Pengantar Dasar Matematika1
September 2005DASAR-DASAR MATEMATIKA „
ManfaatMatematika
„
Pengertian
„
KarakteristikMatematika
„
PerbedaanmatematikadanPendidikan Matematika
„
Refleksi

Pengantar Dasar Matematika2
September 2005
MANFAAT MEMPELAJARI
MATEMATIKA
„
PERDAGANGAN
„
PERTANIAN
„
PEMBANGUNAN FISIK
„
MERAMAL
„
KEMAMPUAN KERUANGAN
„
KEMAMPUAN LOGIKA
„
BERPIKIR RASIONAL

Pengantar Dasar Matematika3
September 2005PENGERTIAN MATEMATIKA „
ADA BERMACAM-
MACAM, BERFOKUS
PADA TINJAUAN
PEMBUAT
PENGERTIAN
„
MATEMATIKA
BERKEMBANG, MISAL
ADANYA TEORI FUZZY
„
TIDAK TERDAPAT SATU
DEFINISI TENTANG
MATEMATIKA YANG
TUNGGAL YANG
DISEPAKATI OLEH
SEMUA PAKAR
MATEMATIKA
„
KONSEP DIPAHAMI
MANUSIA DENGAN
BAHASA MATEMATIKA

Pengantar Dasar Matematika4
September 2005KARAKTERISTIK
MATEMATIKA
„
OBYEK ABSTRAK
„
BERTUMPU KESEPAKATAN
„
BERPOLA PIKIR DEDUKTIF
„
MEMILIKI SIMBOL YANG KOSONG
DARI ARTI
„
MEMPERHATIKAN SEMESTA
PEMBICARAAN
„
KONSISTEN DALAM SISTEMNYA

Pengantar Dasar Matematika5
September 2005ObjekMatematika „
Langsung: fakta, skill, prinsipdankonsep
„
Taklangsung: pembuktianteorema,
pemecahanmasalah, transfer belajar,
belajarbagaimanabelajar, perkembangan
intelektual, bekerjasecara
individu/kelompok, sikappositif

Pengantar Dasar Matematika6
September 2005OBYEK ABSTRAK
„
FAKTA: “2”, “2+4”,”//”
„
KONSEP:
Ideabstrakyang digunakanuntukmelakukan
penggolongan/klasifikasi
PembentukanKonsep:
1. Abstraksi
2. Idealisasi
3. AbstraksidanIdealisasi
4. Penambahansyaratpadakonsepterdahulu.

Pengantar Dasar Matematika7
September 2005Definisi Ungkapanyagdigunakanuntukmembatasisuatukonsep
JenisDefinisi:
1. Analitis: definisiyang menyebutkangenus proximum
dandeferensiaspesifika.
2. Ginetik: definisiyang mengungkapkanproses
terjadinya.
3. Rumus: definisiyang diungkapkandengankalimat
matematika.
Unsur-unsurdefinisi:
Latarbelakang, genus, istilahyang didefinisikan, atribut.
Bentuknyabiimplikasi, meskipuntertulisimplikasi

Pengantar Dasar Matematika8
September 2005IntensidanEkstensiSuatuDefinisi „
Intensiberkenaandengan“perhatianataupenjelasan”
darikalimat/atributdalamdefinisi.
„
Ektensiberkenaandengan“jangkauannyaatau
akibat/konskuensi” daridefinisiitu.
Bagaimanaintensidanekstensidefinisiini?
1. Segitigasamasisiadalahsegitigayang ketigasisinya
samapanjang.
2. Segitigasamasisiadalahsegitigayang ketigabesar
sudutnyasama.
Duaataulebihdefinisiyang ekstensinyasamadinamakan
definisiyang EKUIVALEN.

Pengantar Dasar Matematika9
September 2005Operasi Aturanuntukmemperolehelementunggal
darisatuataulebihelemenyang diketahui. UNAIR: log 10 = 1 ,
√
4 = 2, dst
BINER: a+b, a*b, axb, dst
TERNER: V(a,b,c) = abc, K(a,b,c) = a + bc, dst

Pengantar Dasar Matematika10
September 2005Prinsip Gabungandarifakta, konsepdanprinsipyang dikaitkan
dengansuaturelasiatauoperasi.
Prinsipdapatberupaaksioma, teorema, maupunsifat.
Contoh:
Dalamsegitigasiku- sikuABC berlakubahwakuadrat
panjangsisimiring samadenganjumlahkuadratpanjang
sisi- sisi siku-sikunya.

