garis lurus yang melalui titik (-2,5) mempunyai persamaan
5 ( 2);y m x m konstan sembarang.
Beberapa anggota keluarga ini terlihat dalam Gambar 1.5.
Gambar 1.5
Dari persamaan 5 ( 2), makay m x y m
Jadi 5 ( 2) atau ( 2) ( 5) 0.y y x x y y
Contoh 14:
Carilah persamaan diferensial dari keluarga lingkaran-lingkaran yang
pusatnya terletak pada garis y = a dan jari-jarinya r dengan a dan r konstan
tertentu.
Jawab:
Pusat lingkaran terletak pada garis y = a, maka pusat lingkaran-lingkaran ini
adalah (A,a) dengan A konstan sembarang. Jadi keluarga lingkaran-lingkaran
tersebut mempunyai persamaan
1.16 Matematika III
2 2 2
( ) ( ) ,x A y a r
dengan A konstan sembarang, a dan r tetap.
Ambil derivatif terhadap x dari persamaan tersebut, didapat
2( ) 2( ) 0x A y a y
Dengan eliminasi A dari kedua persamaan ini akan didapat
2 2 2 2
( ) ( ) ( ) .y a y y a r
1) Sebutkan, apakah persamaan diferensial berikut ini merupakan
persamaan diferensial biasa ataukah persamaan diferensial parsial.
Sebutkan juga tingkat dan pangkat dari persamaan diferensial ini!
a. 2
2
2
0
dx
kx
dt
b. 22
( ) 2 0x y dx xy dy
c. 2
3( ) 2 0y y y
d. 222
2 2 2
0
uuu
x y z
e. 22
22
5
d y d x
xy
dt dt
f. 2
2 8 cosy y y x x
g. ( ) ( )y P x y Q x
h. 22
2
22
ww
a
tx
i. 34
( ) ( ) 0x y y y
j. 4
4
( ).
dy
hx
dx
2) Ke dalam sebuah tabung silinder dimasukkan air sedemikian hingga
volume air dalam tabung bertambah dengan kecepatan lima kali tinggi
air dalam tabung. Jika jari-jari tabung ini 3, tentukan persamaan
LATIHAN
Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas,
kerjakanlah latihan berikut!
SATS4220 /MODUL 1 1.17
diferensial yang menunjukkan kecepatan naiknya permukaan air dalam
tabung tersebut!
3) Gradien garis singgung disetiap titik (x,y) pada kurva y = f(x) diketahui
sama dengan tiga kali absis titik tersebut. Tentukan persamaan
diferensial yang dipenuhi oleh kurva tersebut!
4) Tentukan persamaan diferensial dari primitif berikut ini!
a. 4x
y A Be
b. 22
cos 3 sin 3
xx
y Ae x Be x
c. 22
12
x
y C x C e
d. 22
y Cx x
e. 2
sinx y x y C
5) Tentukan persamaan diferensial dari keluarga lingkaran yang
menyinggung sumbu x!
6) Tentukan persamaan diferensial dari keluarga parabola-parabola yang
puncaknya terletak pada sumbu y, sumbu simetrisnya sejajar sumbu x
dan jarak titik fokus ke puncak parabola 5!
Petunjuk Jawaban Latihan
1. a) Persamaan diferensial biasa tingkat dua pangkat satu
b) Persamaan diferensial biasa tingkat satu pangkat satu
c) Persamaan diferensial biasa tingkat tiga pangkat satu
d) Persamaan diferensial parsial tingkat dua pangkat satu
e) Persamaan diferensial biasa tingkat dua pangkat satu
f) Persamaan diferensial biasa tingkat dua pangkat satu
g) Persamaan diferensial biasa tingkat satu pangkat satu
h) Persamaan diferensial parsial tingkat dua pangkat satu
i) Persamaan diferensial biasa tingkat dua pangkat tiga
j) Persamaan diferensial biasa tingkat empat pangkat satu.
2) Misalkan V adalah volume air dalam tabung pada saat permukaan air
mencapai tingkat h dari dasar tabung maka
2
5 karena
dh dh 5
.3 . , maka 9 5 atau
dt dt 9
dV
h
dt
h
Vπ h π R
π
1.18 Matematika III
3) 3
dy
x
dx
4) Petunjuk: Eliminasikan semua konstan sembarang yang terdapat pada
primitif
a. 40yy
b. 4 13 0y y y
c. 2
(1 ) (2 1) 2(2 1) 0x x y x y x y
d. 2
( 2 ) 2 0x y dx xydy
e. 2
(sin 2 ) ( cos ) 0.y xy dx x y x dy
5) 22
22
1 ( ) 1 ( )y yy y
Petunjuk: Keluarga lingkaran-lingkaran ini mempunyai persamaan 2 2 2
( ) ( ) ; ,x A y B B A B
konstan sembarang. Eliminasikan A dan
B.
