PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA
PDB Orde Pertama
Resmawan
UNIVERSITAS NEGERI GORONTALO
September 2018
[email protected] (MathUNG) Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama September 2018 1 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial
1. Pengantar Persamaan Diferensial
[email protected] (MathUNG) Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama September 2018 2 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial1.1 Pengertian dan Notasi Persamaan Diferensial
1.1 Pengertian dan Notasi Persamaan Diferensial
1.1 Pengertian dan Notasi Persamaan Diferensial
[email protected] (MathUNG) Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama September 2018 3 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial1.1 Pengertian dan Notasi Persamaan Diferensial
1.1 Pengertian dan Notasi Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial (di¤erential equation) adalah persamaan yang
memuat satu atau lebih variabel tak bebas beserta turunannya
terhadap variabel-variabel bebas.
Persamaan diferensial yang memuat suatu variabel tak bebasydan
variabel bebasxbiasa dinotasikan dengan
dy
dx
atau y
0
(x)atau y
0
dibaca
"Turunan Pertama Variabel Tak Bebasyterhadap variabel bebasx"
Secara umum persamaan diferensial yang melibatkan variabel-variabel
ini dapat dinyatakan dalam bentuk
F
x,y,y
0
,y
00
, ...,y
(n)
=0
dengany
(n)
merupakan turunan ke ndariyterhadapx.
[email protected] (MathUNG) Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama September 2018 4 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial1.1 Pengertian dan Notasi Persamaan Diferensial
1.1 Pengertian dan Notasi Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial (di¤erential equation) adalah persamaan yang
memuat satu atau lebih variabel tak bebas beserta turunannya
terhadap variabel-variabel bebas.
Persamaan diferensial yang memuat suatu variabel tak bebasydan
variabel bebasxbiasa dinotasikan dengan
dy
dx
atau y
0
(x)atau y
0
dibaca
"Turunan Pertama Variabel Tak Bebasyterhadap variabel bebasx"
Secara umum persamaan diferensial yang melibatkan variabel-variabel
ini dapat dinyatakan dalam bentuk
F
x,y,y
0
,y
00
, ...,y
(n)
=0
dengany
(n)
merupakan turunan ke ndariyterhadapx.
[email protected] (MathUNG) Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama September 2018 4 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial1.1 Pengertian dan Notasi Persamaan Diferensial
1.1 Pengertian dan Notasi Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial (di¤erential equation) adalah persamaan yang
memuat satu atau lebih variabel tak bebas beserta turunannya
terhadap variabel-variabel bebas.
Persamaan diferensial yang memuat suatu variabel tak bebasydan
variabel bebasxbiasa dinotasikan dengan
dy
dx
atau y
0
(x)atau y
0
dibaca
"Turunan Pertama Variabel Tak Bebasyterhadap variabel bebasx"
Secara umum persamaan diferensial yang melibatkan variabel-variabel
ini dapat dinyatakan dalam bentuk
F
x,y,y
0
,y
00
, ...,y
(n)
=0
dengany
(n)
merupakan turunan ke ndariyterhadapx.
[email protected] (MathUNG) Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama September 2018 4 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial1.1 Pengertian dan Notasi Persamaan Diferensial
1.1 Pengertian dan Notasi Persamaan Diferensial
Examples
Berikut diberikan beberapa contoh Persamaan Diferensial
(1)
dy
dx
=e
x
+sinx
(2)y
00
2y
0
+y=cosx
(3)
¶
2
u
¶x
2
+
¶
2
u
¶y
2
=
¶u
¶t
(4)
¶
2
u
¶t
2
=
¶
2
u
¶x
2
¶
2
u
¶y
2
[email protected] (MathUNG) Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama September 2018 5 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial1.2 Klasi…kasi Persamaan Diferensial
1.2 Klasi…kasi Persamaan Diferensial
1.2 Klasi…kasi Persamaan Diferensial
[email protected] (MathUNG) Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama September 2018 6 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial1.2 Klasi…kasi Persamaan Diferensial
1.2 Klasi…kasi Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial dapat diklasi…kasikan menjadi 2 macam, yaitu
1
Persamaan diferensial biasa (ordinary di¤erential equation), disingkat
PDB
2
Persamaan diferensial parsial (parsial di¤erential equation), disingkat
PDP
PDB adalah persamaan diferensial yang melibatkan hanya satu
variabel bebas, sedangkan PDP adalah persamaan diferensial yang
melibatkan lebih dari satu variabel bebas.