Pengantar Dasar Matematika11
September 2005KebenaranMatematika „
KebenaranKonsistensi: kebenaransuatupernyataan
didasarkanpadakebenaran- kebenaranyang telah
diterimalebihdahulu.
„
KebenaranKorelasional: Kebenaransuatupernyataan
yang didasarkanpadakecocokannyadenganrealitas
ataukenyataanyang ada.
„
KebenaranPragmatis: Kebenaransuatupernyataan
yang didasarkanatasmanfaatataukegunaandari
intensipernyataanitu.

Pengantar Dasar Matematika12
September 2005BERTUMPU PADA KESEPAKATAN
Kesepakatanyang mendasardalammatematika: „
Aksioma/Postulat/Pernyataanpangkal
„
KonsepPrimitif/Undefined Term/PengertianPangkal
Aksioma diperlukan agar tidak terjadi berputar-putar dalam
pembuktian.
Konsep primitif diperlukan agar tidak terjadi berputar-putar dalam
pendefinisian.

Pengantar Dasar Matematika13
September 2005KlasifikasiAksioma
“Kebenaran” yang tampak: Self Evident Truth “Melaluiduatitikyang berlainanhanyadapatdibuat
tepatsatugaris” (GeometriEuclides) Non Self Evident Truth (S,#) suatugrup, bilamemenuhi:
1. (∀a,b∈S) a#b∈S
2. (∀a,b,c∈S) a#(b#c) = (a#b)#c
3. (∃e∈S) a#e= e#a= a (∀a∈S)
4. (∀a∈S)(∃a’∈S) a#a’ = a’#a= e

Pengantar Dasar Matematika14
September 2005KlasifikasiAksioma Kaitan dengan arti:
Material:
Unsur-unsur dan relasi-relasi yang terdapat dalam aksioma masih dikaitkan
langsung dengan realitas atau materi tertentu atau dianggap ada yang
sudah diketahui.
Formal:
Unsur-unsur dikosongkan dari arti, tetapi masih memungkinkan adanya
unsur atau relasi yang dinyatakan dengan bahasa biasa, antara lain masih
bermaknanya kata “atau”, “dan”, dan sebagainya dalam logika.
Diformalkan:
Semua unsur termasuk tanda logika dikosongkan dari makna, sedemikian
sehingga semua unsur diperlakukan sebagai simbol belaka.

Pengantar Dasar Matematika15
September 2005StrukturdanSistemdalammatematika
Sistem: Sekumpulan Unsur atau elemen yang terkait satu sama lainnya dan mempunyai
tujuan tertentu.
Struktur: suatu sistem yang didalamnya memuat atau diperhatikan adanya hubungan
yang hierarkhis (berjenjang).
Struktur Matematika dinamakan Struktur yang deduktif-aksiomatik
Sistemaksioma Konsep Primitif
Teorema-1
Konsep-1 (didefinisikan)
Teorema-2
Konsep-1 (didefinisikan)
Teorema-3
dan seterusnya dan seterusnya

Pengantar Dasar Matematika16
September 2005
SISTEM DAN STRUKTUR MATEMATIKA
&INDEPENDEN
&KONSISTEN
&LENGKAP
&Ekonomis
KUMPULAN
AKSIOMA
SISTEM
PENENTU KEBENARAN SUATU PERNYATAAN DALAM
MATEMATIKA
adalah
STRUKTUR YANG DISEPAKATI

Pengantar Dasar Matematika17
September 2005Teorema „
Umumnyaberbentukimplikasi.
„
Menemukandapatsajadenganinduktif.
„
Unsur-unsurnya: Latarbelakang,
hipotesis, konskuen.

Pengantar Dasar Matematika18
September 2005
PembuktianTeorema
„
Bukti langsung dari suatu Implikasi
Contoh:
Perhatikan sifat-sifat atau f akta-fakta pada bilangan real.
A1. Jika x < y dan y < z, maka x < z
A2. x < y, atau y < x, atau x = y
A3. Jika x < y, maka x + z < y + z
A4. Jika x < y, z > 0 maka xz < yz
A5. x < x
A6. n > 0, jika n adalah bilangan bulat positif
Buktikan:
Jika x < y dan u < v, maka x + u < y + v

Pengantar Dasar Matematika19
September 2005„
Buktidengankasus-kasus Buktikan:
Jikax < y dany ≤z, makax < z
a ≤|a| untuksebaranga bilanganreal
„
Buktidengankontradiksi Buktikan:
Jikax ≤y dany ≤x, makax = y
„
Buktidengankontraposisi Buktikan:
Misalkanm dann bilanganbulatnon negatif.
Buktikanjikam + n > 50, makam > 25 ataun > 25