6) 2
( ) 5xy
Petunjuk: Keluarga parabola-parabola ini mempunyai persamaan 2
( ) 20 ;y A x A
konstan sembarang. Eliminasikan A.
1. Pengertian-pengertian dalam kegiatan belajar 1: variabel bebas,
persamaan diferensial biasa, persamaan diferensial parsial, tingkat
suatu persamaan diferensial, pangkat suatu persamaan diferensial
dan primitif;
2. Persamaan diferensial dapat dijumpai dalam berbagai cabang ilmu
pengetahuan;
3. Persamaan diferensial dapat diperoleh juga dari primitif dengan cara
mengeliminasi konstan-konstan sembarang yang terdapat dalam
primitif tersebut;
4. Persamaan diferensial dari keluarga kurva pada bidang datar dapat
dicari dengan cara seperti dalam mencari persamaan diferensial dari
primitif. Sebelumnya harus dicari lebih dahulu persamaan dari
keluarga kurva tersebut.
RANGKUMAN
SATS4220 /MODUL 1 1.19
1) Sebuah lingkaran bertambah luas dengan kecepatan berbanding lurus
dengan jari-jari lingkaran tersebut. Jika R adalah jari-jari lingkaran
tersebut pada saat t, maka jari-jari lingkaran tersebut memenuhi
persamaan diferensial ….
A. 0,πdR kRdt k konstan pembanding
B. 2 0,πdR k dt k konstan pembanding
C. 2 0,π R dR k dt k konstan pembanding
D. 2
0,πR dR k dt k konstan pembanding
2) Gradien garis normal disetiap titik pada kurva y = f(x) diketahui sama
dengan hasil kali absis dan ordinat titik tersebut. Maka kurva tersebut
memenuhi persamaan ….
A. 0xydx dy
B. 0xydx dy
C. 0dx xydy
D. 0dx xydy
Untuk soal nomor 3 sampai dengan nomor 6, tentukan persamaan
diferensial dari primitif yang diberikan
3) 2
ln y Ax B
Jawab:
A. 2
( ) 0xyy yy x y
B. 2
( ) 0xyy yy x y
C. 2
( ) 0xyy yy x y
D. 2
( ) 0xyy yy x y
4) 2
1xy Cy
Jawab:
A. 32
( 1) 0y dx xy dy
B. 22
( 1) 0y dx xy dy
TES FORMATIF 1
Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!
1.20 Matematika III
C. 3
( 1) 0y dx xy dy
D. 2
( 1) 0y dx xy dy
5) cos sin ,xA ωt B ωt ω konstan tertentu
Jawab:
A. 2
2
2
0
dx
ωt
dt
B. 2
2
0
dx
ωt
dt
C. 2
2
2
0
dx
ωx
dt
D. 2
2
0
dx
ωx
dt
6) 2
12
x
y x C x C e
Jawab:
A. 2
( ) 2 2x y y xy y x x
B. 2
( ) 2 2x y y xy y x x
C. 2
( ) 2 2x y y xy y x x
D. 2
( ) 2 2x y y xy y x x
7) Tentukan persamaan diferensial keluarga parabola-parabola yang
puncaknya dan fokusnya terletak pada sumbu x!
Jawab:
A. 2
( ) 0yy y
B. 2
( ) 0yy y
C. 2
( ) 0yy x y
D. 2
( ) 0yy x y
8) Persamaan diferensial dari keluarga lingkaran-lingkaran pada bidang xy
adalah ….
Jawab:
A. 22
1 ( ) 3 ( ) 0y y y y
B. 22
1 ( ) 3 ( ) 0y y y y
SATS4220 /MODUL 1 1.21
C. 22
1 ( ) 3 ( ) 0y y y y
D. 22
1 ( ) 3 ( ) 0y y y y
9) Tentukan persamaan diferensial dari keluarga lingkaran-lingkaran yang
pusatnya di titik 0 (0,0)!