Dengan demikian, jelas bahwa persamaan (1) dan (2) pada Contoh
sebelumnya merupakan persamaan diferensial biasa sedangkan
persamaan (3) dan (4) merupakan persamaan diferensial parsial.
[email protected] (MathUNG) Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama September 2018 7 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial1.2 Klasi…kasi Persamaan Diferensial
1.2 Klasi…kasi Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial dapat diklasi…kasikan menjadi 2 macam, yaitu
1
Persamaan diferensial biasa (ordinary di¤erential equation), disingkat
PDB
2
Persamaan diferensial parsial (parsial di¤erential equation), disingkat
PDP
PDB adalah persamaan diferensial yang melibatkan hanya satu
variabel bebas, sedangkan PDP adalah persamaan diferensial yang
melibatkan lebih dari satu variabel bebas.
Dengan demikian, jelas bahwa persamaan (1) dan (2) pada Contoh
sebelumnya merupakan persamaan diferensial biasa sedangkan
persamaan (3) dan (4) merupakan persamaan diferensial parsial.
[email protected] (MathUNG) Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama September 2018 7 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial1.2 Klasi…kasi Persamaan Diferensial
1.2 Klasi…kasi Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial dapat diklasi…kasikan menjadi 2 macam, yaitu
1
Persamaan diferensial biasa (ordinary di¤erential equation), disingkat
PDB
2
Persamaan diferensial parsial (parsial di¤erential equation), disingkat
PDP
PDB adalah persamaan diferensial yang melibatkan hanya satu
variabel bebas, sedangkan PDP adalah persamaan diferensial yang
melibatkan lebih dari satu variabel bebas.
Dengan demikian, jelas bahwa persamaan (1) dan (2) pada Contoh
sebelumnya merupakan persamaan diferensial biasa sedangkan
persamaan (3) dan (4) merupakan persamaan diferensial parsial.
[email protected] (MathUNG) Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama September 2018 7 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial1.2 Klasi…kasi Persamaan Diferensial
1.2 Klasi…kasi Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial dapat diklasi…kasikan menjadi 2 macam, yaitu
1
Persamaan diferensial biasa (ordinary di¤erential equation), disingkat
PDB
2
Persamaan diferensial parsial (parsial di¤erential equation), disingkat
PDP
PDB adalah persamaan diferensial yang melibatkan hanya satu
variabel bebas, sedangkan PDP adalah persamaan diferensial yang
melibatkan lebih dari satu variabel bebas.
Dengan demikian, jelas bahwa persamaan (1) dan (2) pada Contoh
sebelumnya merupakan persamaan diferensial biasa sedangkan
persamaan (3) dan (4) merupakan persamaan diferensial parsial.
[email protected] (MathUNG) Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama September 2018 7 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial1.2 Klasi…kasi Persamaan Diferensial
1.2 Klasi…kasi Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial dapat diklasi…kasikan menjadi 2 macam, yaitu
1
Persamaan diferensial biasa (ordinary di¤erential equation), disingkat
PDB
2
Persamaan diferensial parsial (parsial di¤erential equation), disingkat
PDP
PDB adalah persamaan diferensial yang melibatkan hanya satu
variabel bebas, sedangkan PDP adalah persamaan diferensial yang
melibatkan lebih dari satu variabel bebas.
Dengan demikian, jelas bahwa persamaan (1) dan (2) pada Contoh
sebelumnya merupakan persamaan diferensial biasa sedangkan
persamaan (3) dan (4) merupakan persamaan diferensial parsial.
[email protected] (MathUNG) Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama September 2018 7 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial1.2 Klasi…kasi Persamaan Diferensial
1.2 Klasi…kasi Persamaan Diferensial
Examples
Klasi…kasikan PD berikut sebagai PDB atau PDP. Nyatakan variabel
bebas dan tak bebasnya
(1) ty
0
y=2t
4
(2)
¶y
¶x
+
¶y
¶t
+y
2
=0
(3)2x(y+1)dx
x
2
+1
dy=0
(4)
¶u
¶x
+
¶u
¶t
+xt=0
[email protected] (MathUNG) Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama September 2018 8 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial1.3 Order dan Derajat Persamaan Diferensial
1.3 Orde dan Derajat Persamaan Diferensial
1.3 Orde dan Derajat Persamaan Diferensial
[email protected] (MathUNG) Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama September 2018 9 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial1.3 Order dan Derajat Persamaan Diferensial
1.3 Orde dan Derajat Persamaan Diferensial
Penentuan pangkat dan derajat suatu persamaan diferensial
tergantung pada kandungan fungsi turunan di dalam persamaan
diferensial tersebut.