Pengantar Dasar Matematika20
September 2005BuktidenganInduksiMatematika Langkahpembuktian: 1.
BuktikanP(1) pernyataanbenar.
2.
AsumsikanpernyataanbenaruntukP(k).
BuktikanpernyataanbenaruntukP(k+1),
untuksetiapk ∈N.
P(k) →P(k+1), ∀k ∈N
3.
PernyataanbenaruntukP(n) ∀n ∈N
Buktikan1 + 2 + 2
2
+...+ 2
n-1
= 2
n
–1, ∀n ∈N

Pengantar Dasar Matematika21
September 2005Buktidengancontohpenyangkal Untukmenunjukkanbahwateoremabenar, maka
harusditunjukkansecaraumumuntuk
keseluruhancontoh.
Tetapiuntukmenunjukkanbahwapernyataanitu
salah, kitacukupmenunjukkanbahwauntuksatu
contohpernyataanitusalah.
Buktikanbahwahimpunanbilanganaslidengan
operasi+ tidakmembentukgrup.

Pengantar Dasar Matematika22
September 2005MembangunTeorema
Geometri4 titik
Aksioma:
A1. Terdapatempatbuahtitikberbeda.
A2. Melaluitepatduatitikdapatdibuattepatsatugaris
lurus.
A3. Padasatugarislurusterdapattepatduatitikberbeda.
Buatlahsekurang- kurangnyatigateoremaberdasar
aksiomadiatasdanbuktikan. Sebelummembuat
teoremadapatdenganmengangkatsebuahdefinisi
tentangkonseptertentu.

Pengantar Dasar Matematika23
September 2005Manakahyang membentuksistem
Aksioma? Aksioma
(1) a + b = c
(2) c + d + e = f
(3) a + b + d = k
(4) a + b + d + e = l
Aksioma
(1) a + b = c
(2) c + d + e = f
(3) a + b + d = g
Buatlahteoremaberdasar
sistemaksiomadiatasdan
bilaperludapatdibuat
definisilebihdahulu.

Pengantar Dasar Matematika24
September 2005SistemAksioma A1: Adatepattigaorang.
A2: Tiapduaorangberbedamenjaditepatsatupanitia.
A3: Tidaksemuaorangmenjadipanitiayang sama.
A4: Setiapduapanitiaberbedamemuatpaling sedikitsatu
orangyang menjadianggotakeduanya.
Buatlahsekurang- kurangnyatigateoremaberdasar
aksiomadiatasdanbuktikan. Sebelummembuat
teoremadapatdenganmengangkatsebuahdefinisi
tentangkonseptertentu.

Pengantar Dasar Matematika25
September 2005Tugas
A1: Aadalahhimpunanyang anggotanyatepatlima
buah.
A2: DuaanggotahimpunanA yang berbeda
mempunyaipasangantepatsatuanggota
himpunanB.
A3: SetiapanggotahimpunanBdipasangkantepat
olehduaanggotaA.
Buatlahsekurang- kurangnyatigateoremaberdasar
aksiomadiatasdanbuktikan. Sebelummembuat
teoremadapatdenganmengangkatsebuahdefinisi
tentangkonseptertentu.

Pengantar Dasar Matematika26
September 2005PerbedaanMatematikadan
PendidikanMatematika
Taat asas, dan untuk
membedakan tingkat sekolah
Taat kepada semesta
Kosong dan juga berarti Simbol kosong arti (sebelum
masuk semesta)
kesepakatan Bertumpu kesepakatan
Konsistensi dan Korelasional Kebenaran konsistensi
Deduktif dan Induktif Pola Pikir Deduktif
Abstrak dan Kongkrit Objek Abstrak
Karakteristik P. Mat.
Karakteristik Matematika

Pengantar Dasar Matematika27
September 2005Refleksi „
Adakah suatu definisi yang intensi maupun ekstensinya berbeda?
Coba untuk trapesium.
„
Apakah kumpulan aksioma ini merupakan sistem
aksioma?Jelaskan.
(1) a + b = c
(2) c + d + e = f
(3) a + b + d = k
(4) a + b + d + e = l
„
Perhatikan sistem aksioma berikut.
(1) Terdapat tepat 4 titik berbeda dan tidak ada tiga diantaranya
yang segaris.
(2) Melalui tepat dua titik dapat dibuat tepat satu garis.
Buatlah sekurang-kurangnya 3 teorema berdasar sistem aksioma
itu. (Dapat lebih dahulu menyusun definisi tentang konsep tertentu).

Pengantar Dasar Matematika28
September 2005Buatlahdefinisisetiapbangundatardibawahini
sesuaidenganskemayang disediakan.
Segiempat
Segiempat
Tali busur
Trapesium
samakaki
Persegipanjang
Layang-layang
Belahketupat
Persegi