Jawab:
A. 0xdx ydy
B. 0ydx xdy
C. 0xdx ydy
D. 0ydx xdy
10) Tentukan persamaan diferensial dari keluarga garis-garis lurus yang
berjarak 5 dari titik 0 (0,0)
Jawab:
A. 22
( ) 5 1 ( )xy y y
B. 22
( ) 25 1 ( )xy y y
C. 22
( ) 5 1 ( )xy y y
D. 22
( ) 25 1 ( )xy y y
Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang
terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar.
Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan
Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.
Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali
80 - 89% = baik
70 - 79% = cukup
< 70% = kurang
Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar
×100%
Jumlah Soal
1.22 Matematika III
Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat
meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%,
Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang
belum dikuasai.
SATS4220 /MODUL 1 1.23
Kegiatan Belajar 2
Penyelesaian Persamaan Diferensial
ersamaan diferensial tingkat n secara umum dapat disajikan dengan
persamaan (1) (2) ( )
( , , , , ..., )
n
F x y y y y
(1)
Jika persamaan diferensial (1) berpangkat satu, maka ia dapat ditulis menjadi:
( ) (1) (2) ( 1)
( , , , , ..., )
nn
y f x y y y y (2)
Dengan suatu penyelesaian persamaan diferensial (2) dimaksud suatu
fungsi y = g(x) yang terdefinisikan dalam interval (a,b), dan yang
mempunyai derivatif sampai tingkat n dalam interval tersebut sedemikian
hingga persamaan (2) dipenuhi oleh fungsi tersebut. Sebagai contoh fungsi y
= g(x) = e
2X
adalah suatu penyelesaian persamaan diferensial
40yy (3)
sebab
22
2 , 4
xx
y e y e
sehingga
22
4 4 4 0
xx
y y e e
Fungsi 2
2
( ) 3
x
y g x e juga suatu penyelesaian persamaan diferensial (3),
sebab
22
6 , 12
xx
y e y e
Jadi 22
4 12 12 0
xx
y y e e
Fungsi-fungsi22
12
( ) dan ( ) 3
xx
y g x e y g x e disebut penyelesaian
khusus persamaan diferensial (3).
Persamaan diferensial (2) akan mempunyai penyelesaian yang dapat
dituliskan dalam bentuk umum.
12
( , , ,..., )
n
y g x C C C (4)
dengan 12
, ,...,
n
C C C adalah konstan-konstan sembarang. Jika fungsi g dalam
persamaan (4) didapat dan sudah mencakup semua penyelesaian persamaan
P
1.24 Matematika III
diferensial (2), maka (4) disebut penyelesaian umum persamaan diferensial
(2). Sebagai contoh, penyelesaian umum persamaan diferensial (3) adalah:
22
12
xx
y C e C e (5)
Penyelesaian khusus 2
1
()
x
y g x e di atas, didapat jika 12
1 dan 0.CC
Dan penyelesaian khusus 2
2
( ) 3
x
y g x e didapat jika 12
0 dan 3.CC
Jika suatu persamaan diferensial tingkat n mempunyai bentuk persamaan
()
()
n
y G x (6)
dengan G terdefinisikan dan kontinu pada interval (a,b), maka penyelesaian
umum persamaan diferensial ini dapat diperoleh dengan mengintegralkan
G(x) n kali secara berurutan.
Untuk mengingatkan kembali, daftar rumus turunan/integral yang sering
ditemui dalam BMP ini disajikan pada Tabel 1.1 berikut.
Tabel 1.1
Daftar Rumus dasar integral, dengan C adalah konstanta real sembarang.
1. 11
;1
1
nn
x dx x C n
n
2. 1
lndx x C
x
3. ln
x
x a
a dx C
x
4. xx
e dx e C
5. cos sinx dx x C
6. sin cosx dx x C
7. 2
sec tanx dx x C
8. 2
csc cotx dx x C
9. sinh coshx dx x C
10. cosh sinhx dx x C
SATS4220 /MODUL 1 1.25
Contoh 1:
Carilah penyelesaian umum persamaan diferensial 21yx
Jawab:
21yx
(2 1)dy x dx
(2 1)dy x dx C
2
y x x C
Penyelesaian umum persamaan diferensial 21yx adalah 2
y x x C
dengan C konstan sembarang.