Ordeataupangkatsuatu persamaan diferensial merupakan pangkat
tertinggi dari turunan yang muncul dalam persamaan diferensial.
Degreeatauderajatdari suatu persamaan diferensial adalah pangkat
dari suku yang memuat turunan tertinggi dalam persamaan diferensial
(pangkatdariorde).
[email protected] (MathUNG) Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama September 2018 10 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial1.3 Order dan Derajat Persamaan Diferensial
1.3 Orde dan Derajat Persamaan Diferensial
Penentuan pangkat dan derajat suatu persamaan diferensial
tergantung pada kandungan fungsi turunan di dalam persamaan
diferensial tersebut.
Ordeataupangkatsuatu persamaan diferensial merupakan pangkat
tertinggi dari turunan yang muncul dalam persamaan diferensial.
Degreeatauderajatdari suatu persamaan diferensial adalah pangkat
dari suku yang memuat turunan tertinggi dalam persamaan diferensial
(pangkatdariorde).
[email protected] (MathUNG) Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama September 2018 10 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial1.3 Order dan Derajat Persamaan Diferensial
1.3 Orde dan Derajat Persamaan Diferensial
Penentuan pangkat dan derajat suatu persamaan diferensial
tergantung pada kandungan fungsi turunan di dalam persamaan
diferensial tersebut.
Ordeataupangkatsuatu persamaan diferensial merupakan pangkat
tertinggi dari turunan yang muncul dalam persamaan diferensial.
Degreeatauderajatdari suatu persamaan diferensial adalah pangkat
dari suku yang memuat turunan tertinggi dalam persamaan diferensial
(pangkatdariorde).
[email protected] (MathUNG) Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama September 2018 10 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial1.3 Order dan Derajat Persamaan Diferensial
1.3 Orde dan Derajat Persamaan Diferensial
Examples
Identi…kasi orde dan pangkat dari persamaan diferensial berikut
(1) 1+
dy
dx
2
=3
d
2
y
dx
2
(2)
y
00
3
+
y
0
4
y=0
(3)
dy
dt
2
+2y=0
[email protected] (MathUNG) Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama September 2018 11 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial1.3 Order dan Derajat Persamaan Diferensial
1.3 Orde dan Derajat Persamaan Diferensial
Solution
1
PDB Orde Dua Derajat Satu
2
PDB Orde Dua Derajat Tiga
3
PDB Orde Satu Derajat Dua
[email protected] (MathUNG) Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama September 2018 12 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial1.3 Order dan Derajat Persamaan Diferensial
1.3 Orde dan Derajat Persamaan Diferensial
Solution
1
PDB Orde Dua Derajat Satu
2
PDB Orde Dua Derajat Tiga
3
PDB Orde Satu Derajat Dua
[email protected] (MathUNG) Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama September 2018 12 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial1.3 Order dan Derajat Persamaan Diferensial
1.3 Orde dan Derajat Persamaan Diferensial
Solution
1
PDB Orde Dua Derajat Satu
2
PDB Orde Dua Derajat Tiga
3
PDB Orde Satu Derajat Dua
[email protected] (MathUNG) Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama September 2018 12 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial1.4 Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear
1.4 Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear
1.4 Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear
[email protected] (MathUNG) Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama September 2018 13 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial1.4 Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear
1.4 Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear
Suatu persamaan diferensial dikatakan liniar jika tidak ada perkalian
antar variabel-variabel tak bebas dan derivatif-derifatifnya atau dapat
ditulis dalam bentuk
a0(x)y
(n)
+a1(x)y
(n 1)
+...+an(x)y=F(x)
dengana0,a1, ...,andan Fmerupakan fungsi-fungsi darixsaja,
a0(x)6=0.
Persamaan ini merupakan kasus khusus dari bentuk umum PD yang
disebut denganPersamaan Diferensial Linearorden.
Persamaan diferensial yang tidak dapat ditulis dalam bentuk ini
disebutpersamaan diferensial tak linear.
Selain itu, persamaan diferensial yang tak linear dalam beberapa
variabel tak bebas dikatakan tak liniar dalam variabel tersebut.
Persamaan diferensial yang tak liniar dalam himpunan semua variabel
tak bebas secara sederhana dikatakan tak linear.