Contoh 2:
Tentukan penyelesaian umum persamaan diferensial 2xdy
ex
dx
Jawab:
2
2
22
()
1
()
2
x
x
x
dy
ex
dx
y e x dx C
y e x C
Contoh 3:
Tentukan penyelesaian umum persamaan diferensial 3
sin 2y x x
Jawab:
3
sin 2y x x
karena y" adalah derivatif dari y', maka dengan tegralkan duakali berurutan
didapat:
1.26 Matematika III
3
1
4
1
4
12
5
12
( sin 2 )
cos 2
42
cos 2
42
sin 2
20 4
y x x dx C
xx
C
xx
C dx C
xx
C x C
Jadi penyelesaian umum persamaan diferensial tersebut adalah:
5
12
sin 2
20 4
xx
y C x C
Penyelesaian khusus suatu persamaan diferensial diperoleh dari penyelesaian
umum dengan menambahkan syarat tertentu.
Contoh 4:
Carilah penyelesaian umum persamaan diferensial y' = 2x. Kemudian carilah
penyelesaian khusus yang melalui titik (1,4).
Jawab:
2yx
Penyelesaian umum: 2
y x C
Penyelesaian khusus yang melalui titik (1,4) dapat diperoleh dengan
memasukkan koordinat titik (1,4) ke penyelesaian umum, kemudian cari nilai
C, dan akhirnya masukkan kembali nilai C ini ke penyelesaian umum
tersebut.
2
4 1 ; 3.CC
Jadi penyelesaian khusus yang melalui titik (1,4) adalah:
2
3.yx
SATS4220 /MODUL 1 1.27
Contoh 5:
Diberikan persamaan diferensial 2
1.yx
a) Carilah penyelesaian umumnya, y = g(x).
b) Carilah penyelesaian khusus yang memenuhi g(0) = 1 dan g'(0) = 2.
c) Carilah penyelesaian khusus yang memenuhi g(1) = 2 dan g'(2) = 1.
d) Carilah penyelesaian khusus yang melalui titik-titik (1,2) dan (3,5).
Jawab:
2
1yx
a) 3
1
42
12
3
()
12 2
x
y x C
xx
y g x C x C
b) Penyelesaian khusus memenuhi (0) 1 dan (0) 2.gg
Maka: 21
1 dan 2CC
Jadi 42
2 1.
12 2
xx
yx
c) Penyelesaian khusus memenuhi (1) 2 dan (2) 1.gg
Maka: 12
11
2
12 2
CC
dan 3
1
2
2 1.
3
C
Dari kedua buah persamaan ini didapat 12
4 25
dan
12 12
CC
Jadi 42
4 25
12 2 12 12
x x x
y
atau 421
( 6 4 25)
12
y x x x
1.28 Matematika III
d) Penyelesaian khusus melalui titik-titik (1,2) dan (3,5).
Maka 12
11
2
12 2
CC
dan 42
12
33
53
12 2
CC
Dari kedua buah persamaan ini didapat: 12
2 27
dan
12 12
CC
Jadi 42
2 27
12 2 12 12
x x x
y
atau 421
( 6 2 27)
12
y x x x
Dari pembicaraan dalam Kegiatan Belajar 1 diketahui bahwa suatu
persamaan diferensial dapat diperoleh dari suatu primitif. Jika suatu
persamaan diferensial diketahui primitifnya, maka primitif ini merupakan
penyelesaian persamaan diferensial tersebut, dan Anda telah tahu bahwa
primitif adalah fungsi yang mengandung konstan sembarang.
Suatu masalah, apakah primitif ini pasti merupakan penyelesaian umum
persamaan diferensial tersebut ? Untuk menjawab hal ini, pandanglah primitif ( 1)( 1).xy C x y
Dengan mengambil derivatif terhadap x didapat:
( 1) ( 1)
dy dy
x y C x y
dx dx
Selanjutnya dengan eliminasi C akan didapat persamaan diferensial
( 1) ( 1) 0.
dy
x x y y
dx
Jadi persamaan diferensial ini mempunyai primitif
( 1)( 1).xy C x y
Sekarang dapat Anda periksa bahwa y = 0 dan y = 1, keduanya
merupakan penyelesaian persamaan diferensial tersebut. Yang pertama, y =
0, dapat diperoleh dari primitif dengan mengambil C = 0, tetapi yang kedua,
SATS4220 /MODUL 1 1.29
y = 1, tidak dapat diperoleh dari primitif tersebut. Jadi primitif ( 1)( 1)xy C x y
bukan penyelesaian umum persamaan diferensial
tersebut, sebab tidak mencakup semua penyelesaian. Dari contoh ini dapat
diambil kesimpulan bahwa primitif belum tentu merupakan penyelesaian
umum suatu persamaan diferensial.
Sekarang kita kembali ke contoh 4 dan contoh 5. Dari contoh 4 di atas,
terdapat penyelesaian khusus persamaan diferensial y' = 2x yang melalui titik
(1,4) yaitu, y = x
2
+ 3. Demikian pula dari contoh 5 bagian b), terdapat
penyelesaian khusus persamaan diferensial y" = x
2
- 1 yang memenuhi y = 1
dan y' = 2 untuk x = 0. Suatu masalah, apakah setiap persamaan diferensial
( , )y F x y (7)
terdapat penyelesaian yang melalui ( , )
oo
xy ?. Masalah yang sama untuk
persamaan diferensial tingkat n
( ) (1) (2) ( 1)
( , , , ,..., )
nn
y F x y y y y (8)
Adakah penyelesaian persamaan diferensial (8) yang memenuhi ( ) ( )
, , , ...,
nn
o o o o
y y y y y y y y
untuk x = xo? Untuk itu
pandanglah persamaan diferensial
5 / 3
yx (9)
Persamaan (9) mempunyai penyelesaian umum
2 / 33
2
y x C (10)
Penyelesaian khusus persamaan (9) yang melalui titik (1,0) ada, yaitu:
2 / 333
2 22
yx (11)
Tetapi, adakah penyelesaian khusus yang melalui titik (0,1) ? Juga, adakah
penyelesaian khusus yang melalui titik (0,7) ? Jelas bahwa tidak ada
penyelesaian khusus persamaan diferensial (9) yang melalui titik (0,1)
maupun titik (0,7). Kiranya terdapatnya penyelesaian khusus persamaan
diferensial (7) yang melalui titik (xo,yo) perlu syarat-syarat tertentu. Syarat-
syarat ini tercantum dalam Teorema Eksistensi untuk persamaan diferensial y'
= F(x,y) seperti berikut ini.
1.30 Matematika III
Teorema Eksistensi untuk y' = F(x,y)
Misalkan ( , ) ,
oo
D x y x x a y y b dan misalkan F(x,y) dan ( , )F x y
y
kontinu dalam D. Maka terdapat dengan tunggal ( ), ,
o
y f x x x h
dengan sifat:
a) ( , ) untuk
o
y F x y x x h
b) ()
oo
y f x
c) ( ) untuk
oo
f x y b x x h
Teorema eksistensi ini menjamin terdapatnya penyelesaian persamaan
diferensial y' = F(x,y) yang melalui titik (xo,yo) asal F(x,y) dan ( , )F x y
y
kontinu dalam daerah disekitar (xo,yo). Bukti teorema ini memerlukan
pengetahuan matematik yang lebih tinggi, sehingga tidak perlu disajikan di
sini.
Sampai sejauh ini, baru dibicarakan asal mula persamaan diferensial,
cara mencari persamaan diferensial dari primitif, cara mencari persamaan
diferensial dari keluarga kurve pada bidang datar dan cara mencari
penyelesaian umum dan penyelesaian khusus persamaan diferensial yang
berbentuk y
(n)
= F(x). Dalam modul-modul berikutnya akan dibicarakan cara
mencari penyelesaian umum persamaan diferensial yang mempunyai bentuk
persamaan yang lain. Sebelum Anda pelajari modul-modul tersebut, kerjakan
lebih dahulu soal-soal latihan dan Tes Formatif dalam Kegiatan Belajar 2 ini.
1) Buktikan bahwa 2
x
y x Ce adalah primitif dari persamaan
diferensial 2(1 ).
dy
yx
dx
Kemudian carilah penyelesaian khusus yang memenuhi y = 3 untuk
x = 0.
LATIHAN
Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas,
kerjakanlah latihan berikut!
SATS4220 /MODUL 1 1.31
2) Perlihatkan bahwa 2
()y C Cx adalah primitif persamaan diferensial
2
4 2 0.
dy dy
x x y
dx dx
Selanjutnya carilah penyelesaian yang memenuhi y = 2 untuk x = 1.
3) Persamaan diferensial ( 1) 0x y xy y mempunyai penyelesaian
umum: 12
.
x
y C x C e
Carilah penyelesaian khusus yang melalui titik-titik (0,1) dan (1,0).