[email protected] (MathUNG) Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama September 2018 14 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial1.4 Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear
1.4 Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear
Suatu persamaan diferensial dikatakan liniar jika tidak ada perkalian
antar variabel-variabel tak bebas dan derivatif-derifatifnya atau dapat
ditulis dalam bentuk
a0(x)y
(n)
+a1(x)y
(n 1)
+...+an(x)y=F(x)
dengana0,a1, ...,andan Fmerupakan fungsi-fungsi darixsaja,
a0(x)6=0.
Persamaan ini merupakan kasus khusus dari bentuk umum PD yang
disebut denganPersamaan Diferensial Linearorden.
Persamaan diferensial yang tidak dapat ditulis dalam bentuk ini
disebutpersamaan diferensial tak linear.
Selain itu, persamaan diferensial yang tak linear dalam beberapa
variabel tak bebas dikatakan tak liniar dalam variabel tersebut.
Persamaan diferensial yang tak liniar dalam himpunan semua variabel
tak bebas secara sederhana dikatakan tak linear.
[email protected] (MathUNG) Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama September 2018 14 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial1.4 Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear
1.4 Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear
Suatu persamaan diferensial dikatakan liniar jika tidak ada perkalian
antar variabel-variabel tak bebas dan derivatif-derifatifnya atau dapat
ditulis dalam bentuk
a0(x)y
(n)
+a1(x)y
(n 1)
+...+an(x)y=F(x)
dengana0,a1, ...,andan Fmerupakan fungsi-fungsi darixsaja,
a0(x)6=0.
Persamaan ini merupakan kasus khusus dari bentuk umum PD yang
disebut denganPersamaan Diferensial Linearorden.
Persamaan diferensial yang tidak dapat ditulis dalam bentuk ini
disebutpersamaan diferensial tak linear.
Selain itu, persamaan diferensial yang tak linear dalam beberapa
variabel tak bebas dikatakan tak liniar dalam variabel tersebut.
Persamaan diferensial yang tak liniar dalam himpunan semua variabel
tak bebas secara sederhana dikatakan tak linear.
[email protected] (MathUNG) Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama September 2018 14 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial1.4 Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear
1.4 Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear
Suatu persamaan diferensial dikatakan liniar jika tidak ada perkalian
antar variabel-variabel tak bebas dan derivatif-derifatifnya atau dapat
ditulis dalam bentuk
a0(x)y
(n)
+a1(x)y
(n 1)
+...+an(x)y=F(x)
dengana0,a1, ...,andan Fmerupakan fungsi-fungsi darixsaja,
a0(x)6=0.
Persamaan ini merupakan kasus khusus dari bentuk umum PD yang
disebut denganPersamaan Diferensial Linearorden.
Persamaan diferensial yang tidak dapat ditulis dalam bentuk ini
disebutpersamaan diferensial tak linear.
Selain itu, persamaan diferensial yang tak linear dalam beberapa
variabel tak bebas dikatakan tak liniar dalam variabel tersebut.
Persamaan diferensial yang tak liniar dalam himpunan semua variabel
tak bebas secara sederhana dikatakan tak linear.
[email protected] (MathUNG) Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama September 2018 14 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial1.4 Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear
1.4 Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear
Suatu persamaan diferensial dikatakan liniar jika tidak ada perkalian
antar variabel-variabel tak bebas dan derivatif-derifatifnya atau dapat
ditulis dalam bentuk
a0(x)y
(n)
+a1(x)y
(n 1)
+...+an(x)y=F(x)
dengana0,a1, ...,andan Fmerupakan fungsi-fungsi darixsaja,
a0(x)6=0.
Persamaan ini merupakan kasus khusus dari bentuk umum PD yang
disebut denganPersamaan Diferensial Linearorden.
Persamaan diferensial yang tidak dapat ditulis dalam bentuk ini
disebutpersamaan diferensial tak linear.
Selain itu, persamaan diferensial yang tak linear dalam beberapa
variabel tak bebas dikatakan tak liniar dalam variabel tersebut.
Persamaan diferensial yang tak liniar dalam himpunan semua variabel
tak bebas secara sederhana dikatakan tak linear.