4) Tentukan penyelesaian umum persamaan diferensial 2
x
y x e
kemudian tentukan penyelesaian khusus yang melalui titik
(0,3)!
5) Carilah penyelesaian umum persamaan diferensial 2
2
cos ,
dy
πx
dx
selanjutnya carilah penyelesaian khusus yang memenuhi 2
1
5 dan untuk x 0.yy
π
Petunjuk Jawaban Latihan
1) Petunjuk: untuk membuktikannya, carilah persamaan diferensial dari
primitif 2
x
y x Ce , akan didapat 2(1 ).
dy
yx
dx
Penyelesaian khusus yang memenuhi y = 3 untuk x = 0 adalah
y = 2x + 3e
x
.
2) Petunjuk sama seperti soal nomor 1. Penyelesaian khusus yang
memenuhi y = 2 untuk x = 1 adalah (y-1)
2
= x dan (y-4)
2
= 4x.
3) Petunjuk: masukkan koordinat titik-titik (0,1) dan (1,e) ke persamaan 12
x
y C x C e
untuk memperoleh C1 dan C2. Akhirnya dapatkan
penyelesaian khusus y = e
x
.
1.32 Matematika III
4) Penyelesaian umum: 2 x
y x e C
Penyelesaian khusus: 2
2.
x
y x e
5) Penyelesaian umum: 2
cosπx
y Ax B
π
Penyelesaian khusus: 2
2
1
( cos 5 2)y πx π x
π
1. Suatu penyelesaian dari suatu persamaan diferensial adalah suatu
fungsi yang memenuhi persamaan diferensial tersebut.
2. Penyelesaian umum suatu persamaan diferensial adalah fungsi yang
mengandung konstan-konstan sembarang dan yang mencakup
semua penyelesaian dari persamaan diferensial tersebut.
3. Penyelesaian khusus suatu persamaan diferensial adalah
penyelesaian yang mempunyai sifat-sifat tertentu, dapat diperoleh
dari penyelesaian umum dan kadang-kadang dapat diperoleh dari
primitif. Penyelesaian umum persamaan diferensial ()
()
n
y G x
didapat dengan mengintegralkan fungsi G(x) n kali secara berurutan.
1) Persamaan diferensial x
y xe mempunyai penyelesaian umum.
A. x
y xe C
B. xx
y xe e C
C. xx
y xe e C
D. xx
y xe e C
2) Penyelesaian umum persamaan diferensial cos 3 5
dy
xx
dx
adalah ….
A. 1/9 (3 sin 3 cos 3 45 )y x x x x C
B. 1/9 (3 sin 3 cos 3 45 )y x x x x C
RANGKUMAN
TES FORMATIF 2
Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!
SATS4220 /MODUL 1 1.33
C. 1/9 ( 3 sin 3 cos 3 45 )y x x x x C
D. 1/9 (3 cos 3 sin 3 45 )y x x x x C
3) Diketahui penyelesaian umum persamaan diferensial
(1 ln ) (1 ln ) 0x dx y dy adalah ln ln .x x y y C Maka
penyelesaian khusus yang melalui titik 21
( , )ee adalah ….
A. 21
ln ln 2 0x x y y e e
B. 21
ln ln 2 0x x y y e e
C. 21
ln ln 2 0x x y y e e
D. 21
ln ln 2 0x x y y e e
4) Diketahui persamaan diferensial 2
( 2 ) 2 0x y dx xy dy
mempunyai primitif 22
0.Cx x y Maka penyelesaian khusus
persamaan diferensial tersebut yang melalui titik (-1,2) adalah ….
A. 22
30x x y
B. 22
30x x y
C. 22
20x x y
D. 22
20x x y
5) Penyelesaian khusus persamaan diferensial 60
x
y x e yang
melalui titik (0,4) dan (-1,-e) adalah ….
A. 3
45
x
y x e x
B. 3
45
x
y x e x
C. 3
45
x
y x e x
D. 3
45
x
y x e x
6) Penyelesaian khusus persamaan diferensial 2
sin
x
y x e yang
memenuhi 1/ 2 dan 3/ 4 untuk 0y y x adalah ….
A. 21
sin 2 1
4
x
y x e x
B. 21
sin 2 1
4
x
y x e x
1.34 Matematika III
C. 21
sin 1
4
x
y x e x
D. 21
sin 1
4
x
y x e x
7) Penyelesaian umum persamaan diferensial 2
2
0
xdy
xe
dx adalah ….