[email protected] (MathUNG) Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama September 2018 14 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial1.4 Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear
1.4 Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear
Examples
Identi…kasi sifat linearitas dari beberapa contoh PD berikut
y
0
+4xy
0
+2y=cosx
y
00
+4yy
0
+2y=cosx
¶
2
x
¶t
2
+
¶y
¶t
+xy=sint
y
00
+xcosy
0
xy=x
2
y
00
4x
2
y
0
+5y
2
=0
[email protected] (MathUNG) Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama September 2018 15 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial1.4 Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear
1.4 Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear
Solution
1
Linear dalam y
2
Tak linear dalam y karena memuat yy
0 3
Linear dalam setiap variabel tak bebas x atau y, namun tak linear
dalam himpunanfx,yg,sehingga PD tak linear
4
Tak linear
5
Tak linear
[email protected] (MathUNG) Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama September 2018 16 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial1.4 Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear
1.4 Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear
Solution
1
Linear dalam y
2
Tak linear dalam y karena memuat yy
0 3
Linear dalam setiap variabel tak bebas x atau y, namun tak linear
dalam himpunanfx,yg,sehingga PD tak linear
4
Tak linear
5
Tak linear
[email protected] (MathUNG) Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama September 2018 16 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial1.4 Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear
1.4 Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear
Solution
1
Linear dalam y
2
Tak linear dalam y karena memuat yy
0 3
Linear dalam setiap variabel tak bebas x atau y, namun tak linear
dalam himpunanfx,yg,sehingga PD tak linear
4
Tak linear
5
Tak linear
[email protected] (MathUNG) Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama September 2018 16 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial1.4 Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear
1.4 Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear
Solution
1
Linear dalam y
2
Tak linear dalam y karena memuat yy
0 3
Linear dalam setiap variabel tak bebas x atau y, namun tak linear
dalam himpunanfx,yg,sehingga PD tak linear
4
Tak linear
5
Tak linear
[email protected] (MathUNG) Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama September 2018 16 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial1.4 Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear
1.4 Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear
Solution
1
Linear dalam y
2
Tak linear dalam y karena memuat yy
0 3
Linear dalam setiap variabel tak bebas x atau y, namun tak linear
dalam himpunanfx,yg,sehingga PD tak linear
4
Tak linear
5
Tak linear
[email protected] (MathUNG) Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama September 2018 16 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial1.4 Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear
1.4 Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear
Problem
Tentukan sifat kelinearan, orde, dan derajat dari beberapa contoh PD
berikut
(1) ty
0
y=2t
4
(2) 5
d
2
x
dt
2
+2
dx
dt
+9x=2 cos 3t
(3)2x(y+1)dx
x
2
+1
dy=0
(4)
y
00
2
+2y
0
+2y
2
=0
[email protected] (MathUNG) Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama September 2018 17 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial1.5 Menemukan Persamaan Diferensial
1.5 Menemukan Persamaan Diferensial
1.5 Menemukan Persamaan Diferensial
[email protected] (MathUNG) Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama September 2018 18 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial1.5 Menemukan Persamaan Diferensial
1.5 Menemukan Persamaan Diferensial
Menemukan persamaan diferensial dapat dilakukan dengan
langkah-langkah sebagai berikut:
1
Hitunglah banyaknya konstanta sembarang yang terdapat dalam
persamaan yang akan dicari bentuk persamaan diferensialnya.
2
Hilangkan semua konstanta sembarang itu dengan cara eliminasi.
3
Jika konstanta sembarang sebanyakn, maka dibutuhkann+1
persamaan untuk melakukan eliminasi.n+1 persamaan dapat
diperoleh dengan cara mendiferensialkan persamaan semula sampai
turunan ke n.
4
Banyaknya konstanta sembarang menunjukkan pangkat tertinggi dari
turunan dalam persamaan diferensial yang dicari.
[email protected] (MathUNG) Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama September 2018 19 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial1.5 Menemukan Persamaan Diferensial
1.5 Menemukan Persamaan Diferensial
Examples
Tentukan bentuk persamaan diferensial dari persamaan-persamaan berikut:
1
y=Ce
4x
,Cmerupakan konstanta sembarang
2
y=Asin 3x+Bcos 3x,AdanBkonstanta sembarang
3
y=Ae
2x
+Be
3x
,AdanBkonstanta sembarang
[email protected] (MathUNG) Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama September 2018 20 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial1.5 Menemukan Persamaan Diferensial
1.5 Menemukan Persamaan Diferensial
Solution
1
Karena terdapat 1 konstanta, maka dibutuhkan 2 persamaan untuk
memperoleh bentuk persamaan diferensial yang dicari.
Persamaan kedua dapat diperoleh dengan melakukan diferensiasi pada
persamaan awal.
Dengan demikian, diperoleh masing-masing
y=Ce
4x
(1)
y
0
= 4e
4x
(2)
Dari persamaan(1)diperoleh
C=ye
4x
(3)
[email protected] (MathUNG) Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama September 2018 21 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial1.5 Menemukan Persamaan Diferensial
1.5 Menemukan Persamaan Diferensial
Solution
1
Subtitusi persamaan(3)ke persamaan(2),maka diperoleh bentuk
persamaan diferensial
y
0
= 4ye
4x
e
4x
= 4y
Dengan demikian, diperoleh persamaan diferensial orde satu (sesuai
dengan banyak konstanta), yaitu
y
0
+4y=0atau
dy
dx
+4y=0
[email protected] (MathUNG) Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama September 2018 22 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial1.5 Menemukan Persamaan Diferensial
1.5 Menemukan Persamaan Diferensial
Solution
2.Dengan cara yang sama, persamaan ini dapat kita selesaikan sebagai
berikut
y=Asin 3x+Bcos 3x (1)
y
0
=3Acos 3x 3Bsin 3x(2)
y
00
= 9Asin 3x 9Bcos 3x(3)
Dari persamaan(1)dan(3)diperoleh
y
00
= 9Asin 3x 9Bcos 3x= 9(Asin 3x+Bcos 3x)
= 9y
Dengan demikian, diperoleh persamaan diferensial orde dua
y
00
+9y=0
[email protected] (MathUNG) Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama September 2018 23 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial1.5 Menemukan Persamaan Diferensial
1.5 Menemukan Persamaan Diferensial
Solution
3.Dari turunan pertama dan kedua diperoleh
y=Ae
2x
+Be
3x
(1)
y
0
= 2Ae
2x
+3Be
3x
(2)
y
00
=4Ae
2x
+9Be
3x
(3)
Dari persamaan(2)dan(3),diperoleh
y
0
= 2Ae
2x
+3Be
3x
22y
0
= 4Ae
2x
+6Be
3x
y
00
=4Ae
2x
+9Be
3x
1y
00
=4Ae
2x
+9Be
3x
y
00
+2y
0
=15Be
3x
(4)
[email protected] (MathUNG) Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama September 2018 24 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial1.5 Menemukan Persamaan Diferensial
1.5 Menemukan Persamaan Diferensial
Solution
3.Dari persamaan(1)dan(3),diperoleh
y=Ae
2x
+Be
3x
44y=4Ae
2x
+4Be
3x
y
00
=4Ae
2x
+9Be
3x
1y
00
=4Ae
2x
+9Be
3x
y
00
4y=5Be
3x
(5)
Dari persamaan(4)dan(5),diperoleh
y
00
+2y
0
=15Be
3x
1y
00
+2y
0
=15Be
3x
y
00
4y=5Be
3x
33y
00
12y=15Be
3x
2y
00
+2y
0
12y=0 (5)
Dengan demikian, diperoleh persamaan diferensial orde dua, yaitu
y
00
y
0
+6y=0atau
d
2
y
dx
2
dy
dx
+6y=0
[email protected] (MathUNG) Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama September 2018 25 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial1.6 Solusi Persamaan Diferensial dan Masalah Nilai Awal
1.6 Solusi Persamaan Diferensial dan Masalah Nilai Awal
1.6 Solusi Persamaan Diferensial dan Masalah Nilai Awal
[email protected] (MathUNG) Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama September 2018 26 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial1.6 Solusi Persamaan Diferensial dan Masalah Nilai Awal
1.6 Solusi Persamaan Diferensial dan Masalah Nilai Awal
Solusi dari persamaan diferensialadalah sembarang fungsi yang
memenuhi untuk persamaan diferensial tersebut.
Solusi dari persamaan diferensial ordenpada suatu intervalIadalah
suatu fungsiy=f(x)yang memiliki paling sedikit turunan sampai ke
npadaIdan memenuhi persamaan diferensial yang diberikan untuk
semuaxdi intervalI.
Secara umum, solusi persamaan diferensial dibedakan menjadi 2
macam, yaitu solusi umum dan solusi khusus:
1
Solusi umumadalah solusi PDB yang mengandung suatu kontanta,
misalnya K atau C. sebagai contoh diketahui suatu PDB
y
0
=3y+1.=3y+1,maka solusi umumnya adalah
y= 1/3+Ce
3x
.
2
Solusi khususadalah solusi yang tidak mengandung suatu konstanta
yang disebabkan oleh tambahan syarat awal pada suatu PDB. Misal
suatu PDBy
0
=3y+1,y(0)=1,maka solusi khususnya adalah
y= 1/3+4/3e
3x
,dengan syarat atau nilai awaly(0)=1.
[email protected] (MathUNG) Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama September 2018 27 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial1.6 Solusi Persamaan Diferensial dan Masalah Nilai Awal
1.6 Solusi Persamaan Diferensial dan Masalah Nilai Awal
Solusi dari persamaan diferensialadalah sembarang fungsi yang
memenuhi untuk persamaan diferensial tersebut.