A. 2
xx
y xe e Cx D
B. 2
xx
y xe e Cx D
C. 2
xx
y xe e Cx D
D. 2
xx
y xe e Cx D
Petunjuk: Pilihlah
A. Jika (1) dan (2) benar
B. Jika (1) dan (3) benar
C. Jika (2) dan (3) benar
D. Jika (1), (2) dan (3) benar semua.
8) Persamaan diferensial ( 1) 0x y xy y mempunyai
penyelesaian khusus ….
(1) 2
2
x
y x e
(2) 52
x
y x e
(3) 23
x
y x e
9) Persamaan diferensial 22
3 4 lnx y xy y x x x mempunyai
penyelesaian khusus.
(1) 22
2 lny x x x x
(2) 2 2 2 2 1
5 6 ln (ln )
6
y x x x x x x
(3) 2 2 21
(ln )
6
y x x x x
SATS4220 /MODUL 1 1.35
10) Fungsi-fungsi
(1) 2
2 2 2
x
y e x x
(2) 2
12 6 6y x x
(3) 2
22
x
y e x x
adalah penyelesaian khusus dari persamaan diferensial ( 2) 2 0.xy x y y
Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang
terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar.
Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan
Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2.
Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali
80 - 89% = baik
70 - 79% = cukup
< 70% = kurang
Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat
meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%,
Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang
belum dikuasai.
Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar
×100%
Jumlah Soal
1.36 Matematika III
Kunci Jawaban Tes Formatif
Tes Formatif 1
1) B
Petunjuk : Misalkan V = luas lingkaran. Maka 2
.VπR
Dari , 2 .
dV dR
kR dapatkanπR kR
dt dt
2) D
Petunjuk: gradien garis normal adalah dx
dy
3) C
4) A Petunjuk : Eliminasikan konstan-konstan sembarang
5) C yang terdapat dalam primitif.
6) B
7) B
Petunjuk: Persamaan keluarga parabola-parabola: 2
()y A x B
8) D
Petunjuk: Persamaan keluarga lingkaran-lingkaran: 22
0.x y Ax By C
9) A
Petunjuk : Persamaan keluarga lingkaran-lingkaran: 2 2 2
.x y A
10) D
Petunjuk : Persamaan keluarga garis-garis lurus: 2
(5 ) 5.Cx C y
SATS4220 /MODUL 1 1.37
Tes Formatif 2
1) D
Petunjuk: integrasikan fungsi .
x
xe
2) B
3) C
Petunjuk: Masukkan koordinat titik 21
( , )ee ke dalam penyelesaian
umum untuk mendapatkan nilai C.
4) B
Petunjuk: Masukkan koordinat titik (-1,2) ke dalam primitif untuk
mendapatkan nilai C.
5) A
Petunjuk: Carilah dahulu penyelesaian umumnya, kemudian masukkan
koordinat titik (0,4) dan (-1,-e) ke dalam penyelesaian umum
tersebut untuk mendapatkan konstan-konstan sembarang yang ada.
6) D
Petunjuk: Carilah lebih dahulu penyelesaian umumnya kemudian
masukkan syarat-syarat yang harus dipenuhi untuk mendapatkan
konstan-konstan sembarang yang ada.
7) A
8) C
Petunjuk: Untuk masing-masing fungsi dalam persamaan (1), (2) dan (3),
selidikilah, apakah memenuhi persamaan diferensial tersebut
ataukah tidak.
9) C
10) B
1.38 Matematika III
Daftar Pustaka
Braver, Nohel, John A, Problems and Solutions in Ordinary Differential
Equations. W.A Benyamin, Inc.
Frank Ayres, Jr, Theory and Problems of Differential Equations. Schaum
Publishing Co.
Kaplan. W, Ordinary Differential Equations. Addison Wesley Publishing Co,
Inc.
Rainville, Earld & Bedient, Phillip E. (1974). Elementary Differential
Equations. fifth edition, Macmillan Publishing Co, Inc.
Boyce, William E. and Diprima, Richard C. 2009. Elementary Differential
Equations and Boundary Value Problems. 9
th
Edition. John Wiley &
Sons, Inc.
Perko, Lawrence. 2001. Differential Equations and Dynamical Yystems. 3
rd
Edition. Springer-Verlag, New York. Inc.
Ricardo, Henry J. 2009. A Modern Introduction to Differential Equations. 2
nd
Edition. Elsevier Academic Press.