Solusi dari persamaan diferensial ordenpada suatu intervalIadalah
suatu fungsiy=f(x)yang memiliki paling sedikit turunan sampai ke
npadaIdan memenuhi persamaan diferensial yang diberikan untuk
semuaxdi intervalI.
Secara umum, solusi persamaan diferensial dibedakan menjadi 2
macam, yaitu solusi umum dan solusi khusus:
1
Solusi umumadalah solusi PDB yang mengandung suatu kontanta,
misalnya K atau C. sebagai contoh diketahui suatu PDB
y
0
=3y+1.=3y+1,maka solusi umumnya adalah
y= 1/3+Ce
3x
.
2
Solusi khususadalah solusi yang tidak mengandung suatu konstanta
yang disebabkan oleh tambahan syarat awal pada suatu PDB. Misal
suatu PDBy
0
=3y+1,y(0)=1,maka solusi khususnya adalah
y= 1/3+4/3e
3x
,dengan syarat atau nilai awaly(0)=1.
[email protected] (MathUNG) Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama September 2018 27 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial1.6 Solusi Persamaan Diferensial dan Masalah Nilai Awal
1.6 Solusi Persamaan Diferensial dan Masalah Nilai Awal
Solusi dari persamaan diferensialadalah sembarang fungsi yang
memenuhi untuk persamaan diferensial tersebut.
Solusi dari persamaan diferensial ordenpada suatu intervalIadalah
suatu fungsiy=f(x)yang memiliki paling sedikit turunan sampai ke
npadaIdan memenuhi persamaan diferensial yang diberikan untuk
semuaxdi intervalI.
Secara umum, solusi persamaan diferensial dibedakan menjadi 2
macam, yaitu solusi umum dan solusi khusus:
1
Solusi umumadalah solusi PDB yang mengandung suatu kontanta,
misalnya K atau C. sebagai contoh diketahui suatu PDB
y
0
=3y+1.=3y+1,maka solusi umumnya adalah
y= 1/3+Ce
3x
.
2
Solusi khususadalah solusi yang tidak mengandung suatu konstanta
yang disebabkan oleh tambahan syarat awal pada suatu PDB. Misal
suatu PDBy
0
=3y+1,y(0)=1,maka solusi khususnya adalah
y= 1/3+4/3e
3x
,dengan syarat atau nilai awaly(0)=1.
[email protected] (MathUNG) Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama September 2018 27 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial1.6 Solusi Persamaan Diferensial dan Masalah Nilai Awal
1.6 Solusi Persamaan Diferensial dan Masalah Nilai Awal
Solusi dari persamaan diferensialadalah sembarang fungsi yang
memenuhi untuk persamaan diferensial tersebut.
Solusi dari persamaan diferensial ordenpada suatu intervalIadalah
suatu fungsiy=f(x)yang memiliki paling sedikit turunan sampai ke
npadaIdan memenuhi persamaan diferensial yang diberikan untuk
semuaxdi intervalI.
Secara umum, solusi persamaan diferensial dibedakan menjadi 2
macam, yaitu solusi umum dan solusi khusus:
1
Solusi umumadalah solusi PDB yang mengandung suatu kontanta,
misalnya K atau C. sebagai contoh diketahui suatu PDB
y
0
=3y+1.=3y+1,maka solusi umumnya adalah
y= 1/3+Ce
3x
.
2
Solusi khususadalah solusi yang tidak mengandung suatu konstanta
yang disebabkan oleh tambahan syarat awal pada suatu PDB. Misal
suatu PDBy
0
=3y+1,y(0)=1,maka solusi khususnya adalah
y= 1/3+4/3e
3x
,dengan syarat atau nilai awaly(0)=1.
[email protected] (MathUNG) Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama September 2018 27 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial1.6 Solusi Persamaan Diferensial dan Masalah Nilai Awal
1.6 Solusi Persamaan Diferensial dan Masalah Nilai Awal
Solusi dari persamaan diferensialadalah sembarang fungsi yang
memenuhi untuk persamaan diferensial tersebut.
Solusi dari persamaan diferensial ordenpada suatu intervalIadalah
suatu fungsiy=f(x)yang memiliki paling sedikit turunan sampai ke
npadaIdan memenuhi persamaan diferensial yang diberikan untuk
semuaxdi intervalI.
Secara umum, solusi persamaan diferensial dibedakan menjadi 2
macam, yaitu solusi umum dan solusi khusus:
1
Solusi umumadalah solusi PDB yang mengandung suatu kontanta,
misalnya K atau C. sebagai contoh diketahui suatu PDB
y
0
=3y+1.=3y+1,maka solusi umumnya adalah
y= 1/3+Ce
3x
.
2
Solusi khususadalah solusi yang tidak mengandung suatu konstanta
yang disebabkan oleh tambahan syarat awal pada suatu PDB. Misal
suatu PDBy
0
=3y+1,y(0)=1,maka solusi khususnya adalah
y= 1/3+4/3e
3x
,dengan syarat atau nilai awaly(0)=1.
[email protected] (MathUNG) Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama September 2018 27 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial1.6 Solusi Persamaan Diferensial dan Masalah Nilai Awal
1.6 Solusi Persamaan Diferensial dan Masalah Nilai Awal
Example
Tunjukkan bahwa persamaan
1
y=e
x
x
2
y=3e
x
x
3
y=Ce
x
x
adalah solusi dari persamaan diferensial
dy
dx
y=x 1
[email protected] (MathUNG) Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama September 2018 28 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial1.6 Solusi Persamaan Diferensial dan Masalah Nilai Awal
1.6 Solusi Persamaan Diferensial dan Masalah Nilai Awal
Solution
1
Diketahui
y=e
x
x sehingga
dy
dx
=e
x
1
Subtitusi pada ruas kiri persamaan diferensial yang diberikan dan
tunjukkan kebenarannya
dy
dx
y=(e
x
1) (e
x
x)
=x 1
[email protected] (MathUNG) Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama September 2018 29 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial1.6 Solusi Persamaan Diferensial dan Masalah Nilai Awal
1.6 Solusi Persamaan Diferensial dan Masalah Nilai Awal
Solution
2.Dengan cara yang sama,
y=3e
x
x sehingga
dy
dx
=3e
x
1
Subtitusi pada ruas kiri persamaan diferensial yang diberikan dan
tunjukkan kebenarannya
dy
dx
y=(3e
x
1) (3e
x
x)
=x 1
[email protected] (MathUNG) Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama September 2018 30 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial1.6 Solusi Persamaan Diferensial dan Masalah Nilai Awal
1.6 Solusi Persamaan Diferensial dan Masalah Nilai Awal
Solution
3.Dengan cara yang sama,
y=Ce
x
x sehingga
dy
dx
=Ce
x
1
Subtitusi pada ruas kiri persamaan diferensial yang diberikan dan
tunjukkan kebenarannya
dy
dx
y=(Ce
x
1) (Ce
x
x)
=x 1
Perhatikan bahwa nomor(1)dan(2)adalah contoh solusi khusus PD,
sedangkan nomor(3)menunjukkan salah satu contoh solusi umum PD.
[email protected] (MathUNG) Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama September 2018 31 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial* Soal-Soal Latihan 1
* Soal-Soal Latihan 1
Latihan 1
[email protected] (MathUNG) Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama September 2018 32 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial* Soal-Soal Latihan 1
* Soal-Soal Latihan 1
Problem
1
Carilah bentuk persamaan diferensial dari persamaan yang memuat
konstanta sembarang berikut:
a.y=x
3
+Ax
2
+Bx+C;A,B,C konstanta sembarang
b.x=C1cos(wt+C2);C1,C2konstanta sembarang
c.r=a(1 cost);akonstanta sembarang
d.(x c)
2
+y
2
=r
2
;c konstanta sembarang
2
Tunjukkan bahwa y=c1sinx+c2cosx, dimana c1dan c2
konstanta, merupakan solusi dari persamaan diferensial linear
d
2
y
dx
2
+y(x)=0
[email protected] (MathUNG) Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama September 2018 33 / 77
1. Pengantar Persamaan Diferensial* Soal-Soal Latihan 1
* Soal-Soal Latihan 1
Problem
3.Tunjukkan bahwa relasi x
2
+y
2
=4, mende…nisikan suatu solusi
implisit dari persamaan diferensial tak linear
dy
dx
=
x
y
4.Tunjukkan bahwa relasisin(xy)+y
2
x=0, mende…nisikan solusi
dari persamaan diferensial
dy
dx
=
1 cos(xy)
xcos(xy)+2y
[email protected] (MathUNG) Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama September 2018 34 / 77
3. Penutup
" Terima Kasih, Semoga Bermanfaat "
[email protected] (MathUNG) Persamaan Diferensian Biasa Orde Pertama September 2018 77 / 77